Analyysi I

Jari Taskinen

Jun 12, 2002

Sisältö

1  Reaaliluvut

Tavallisimmat lukujoukot, kuten luonnolliset luvut

N= {1,2,3,¼},

kokonaisluvut

Z = { ¼, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ¼},

rationaaliluvut

Q = ģ ķ ī  m n   ź ź  m, n Ī Z, n ¹ 0 ü ż ž

ja reaaliluvut R, ovat tuttuja jo koulukurssista. Jatkossa joukkojen N, Z ja Q suhteen tyydymme siihen intuitioon, joka meillä näistä jo on. Toteamme vain, että kokonaislukujen joukko Z on otettu käyttöön siksi, että on mahdollista käsitellä, kuinka pienemmästä luonnollisesta luvusta vähennetään suurempi. Samoin, kokonaislukujen jakolaskun vaatimukset johtavat joukon Q käyttöön ottoon.

Joukosta N huomautamme vielä, että toisinaan luku 0 luetaan siihen; tällä kurssilla kuitenkaan ei. Tämä on lähinnä makuasia. Lisäksi joukkoon N liittyy tärkeä induktioperiaate, josta lisää piakkoin.

Reaalilukujen joukon R erottaa joukosta Q ominaisuus, jota sanotaan täydellisyydeksi; R:llä tämä ominaisuus on, Q:lla ei. Asiasta lisää myöhemmin. Käytännössä ei ole kovin vaikea havaita, että ön olemassa" lukuja jotka eivät ole rationaalisia: ympyrän kehän suhde halkaisijaan; luku, jonka neliö on 2 jne.

Tutkitaan seuraavia määritelmiä:

Olkoon K joukko, jossa on määritelty laskutoimitukset + ja ·.

Määritelmä 1 Joukko K varustettuna edellä mainituilla laskutoimituksilla on kunta, jos laskutoimitukset toteuttavat kaikilla x, y ja z Ī K seuraavat ehdot:

(A1) x+y=y+x
(A2) x+(y+z)=(x+y)+z
(A3) On olemassa yhteenlaskun nolla-alkio, eli alkio a Ī K joka toteuttaa x+a=x (kaikilla x Ī K). (Yleensä merkitään tätä alkiota symbolilla 0.)
(A4) Kaikilla x Ī K on olemassa vasta-alkio y Ī K, joka toteuttaa x+y=0. Yleensä merkitään y=:-x.
(A5) x ·y=y ·x
(A6) x ·(y ·z) = (x ·y) ·z
(A7) x ·(y + z) = x ·y + x ·z
(A8) On olemassa (kertolaskun neutraalialkio) b Ī K, b ¹ 0, joka toteuttaa b ·x = x kaikille x Ī K. Yleensä merkitään b = : 1.
(A9) Kaikilla x ¹ 0 on olemassa käänteisalkio y Ī K, joka toteuttaa x ·y = 1. Merkitään y = : 1/x tai x^-1.

Määritelmä 2 Olkoon K kunta (kuten yllä). Se on järjestetty kunta, jos K:ssa on määritelty relaatio < , joka toteuttaa seuraavat ehdot:

(B1) Kaikille x, y Ī K pätee täsmälleen yksi ehdoista x < y, x = y, y < x.
(B2) Jos x < y ja y < z, niin x < z.
(B3) Jos x < y, niin kaikilla z Ī K pätee x + z < y +z.
(B4) Jos 0 < x ja 0 < y, niin 0 < x ·y.

Määritelmä 3 Reaalilukujen joukko R on järjestetty kunta, joka on täydellinen. (Täydellisyys tarkoittaa, että jokaisella ylhäältä rajoitetulla osajoukolla E Ģ R on olemassa pienin yläraja joukossa R.)

Luonnollisten lukujen joukko on joukko N: = { 1, 2, 3, ¼}. Tälle joukolle pätee induktioperiaate:

Jos S Ģ N on sellainen osajoukko että 1 Ī S ja n Ī S Ž n + 1 Ī S, niin S on itse asiassa yhtä kuin joukko N.

Lause 4 Reaalilukujen joukko on olemassa.

Seurauksia aksioomista (A1)-(A9)

• kunnan alkiot ovat 0 ja 1 yksikäsitteisiä. (Jos otetaan joku muu alkio b Ī K, joka ei ole 1, niin se ei toteuta ehtoa (A8))
• sääntöjä:
  
  a) jos a + x = a + y, niin x = y
  b) jos a ·x = a ·y jollekin a ¹ 0, niin x = y
  c) yhtälöllä x + a = b on yksikäsitteinen ratkaisu x = b - a
  d) yhtälöllä x ·a = b, missä a ¹ 0, on ratkaisu x = [(b)/(a)] = b ·a^-1
  e) vasta-alkioille pätee:
  
  -(-x) = x
  -(x ·y) = (-x) ·y = x ·(-y)
  (-x) ·(-y) = x ·y
  -(x + y) = (-x) + (-y) jne.

Huomautus! Jatkossa tuttuun tapaan "·" voi jättää pois näkyvistä.

• x ·y = xy
• 20 ·x = 20x
• MUTTA EI 2 ·3 = 23

Todistetaan seurauksista kohta a) ja vasta-alkion yksikäsitteisyys.

Todistus. 

a + x = a + y Ž a + x + (-a) = a + y + (-a) Ž a + (-a) + x = a + (-a) + y Ž 0 + x = 0 + y Ž x = y

    ^[¯]

Väite: Jos x Ī K, niin sen vasta-alkio on yksikäsitteinen.

