Analyysi I syksy 2001
Demo 5
  1. Mikä on joukko
    2. a)
    10
    Ç
    j=1    		 [2, 3+j], 
    b)
    10
    Ç
    j=1    		 é
    ë    		 2, 3+  1
    j    		 ù
    û    		 , 
    c)
    ¥
    Ç
    j=1    		 é
    ë    		 2, 3+  1
    j    		 ù
    û    		 , 
    d)
    ¥
    È
    j=1    		 é
    ë    		 2, 3+  1
    j    		 é
    ë    		 .
  2. a) Osoita, että jos Bn Ì R on suljettu joukko "n Î N, niin niiden leikkaus
    3. ¥
    Ç
    n=1    		 Bn
    on suljettu.

    (Opastus. Riittää osoittaa, että k.o. joukon komplementti A on avoin. Mutta A on yhdiste joukoista R\Bn. Käytä lausetta 1.9.)

    b) Osoita: Jos joukot B1,¼,Bk ovat suljettuja, niin niiden yhdiste
    k
    È
    j=1    		 Bj
    on suljettu. (Sama idea kuin edellisessä tehtävässä).

  3. Laske seuraavien kompleksilukujen reaali- ja imaginaariosat ja moduli, sekä piirrä k.o. luvut ja niiden liittoluvut kompleksitasoon.
    4. a)
     3+4i
    4-3i    		 , 
    b)
     p+p2i
    1+pi    		 , 
    c)
    epi+ie3pi/2.
  4. Samoin,
    5. a)
     1
    3+i    		 +  1
    4-i    		 , 
    b)
     1
    Ö2+i    		 ·  1
    Ö3+i    		 , 
    c)
     1
    iepi+e3pi/2    		 .
  5. Esitä jollakin tavalla (piirtäen) missä päin lukusuoraa R sijaitsee piste x, kun x toteuttaa ehdon
    6. a)
    |x-10| <   1
    2    		 , 
    b)
    x Î B(-  4
    3    		 ,  1
    3    		 ), 
    c)
    |x+5| < 2
    d)
    |x+5| >   1
    100    		 , 
    e)
    x Î B(5,1)ÇB(6,  1
    2    		 ), 
    f)
    |x-13| <   1
    13    		 .
    Esitä myös ehtojen a)-f) määräämät joukot reaalilukuväleinä.

File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 8 Oct 2001, 15:46.