Analyysi I, syksy 2001
Demo 8
  1. Laske seuraava raja-arvo, mikäli se on olemassa:

    2. lim
    x®-2    		 æ
    ç
    è    		 2x   æ
    Ö
     
    3+  1
    (x+2)2
     
    		 +x2   æ
    Ö
     
    5+  1
    (x+2)2
     
    		   ö
    ÷
    ø    		 .
  2. Olkoon funktio f:R\{0}®R määritelty kaavalla
    3. f(x) =   (1+x)2 - 1
    (1+x)3 - 1    		 .
    Määrittele f:n arvo pisteessä 0 siten, että f:stä tulee jatkuva kuvaus R®R.
  3. Olkoot f ja g jatkuvia kuvauksia R®R sekä f(8) ¹ g(8). Osoita käyttäen lausetta 2.17, että funktio
    4. x ®  f(x)
    f(x)-g(x)
    on jatkuva jossain pisteen 8 ympäristössä.
  4. Olkoon s > 0 annettu. Etsi joku r > 0 siten, että ehdosta |x-3| < r seuraa
    5. ê
    ê    		  1
    x2-2x    		 -  1
    32-2·3    		 ê
    ê    		 < s.
    		(1)
    Neuvo. Pyri jälleen estimoimaan (1):n vasemmalla puolella olevaa lauseketta niin, että se on enintään |x - 3|· jotakin, missä tekijä ''jotakin'' on rajoitettu esim. joukossa |x - 3| < 1, eli x Î ]2, 4[.
  5. Samoin, olkoon s > 0 annettu. Etsi joku r > 0 siten, että ehdosta |x - 2| < r seuraa
    6. ê
    ê    		 x4+  1
    x    		 -  33
    2    		 ê
    ê    		 < s.
    (Sama neuvo kuin yllä.)

File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 5 Nov 2001, 15:08.