Todistus.  Olkoon b Ī K toinen x:n vasta-alkio, siis x + b = 0. Siis (A4)

x + b = 0 Ž x + b + (-x) = -x Ž x + (-x) + b = -x Ž 0 + b = -x Ž b = -x

    ^[¯]

Seurauksia aksioomista (B1)-(B4)

• jos x £ y ja x ³ y niin x = y
• jos x < y ja a < b niin x + a < y + b
• jos x < y ja a > 0, niin ax < ay

Merkintöjä:

• x > y tarkoittaa y < x
• x £ y tarkoittaa x < y tai x = y
• x ³ y tarkoittaa x > y tai x = y

Määritelmä 5 (Potenssiin korotus induktiolla.) Olkoon x Ī R. Määritellään x¹ : = x. Olkoon n Ī N. Jos xⁿ on määritelty, niin määritellään xⁿ⁺¹ : = xⁿx. Jos lisäksi x ¹ 0, niin määritellään x⁰ : = 1 ja x^-n : = [ 1/(xⁿ)].

Esimerkki 6 x⁵ : = xx⁴ : = xxx³ : = xxxx² : = xxxxx.

Lause 7 Jos x Ī R \{0} ja m, n Ī N, niin pätee

a) x^{m + n} = x^m ·xⁿ
b) (x^m)ⁿ = x^mn

Todistus.  a) Suoritetaan todistus induktiolla luvun n Ī N suhteen.
1^° Jos n = 1, niin

xm + 1 = x ·xm = xm ·x

eli a) pätee.
2^° Oletamme että a) pätee jollekin n, eli

xm + n = xm ·xn

(1)

Tulee näyttää, että a) pätee arvolle n + 1, eli

xm + n + 1 = xm xn + 1

(Voimme käyttää hyväksi määritelmää 1.0.5 ja kohtaa 1^°).

xm + n + 1 = xxm + n = xxmxn = xmxxn = xmxn + 1

b) Induktiolla luvun n suhteen.

• Olkoon n = 1.
  

  (xm)1 = xm = xm1

• Oletetaan että b) pätee arvolla n, eli
  

  (xm)n = xmn

  (2)

Lause 8 Kahden reaaliluvun x ja y, missä x ¹ y, välillä on aina rationaaliluku.

Määritelmä 9 Olkoon x Ī R. Sen itseisarvo |x| määritellään seuraavasti:

|x| = ģ ķ ī x, kun     x ³ 0 -x, kun     x £ 0

Siis aina |x| ³ 0, olipa x mikä tahansa reaaliluku.

Lause 10 Itseisarvolla on seuraavat ominaisuudet:

a) |x| = 0 Ū x = 0
b) |xy| = |x||y|, |[(x)/(y)]| = [(|x|)/(|y|)], kun y ¹ 0
c) |x| = |-x| (Todistus kohdan b) avulla, ota y = -1)
d) |x + y| £ |x| + |y| (Kolmioepäyhtälö = \triangle -ey)
e) | |x|-|y| | £ |x + y|
d') |x - y| £ |x|+|y|
e') | |x|-|y| | £ |x - y|

Todistus.  Todistetaan kohdat d) ja e). Määritelmästä seuraa -|x| £ x £ |x| ja -|y| £ y £ |y|. Lasketaan puolittain yhteen:

-(|x| + |y|) £ x + y £ |x| + |y|

eli

|x + y| £ |x| + |y|.

Nyt jälkimmäinen epäyhtälö on todistettu, lasketaan edelleen

|x| = |x + y + (-y)| £ |x + y| + |-y| = |x + y| + |y|Ž |x|-|y| £ |x + y|.

Vastaavasti näytetään, että |y| - |x| £ |x + y|. Näistä saadaan |x + y| ³ ||x|-|y| |     ^[¯]

Esimerkki 11 Kirjoita seuraavat lausekkeet ilman itseisarvomerkkejä.

a) |x + 2| - |x - Ö3|
b) | |x - p| - 8 |
c) |x² + 5|
d) |x² - 5|

Ratkaisu. a)

ģ ķ ī x + 2, kun     x + 2 ³ 0 -x - 2, kun     x + 2 £ 0 = ģ ķ ī x + 2, kun     x ³ -2 -x - 2, kun     x £ -2

samoin,

|x - Ö3| = ģ ķ ī x - Ö3, kun     x ³ Ö3 -x + Ö3, kun     x £ Ö3

Yhteenveto

|x + 2| - |x - Ö3| = ģ ļ ķ ļ ī -x - 2 - (-x + Ö3), kun     x £ -2 x + 2 - (-x + Ö3), kun     -2 £ x £ Ö3 x + 2 - (x - Ö3), kun     Ö3 £ x = ģ ļ ķ ļ ī -2 - Ö3, x £ -2 2x + 2 - Ö3, -2 £ x £ Ö3 2 + Ö3, x ³ Ö3

b)

ź ź |x - p| - 8 ź ź = ģ ķ ī |x - p- 8|, kun     x ³ p |p- x - 8|, kun     x £ p

Oletetaan x ³ p. Tällöin

|x - p- 8| = |x - (p+ 8)| = ģ ķ ī x - (p+ 8), kun     x ³ p+ 8 -x + (p+ 8), kun     x £ p+ 8

Oletetaan x £ p. Tällöin

|p- 8 -x| = |x - (p- 8)| = ģ ķ ī x - (p- 8), x ³ p- 8 -x + (p- 8), x £ p- 8

Siis

ź ź |x - p| -8 ź ź = ģ ļ ļ ķ ļ ļ ī -x + (p- 8), kun     x £ p- 8 x - (p- 8), kun     p- 8 £ x £ p -x + (p+ 8), kun     p £ x £ p+ 8 x - (p+ 8), kun     x ³ p+ 8

c) |x² + 5| = x² + 5, koska x² + 5 > 0     "x Ī R

d)

|x2 - 5| = ģ ķ ī x2 - 5, kun     x £ -Ö5     tai     x ³ Ö5 -x2 + 5, kun     -Ö5 £ x £ Ö5 ,

koska f(x) = x² - 5 = 0 kun x = ±Ö5.

Esimerkki 12 Olkoot x, y Ī R. Pätee |x| < |y| jos ja vain jos x² < y².

Todistus.  a) Oletetaan |x| < |y|, jos x = 0, niin |x| = 0 ja x² = 0. Koska |y| > |x| = 0, pätee y £ 0 ja y² = 0. Siis y² > x². Jos x £ 0, niin |x| > 0. Tällöin x² = |x|² = |x||x| < |x||y| < |y||y| = y². Joten, |x| < |y|Ž x² < y².

b) Epäsuora todistus: Oletetaan |x| < |y| ei päde. Siis, |x| ³ |y|. Samanlainen päättely kuin edellä Ž |x|² ³ |y|² eli x² ³ y². Siten x² < y² ei päde.     ^[¯]

Esimerkki 13 Ratkaise epäyhtälö |[(x - 1)/(x + 1)]| < 1.

Ratkaisu. Epäyhtälö on yhtäpitävä epäyhtälön |[(x - 1)/(x +1)]| < |1| kanssa. Yllä olevan nojalla tämä Ū

ę č  x - 1 x + 1 ö ų 2   < 12 = 1 Ū  (x - 1)2 (x + 1)2 < 1     | ·(x + 1)2 Ū (x - 1)2 < (x + 1)2 Ū x2 - 2x + 1 < x2 + 2x +1 Ū 4x > 0 Ū x > 0.

Ratkaisu on siis x > 0.

Esimerkki 14 Ratkaise epäyhtälö

x - 1 < |x + 1|.

(3)

Ratkaisu. Oletetaan ensin x + 1 ³ 0 eli x ³ -1. Silloin (3) Ū x - 1 < x + 1 Ū -1 < 1, totta (x:stä riippumatta kun x ³ -1). Oletetaan sitten x + 1 < 0 eli x < -1. Silloin (3) Ū x - 1 < -x - 1Ū 2x < 0 Ū x < 0, totta. Siis (3) toteutuu "x Ī R.

Esimerkki 15 Oletetaan, että x toteuttaa |x - Ö5| < [ 1/700]. Osoita, että

|x2 - 3x - (Ö52 - 3Ö5)| <  1 10 .

Ratkaisu.

|x2 - 3x - ( (Ö5)2 - 3Ö5 )| = |x2 - (Ö5)2 - 3x + 3Ö5| £ |x2 - (Ö5)2| + |-3x + 3Ö5| = |(x - Ö5)(x + Ö5)| + |-3(x - Ö5)| £ |x - Ö5| |x + Ö5| + |-3| |x - Ö5| (4)

Tässä |x - Ö5| < [ 1/700]. Koska Ö5 < 3 ja [ 1/700] < 1, niin x < 4. Koska Ö5 < 2 ja [ 1/700] < 1, niin x > 1. Siis |x| £ 4 ja |x +Ö5| £ |x| + Ö5 £ 7. Siten (4) on enintään

|x - Ö5| ·7 + 3 ·|x - Ö5| = 10 |x -Ö5| <  10 700 =  1 70 <  1 10 .

Esimerkki 16 Todista, että lauseke

1 2 (x + y + |x - y|)

on suurempi luvuista x ja y.

Todistus.  Oletetaan x ³ y. Silloin

1 2 (x + y + |x - y|) =  1 2 (x + y + x - y) =  1 2 ·2x = x.

Oletetaan y > x. Silloin

1 2 (x + y + |x - y|) =  1 2 (x + y - x + y) =  1 2 ·2y = y.

    ^[¯]

1.1  R:n topologiaa

Määritelmä 1 Olkoon a, b Ī R, a < b. Merkitään

• ] a, b [ = { x Ī R  | a < x < b } (avoin väli)
• [ a, b ] = { x Ī R  | a £ x £ b } (suljettu väli)
• [ a, b [ = { x Ī R  | a £ x < b } (puoliavoin väli)
• ] a, b ] = { x Ī R  | a < x £ b } (puoliavoin väli)
• ] a, „[ = { x Ī R  | x > a }
• [ a, „[ = { x Ī R  | x ³ a }
• ] -„, b [ = { x Ī R  | x < b }
• ] -„, b ] = { x Ī R  | x £ b }

Määritelmä 2 Olkoon x Ī R ja r > 0. Joukko

B(x, r) = { y Ī R   ź ź  |x - y| < r }

on nimeltään x:n r-ympäristö. Samoin

B¢(x, r) = { y Ī R   ź ź  0 < |x - y| < r } = { y Ī R   ź ź  |x - y| < r, y ¹ x } (punkteerattuympäristö)

ja

- B   (x, r) = { y Ī R   ź ź  |x - y| £ r }(suljettu ympäristö).

Nämä ovat R:n osajoukkoja. (B¢ Ģ B Ģ [`(B)].)

Tehtävä 3 Olkoon x = 2 ja r = [ 1/10].

y Ī B(2,  1 10 ) Ū 2 -  1 10 < y < 2 +  1 10 .

Samoin jos x = 2 ja r = [ 1/1000]

y Ī B(2,  1 1000 ) Ū 2 -  1 1000 < y < 2 +  1 1000 Ū y Ī [2 -  1 1000 ,2 +  1 1000 ].

Tehtävä 4 Kuuluuko p seuraaviin joukkoihin?

a)	B(3, [ 1/100]),	b)	B(3, [ 1/10])
c)	B(3, [ 1/2]),	d)	B(3.14, [ 1/100])

Määritelmä 5 Olkoon A Ģ R. Joukko A on avoin, jos jokaisella x Ī A on (jokin) ympäristö B(x, r) joka sisältyy A:han.

Joukko B Ģ R on suljettu, jos joukko R \B = { y Ī R  | y ¹ B } on avoin.

Esimerkki 6 Suljettu väli [a, b] ei ole avoin. Tarkastellaan pistettä b: ei ole olemassa mitään ympäristöä B(b, r) jolle B(b, r) Ģ [a, b].

Esimerkki 7 Olkoon x = 13. Osoita B(x, 1) ĒB(x,[ 1/5]) ĒB(x, [ 1/2]) : = Y on x:n r-ympäristö jollekin r > 0.

Ratkaisu. Pätee B(x, [ 1/5]) Ģ B(x, [ 1/2]) Ģ B(x, 1). Siis Y = B(x, [ 1/5]) eli Y on x:n [ 1/5]-ympäristö.

Määritelmä 8 Joukko A Ģ R on avoin, jos "x Ī A on olemassa sellainen r > 0 että B(x, r) Ģ A. Joukko B Ģ R on suljettu, jos R \B on avoin.

Lause 9 a) R on sekä avoin että suljettu, samoin Ę. (Muut R:n osajoukot eivät voi olla yhtä aikaa avoimia ja suljettuja. Sen sijaan on olemassa osajoukkoja, jotka eivät ole avoimia eivätkä myöskään suljettuja, esimerkiksi [ 0, 1 [ )

b) Avoin väli on avoin joukko, suljettu väli on suljettu joukko.

c) Äärellinen joukko on suljettu (s.o. joukko johon kuuluu vain äärellisen monta alkiota, esim { [ 1/2], -2, p, Ö{13}} on, [0, [ 1/(10²)]] ei ole äärellinen joukko.)

d) Mielivaltaisen monen avoimen joukon yhdiste on avoin joukko.

e) Äärellisen monen avoimen joukon leikkaus on avoin joukko.

Esimerkki 10 Olkoon A_n = ]Ö{1 + n}, n²[    "n Ī N, n ³ 2. Silloin A_n on avoin väli, joten se on avoin joukko. Siis

Č n Ī N, n ³ 2  An Ģ R

on avoin.

Esimerkki 11 ] -1, 2 [ Ē] 0, 3 [Ē] 0, 10 [ = ] 0, 2 [

Esimerkki 12 Olkoon n Ī N, A_n : = ]0, 1 +[ 1/(n)] [ (avoimia joukkoja). Ja olkoon

B : = Ē n Ī N  An = „ Ē n = 1  An.

Väite: B = ] 0, 1 ].

Todistus.  Ensiksi, Osoitetaan että

]0, 1] Ģ „ Ē n = 1  ł ū 0, 1 +  1 n é ė =: B.

Olkoon näet x Ī ]0, 1]. Tällöin x Ī ]0, 1 +[ 1/(n)][ = A_n "n. Siis x Ī B, eli ]0,1] Ģ B.

Kääntäen, olkoon y > 1. Valitaan n s.e. [ 1/(n)] < y - 1. Tällöin y Ļ ]0, 1 + [ 1/(n)][ = A_n. Siis B = ]0, 1]. Puoliavoin väli ei ole avoin joukko.

Äärettömän monen avoimen joukon leikkaus ei siten ole välttämättä avoin.     ^[¯]

1.2  Kompleksiluvut

R² on lukuparien (a, b), missä a ja b reaalilukuja, muodostama joukko. (Käytetään myös esitystä (a, b) = a[`(i)] +b[`(j)], missä [`(i)] = (0, 1) ja [`(j)] = (0, 1).) Sanotaan, että (a, b) on lukupari, piste, vektori, tason alkio joukossa R². On määritelty vektoreiden yhteenlasku

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

ja reaaliluvulla r Ī R kertominen

r(a, b) = (ra, rb).

Määritellään nyt kertolasku kaavalla.

(a, b)(c, d) = (ac - bd, bc + ad)     missä a, b, c, d Ī R

(5)

On mahdollista osoittaa että joukko R² varustettuna edellä mainitulla yhteenlaskulla ja kertolaskulla (5) toteuttaa kanta-aksioomat (A1) - (A9).

Merkitään: (0, 1) = i ja (a, b) = a + ib.

Joukkoa R² varustettuna edellä mainituilla laskutoimituksilla sanotaan kompleksilukujen joukoksi (kunnaksi), ja merkitään C:llä.

Kaava (5) saa muodon

(a + ib)(c + id) = ac - bd + i(bc + ad).

Huom! (0, 1)(0, 1) = (0 ·0 - 1 ·1, 1 ·0 + 0 ·1) = (-1, 0) eli i² = ii = -1.

Jos a, b Ī R, niin lukua a + ib sanotaan kompleksiluvuksi, ja a on sen reaaliosa ja b imaginaariosa.

Määritelmä 1 Luku |a + ib| : = Ö{a² + b²} ³ 0 on kompleksiluvun a + ib itseisarvo eli moduli.

Esimerkki 2 Laske seuraavien kompleksilukujen reaali- ja imaginääriosat.

1. 3(2 + i) = 3 ·2 + 3 ·i = 6 + 3i.
2. Ö2(Ö2 - Ö5i) = (Ö2²) -Ö2Ö5i = 2 - Ö{10}i.
3. 3i(2 + i) = 3i·2 + 3i ·i = 6i + 3i² = 6i - 3.
4. Olkoon x,y Ī R. (x + iy)(x - iy) = x² - ixy + ixy - i²y² = x² +y².
5. 4i(Ö2 - Ö2i) (Ö2 + Ö2i) = 4i(Ö2Ö2 + Ö22i - Ö22 -Ö2iÖ2i )


= 4i (2 + 2Ö2i - 2i - 2Ö2 ·(-1) ) = 4i (2 +2Ö2 + i (2Ö2 - 2)) = 8i + 8Ö2i + 4 ·(-1)(2Ö2- 2) = i(8 + 8Ö2) Im-osa  - 8Ö2 + 8 Re-osa  .


6. 4i⁵ + 3i³ = 4(i² ·i² ·i) + 3i² ·i = 4 ·(-1) ·(-1)i + 3 ·(-1) ·i = 4i - 3i = i
7. (i³ + 1)(4i⁴ + i²) = (i² ·i + 1)(4 ·i² ·i² -1) = (-i + 1)(4 - 1) = 3 - 3i

Olkoon z Ī C, z = x + iy, x,y Ī R. Merkitään |z| = Ö{x² + y²} on moduli eli itseisarvo.

Esimerkki 3 |3 - 3i| = Ö{3² + 3²} = Ö{18} = 3Ö2.

Esimerkki 4 |i| = Ö{0 + 1²} = 1 joten |i|^k = 1,"k Ī N.

Olkoon z = x + iy kuten yllä. z:n liittoluku määritellään [`(z)] = x - iy. Pätee

z x   = (x + iy)(x - iy) = x2 - iy + iy - i2y = x2 +y2 = |z|2.

Siis, z[`(z)] = |z|² "z Ī C.

Kompleksilukujen kertolaskun tärkein motivaatio on se, että jokaisella z = x + iy ¹ 0 on käänteisalkio z^-1 eli [ 1/(z)]:

1 x + iy = z-1 =  x x2 + y2 - i  y x2 +y2 .

(6)

(Tällöin z[`(z)]^-1 = 1 = z^-1z:

(x + iy) ę č  x x2 + y2 - i  y x2 + y2 ö ų = (x + iy)(x - iy) ę č  1 x2 + y2 ö ų = (x2 +y2)  1 x2 + y2 = 1.)

Kompleksilukujen jakolasku määritellään (z = x + iy,w = a + ib,x,y,a,b Ī R)

z w : = z ·w-1 = :  x + iy a + ib : =  ax+ by a2 + b2 + i  ay - bx a2 + b2 .

Laske seuraavien kompleksilukujen reaali- ja imaginääriosat.

Esimerkki 5 [ 1/(2 + i)] = [ 2/5] - i[ 1/5] (kaava (6), x = 2, y = 1).

Toinen tapa: lavennetaan nimittäjän liittoluvlla

2 - i)  1 2 + i =  2 - i (2 - i)(2 + i) =  2- i 22 - i2 =  2 - i 5 =  2 5 -  i 5

Moduli: | [ 1/(2 + i)] | = Ö{([ 2/5])² + ([ 1/5])²} = Ö{[ 5/25]} = [ 1/(Ö5)].

(Huom! Modulille pätee: Jos z, w Ī C, niin |[(z)/(w)]| = [(|z|)/(|w|)]. Edellä, | [ 1/(2+ i)] | = [ 1/(|2 + 1|)] = [ 1/(Ö{2² + 1})] = [ 1/(Ö5)] )

Esimerkki 6 ^{Ö2 + i)} [(Ö2 + i)/(Ö2 - i)] = [((Ö2 + 1)²)/(Ö2 + 1²)] = [ 1/3](Ö2² +2Ö2i -1) = [ 1/3](1 + 2Ö2i) = [ 1/3] +[ 2/3]Ö2i.

Esimerkki 7 ^{3 - i)}[ 1/(3 + i)] + ^{4 - i)}[ 2/(4 + i)] = [(3 - i)/(3² + 1²)] + [(8 - 2i)/(4² + 1)] = [(3 - i)/10] + [(8 - 2i)/17] = [ 3/10] + [ 8/17] -[(i)/10] - [(2i)/17] = [ 3/10] + [ 8/17] -i( [ 1/10] + [ 2/17] ). Reaaliosa on [ 3/10] + [ 8/17], imaginääriosa on [ 1/10] +[ 2/17].

Esimerkki 8 Olkoon x Ī R.

2 + i)  x + ix2 2 - i + 2 - i)  x2 +ix 2 + i =  (2 + i)(x + ix2) 22 + 1 +  (2 - i)(x2+ ix) 22 + 1 =  2x + ix + 2ix2 - x2 5 +  2x2 - ix2 +2ix - i2x 5 =  1 5 ( 2x + ix + i2x2 - x2 + 2x2 - ix2 +2ix + x ) =  1 5 ( 3x + x2 + i(3x + x2)) =  3x + x2 5 Re osa       +i  3x + x2 5 Im osa       .

Kyseessä olevan luvun moduli:

ź ź  3x + x2 5 + i  3x + x2 5 ź ź =   ę Ö 2· ę č  3x + x2 5 ö ų 2     =  Ö2 5 | 3x + x2 |.

1.3  Napakoordinaattiesitys

Kuva (1) havainnollistaa napakoordinaattiesitystä: (x, y) = (r cosj, r sinj)

Figure 1: Napakoordinaattiesitys

Siis,

ģ ķ ī x = r cosj y = r sinj ,r = Ö   x2 + y2   ja j = arc   tan  y x .

Siirrytään kompleksitasoon; z olkoon z = x + iy. Edeltä saadaan z = r cosj+ irsinj = r (cosj+isinj). Mainitsemme ilman todistusta, että imaginääriselle exponentille pätee

eij = cosj+ isinj (Eulerinkaava)

missä j Ī [0, 2p] tai j Ī R.

Kompleksiluvuille saadaan siis esitys

z = reij, r=|z|, j argumentti elivaihekulma.

Imaginaariselle exponentille pätevät tutut laskusäännöt, esim.

ei(a + b) = eiaeib, a,b Ī R.

Olkoon z = re^ij, w = se^iq, j,q, Ī R. Tällöin siis

zw = (reij)(seiq) = rsei(j+ q).

Katso kuva (2).

Figure 2: Napakoordinaattiesitys 2

Havainto:

Kompleksilukujen kertolaskussa

• vaihekulmat lasketaan yhteen
• modulit kerrotaan keskenään

Figure 3: Napakoordinaattiesitys 3

1.4  Reaalilukujonoista

Jos jokaista luonnollista lukua n Ī N kohti valitaan joku reaaliluku x_n Ī R, saadaan (reaaliluku)jono

(x1, x2, x3,¼)

jota merkitään myös (x_n)^„_n = 1, tai (x_n)_{n Ī N}. (Täsmällinen määritelmä: lukujono on kuvaus eli funktio joukosta N joukkoon R.)

Esimerkki 1 ( [ 1/(n²)] )^„_{n = 1} = (1, [ 1/4], [ 1/9], [ 1/16], ¼), ([(cosn)/(sin(np) + 3)]^„_{n = 1}), (n¹⁰⁰ + [(n)/3])^„_{n = 1}.

Sanomme, että x_n on jonon n:s alkio tai n:s koordinaatti.

Olkoon k Ī N. Jono

(x1, x2, ¼, xk) eli (xn)kn = 1

on äärellinen lukujono. (Esim. R² = { (a, b) }.)

Määritelmä 2 Jono (x_n)^„_{n = 1} suppenee raja-arvoon a Ī R, jos seuraava pätee. Jokaista mielivaltaista r > 0 kohti voidaan löytää luku N Ī N siten, että

|xn - a| < r, kun n ³ N

Tällöin merkitään lim_{x ® „} X_n = a.

Jos (x_n)^„_{n = 1} ei suppene (mihinkään reaalilukuun), se hajaantuu.

Esimerkki 3 Tarkastellaan jonoa

ę č  1 n + 3 + 2 ö ų „ n = 1  = (2 +  1 4 , 2 +  1 5 , 2 +  1 6 , 2 +  1 7 ,¼).

Näyttää suppenevan kohti lukua 2. Kuinka tämä todistetaan käyttäen määritelmää 1.10?

Ratkaisu. Olkoon r > 0 mielivaltainen.
1. Tarkastellaan lauseketta

|xn - a|, missä  1 n + 3 + 2 = xn ja a = 2;

siis

| xn - a | = ź ź  1 n + 3 + 2 - 2 ź ź = ź ź  1 n + 3 ź ź =  1 n + 3

2. Tarkastellaan milloin

| xn - a | < r eli  1 n + 3 < r.

(7)

Tämä voidaan esim. käsittää epäyhtälönä n:lle, missä n voidaan ratkaista r:n avulla.

(7) Ū n + 3 >  1 r Ū n >  1 r - 3.

Otetaan joku N Ī N joka on suurempi kuin [ 1/(r)] - 3. Jos nyt n > N, niin

n > N ³  1 r - 3 Ž | xn - a | < r.

Esimerkki 4 Tarkastellaan jonoa (-1, 1, -1, 1, -1, 1,¼) = ((-1)ⁿ )^„_{n = 1}. Suppeneeko tämä jono?

Ratkaisu. 1. Suppeneeko jono esim. arvoon a = 1?

Tarkastellaan lauseketta

|Xn - a| = |(-1)n - 1| = ģ ķ ī |-2| = 2, jos n pariton 0, jos n parillinen

Oletetaan esimerkiksi r = [ 1/100]. Päteekö nyt

|xn - a| <  1 100 , " n ³ N ?

Mutta olipa N miten suuri tahansa, aina löytyy parittomia lukuja n > N jolloin |x_n - a| = 2. Yllä oleva epäyhtälö ei päde "n ³ N, joten jono ei suppene arvoon 1.

2. Suppeneeko jono johonkin muuhun a Ī R?

Tutkitaan jälleen lauseketta

|xn - a| = |(-1)n - a| = ģ ķ ī |-1 - a|, n pariton |1 - a|, n parillinen = ģ ķ ī |1 + a|, n pariton |1 - a|, n parillinen

Jompikumpi näistä on suurempi kuin 1, olipa a mikä tahansa reaaliluku.

Jos taas esim. r = [ 1/10], niin joko parittomille tai parillisille n

|xn - a| ³ 1 >  1 10

eli |x_n - a| < [ 1/10] ei päde. Näin ollen jono ei suppene a:han.

Määritelmä 5 Olkoon (a_n)^„_{n = 1} lukujono. Tämä jono on

a) nouseva, jos a₁ £ a₂ £ a₃ £ ¼
b) laskeva, jos a₁ ³ a₂ ³ a₃ ³ ¼
c) aidosti nouseva, jos a₁ < a₂ < a₃ < ¼
aidosti laskeva, jos a₁ > a₂ > a₃ > ¼

Tässä ei siis ole merkitystä sillä, miten ensimmäiset jonon alkiot käyttäytyvät.

Lause 6 Olkoon (x_n)^„_{n = 1} nouseva jono indeksistä N alkaen. Jos on olemassa M Ī R s.e.

xn £ M  " n Ī N,

(8)

niin jono (x_n)^„_{n = 1} suppenee, ja raja-arvo on pienempi tai yhtäsuuri kuin M.

Esimerkki 7 Tarkastellaan jonoa (3, 3.3, 3.14, 3,141,3.1415, 3.14159, ¼); jonon alkio x_n on p:n arvo katkaistuna n:nen desimaalin kohdalta. Silloin x_n Ī Q. Edellä Lausessa 1.12 voidaan ottaa esim. M = 4. Näin ollen raja-arvo

lim n®„  xn = p Ī R- Q.

Esimerkki 8 Tarkastellaan lukujonoa

(Xn)„n = 1 = ę č 1 +  a n ö ų [ 1/(n)]   ,

missä a on jokin kiinteä reaaliluku.

Voidaan osoittaa, että (X_n) on ylhäältä rajoitettu (eli (7) pätee) ja lisäksi nouseva, kun n > |a|. Lauseen 1.4.6 nojalla jonolla $ raja-arvo.

Tapauksella a = 1 merkitään

lim n®„  Xn = lim n®„  ę č 1+  1 n ö ų n   =: e (Neperin luku)

Todistuksessa käytetään Bernoullin epäyhtälöä:

(1 + a)n ³ 1 + na, kun a > -1, n Ī N.

Todistus.  Todistus induktiolla:

1^° n = 1 (1.4.8) Ū 1 + a ³ 1 + a tosi.
2^° Induktio-oletus: (1.4.8) pätee arvolla n. Osoitetaan, että se pätee arvolla n + 1.

(1 + a)n + 1 ³ (1 + a)n(1 + a) ³ (1 + an)(1 + a) ³ 1+ an + a (n + 1)a  + a2n ³ 0  ³ 1+ (n + 1)a.

    ^[¯]

2  Reaalimuuttujan funktiot

Olkoot A, B R:n tai C:n osajoukkoja. Jos jokaista joukon A pistettä x vastaa tietty B:n piste y, sanotaan että on määritelty funktio eli kuvaus f : A ® B.

Määritelmä 9 Sanomme että y on alkion x kuva, merkitään myos f(x). A on kuvauksen f lähtöjoukko, B maalijoukko.

Jos on annettu osajoukko A₁ Ģ A, niin merkitään

f(A1) = ģ ķ ī y Ī B   ź ź  $x Ī A1 s.e. y = f(x) ü ż ž

Esimerkki 10 A = ] -2, 5 [, B = [ -100,100 ], f(x) = x² + 1, f = A ® B. Olkoon A₁ = [ 0, 1 ]. Silloin A₁:n kuva f(A₁) = [ 1, 2].

Määritelmä 11 Jos A, B, f kuten yllä, y Ī B ja x toteuttaa f(x) = y, niin x on y:n (eräs) alkukuva.

Funktiolla on aina se ominaisuus, että jokaisella lähtojoukon alkiolla on täsmälleen yksi kuva; maalijoukon alkiolla voi olla 0, 1 tai useampia alkukuvia.

Esimerkki 12 A = ] -2, 5 [, B = [ -100,100 ], f(x) = x² + 1. Joukon B alkiolla 2 on kaksi alkukuvaa: 1 ja -1. Alkiolla 72.83 ei ole alkukuvia joukossa A.

Jos B₁ Ģ B, (A, B, f kuten edellä) on joukko

f-1(B1) = ģ ķ ī x Ī A   ź ź  f(x) Ī B1 ü ż ž

B₁:n alkukuva.

• Jos kuvaukselle f pätee f(A) = B, niin f on surjektio (A:sta B:lle).
• Jos kuvaukselle f pätee: x₁ ¹ x₂ Ž f(x₁) ¹ f(x₂), niin f on injektio (tässä x₁, x₂, Ī A mielivaltaisia).
• Jos f on sekä surjektio että injektio, niin se on bijektio.

Esimerkki 13 f(x) : = x² + 1.

ei ole injektio eikä surjektio kun A = ] -2, 5[, B = [ -100, 100 ]
ei ole injektio, on surjektio kun A = ] -2, 5[, B = [ 1, 26 [
on injektio, ei ole surjektio kun A = ] 0, 5[, B = [ -100, 100 ]
on injektio ja surjektio kun A = ] 0, 5[, B = ] 1, 26 [

Esimerkki 14 Olkoon A Ģ R. Identtinen kuvaus f(x) = x on bijektio f : A ® A.

Määritelmä 15 Olkoon f : A ® B ja A₁ Ģ A. Kuvaus g : A₁ ® B joka määritellään kaavalla g(x) = f(x)     "x Ī A₁ on nimeltään f:n rajoittuma joukkoon A₁. Merkitään g = f |_A1 .

Huomautus 16 Kaksi kuvausta f : A ® B ja g : C® D ovat samat jos

1. A = C
2. B = D
3. f(x) = g(x)     "x Ī A

Esimerkki 17 Olkoon f(x) = [ 1/(1 - x)]. Jos muuta ei ole sanottu, niin maalijoukko on R, ja lähtöjoukko mahdollisimman suuri joukko, jossa lauseke on määritelty, tässä R\{1}.

2.1  Polynomit

Polynomi on funktio P : R® R joka on muotoa

p(x) : = anxn + an - 1xn - 1 + ¼+ a0,

missä a₀, ¼, a_n Ī R ovat vakioita (polynomin kertomia). Polynomi voidaan kirjoittaa myös muodossa

p(x) = n å k = 0  ak xk.

Jos a_n ¹ 0, on P:n asteluku n. Jos a_n = 0    "n, niin sanomme, että P on 0 - polynomi.

Lause 1 (Jakoyhtälö) Olkoot P ja Q polynomeja, Q ei 0-polynomi. Tällöin on olemassa polynomit A ja R, joille

P = AQ + R,

missä R:n aste on alempi kuin Q:n aste, tai R on 0- polynomi. Polynomit A ja R ovat yksikäsitteiset.

Todistus.  Tarkastellaan joukkoa

E : = ģ ķ ī P - AQ   ź ź  A on polynomi ü ż ž

Siis, E on polynomeista koostuva joukko; siihen kuuluvat ne polynomit jotka ovat muotoa P - AQ, missä A on polynomi.

Jos 0-polynomi kuuluu joukkoos E, niin siis olemassa A s.e. Q = P - AQ eli P = AQ. Tällöin voidaan valita R = 0 ja lause on todistettu.

Muussa tapauksessa olkoon R joukon E alinta astetta oleva polynomi; olkoon A₀ vastaava A. Siis, R = P - A₀Q eli P = A₀Q + R.

Väite. R:n asteluku n on pienempi kuin Q:n asteluku m.

Jos pätee n ³ m, merkitään

R = rnxn + rn - 1xn - 1 + ¼+ r0 Q = qmxm + qm - 1xm - 1 + ¼+ q0

tällöin

R -  rn qm xn - mQ = P - ( A0 +  rn qm xn -m)Q Ī E

Toisaalta,

R -  rn qm xn - mQ = rnxn + rn - 1xn - 1 +¼+ r0 -  rn qm xn - m(qmxm -rnxn + ¼xn - 1 + ¼       + ¼+ q0) = ¼xn - 1 + ¼xn - 2 + ¼

eli n:s aste supistuu pois!

Yhteenvetona, polynomi

R -  rn qm xn - mQ

1) kuuluu joukkoon E
2) on enintään astetta n - 1.

Käytännössä A ja R löydetään jakokulman avulla.

P = x3 + x2 + x + 1,     Q = x2 + 1

Jaetaan jakokulmassa x³ + x² + x + 1 polynomilla x² + 1, saadaan x + 1. Tällöin A = x + 1, R = 0.

Esimerkki 2 P = x³ + 3x² - x- 1, Q = x + 2. Jaetaan jakokulmassa x³ + 3x² - x- 1 polynomilla x + 2, saadaan x² + x - 3 ja jakojäännökseksi 5. Siis, A = x² + x - 3 ja R = 5. Voidaan tarkistaa laskemalla, että

QA + R = (x + 2)(x2 + x - 3) + 5 = x3 + 3x2 - x- 1 = P.

Olkoon P polynomi ja olkoon x₀ Ī R. Jakoyhtälön avulla voidaan kirjoittaa

P(x) = ( x - x0 ) A + R,

(9)

missä Q = x - x₀, Q:n aste deg(Q) = 1, ja siten deg(R) = 0. Siis R on vakio (mahdollisesti jopa 0).

Oletetaan, että x₀ on polynomin P:n 0-kohta, P(x₀) = 0. Silloin (9) Ž

P(x0) = ( x0 - x )A(x0) + R(x0) Ū 0 = R(x0)

(syötetään (9):ssä x:n paikalle x₀). Koska R on vakio ja R(x₀) = 0, niin R on 0-polynomi.

Lause 3 Jos polynomilla P on 0-kohta x₀, niin se voidaan kirjoittaa muodossa

P(x) = (x - x0)A(x)

missä A on polynomi jolle deg(A) = deg(P) - 1 .

Lause 4 Olkoon n Ī N. Jos n:n asteen polynomilla P on 0-kohdat x₁, ¼, x_n niin P voidaan kirjoittaa muodossa

P(x) = an (x - x1)(x - x2) ¼(x - xn)     (=:anPnj = 1 (x - xj) ).

(Tässä a_n on P:n korkeimman asteen termin kerroin.)

Todistus.  Seuraa lauseesta (2.1.3).     ^[¯]

Seuraus 5 n:n asteen polynomilla on enintään n kpl eri 0-kohtia.

Todistus.  Jos 0-kohtia m kpl, missä m > n, niin lauseesta (2.1.4) seuraa

P(x) = an Pmj = 1 (x - x1) = an ¹ 0  xm + xm - 1 + ¼

eli P olisi m:n asteen polynomi, Ristiriita.     ^[¯]

Määritelmä 6 Jos polynomi P voidaan esittää muodossa

P(x) = (x - x0)m Q(x),

missä Q on polynomi, m Ī N, niin x₀ on P:n m:n kertaluvun 0-kohta.

Esimerkki 7 Olkoon P(x) = x⁴. Piste x₀ = 0 on P:n 4. kertaluvun 0-kohta.

Esimerkki 8 Olkoon P(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 = (x - 1)³. Piste x₀ = 1 on 3. kertaluvun 0-kohta.

Lause 9 Olkoon P polynomi, jolle deg(P) = n. Oletetaan, että P:llä on pisteissä a₁, a₂, ¼, a_M 0-kohdat ja että 0-kohdan a_j kertaluku on m_j.

Oletetaan että m₁ + m₂ + ¼+ m_M = n = deg(P). Silloin polynomi P voidaan esittää muodossa

P(x) = an(x - x1)m1 (x - x2)m2 ¼(x - xM)mM.

Emme todista tätä lausetta tässä.

2.2  Algebrallisista yhtälöistä

Tarkastellaan yhtälöitä, jotka ovat muotoa

P(x) = 0,

(10)

missä P on polynomi. 1. Jos deg(P) = 1, niin (10) on muotoa

ax + b = 0,

missä a ja b ovat vakioita. Tällä on 1-käsitteinen ratkaisu x = -[(b)/(a)].

2. Olkoon deg(P) = 2. Silloin (10) on muotoa

P(x) = ax2 + bx + c = 0

(11)

missä a, b, c annettuja reaalilukuja.

a) Jos b² - 4ac ³ 0, niin (11):n ratkaisu on


x = -b ± Ö b2 - 4ac 2a .

Jos b² - 4ac = 0, on vain yksi ratkaisu x = -[(b)/(2a)], joka on siis P:n 2-kertainen 0-kohta.
b) Jos b² - 4ac < 0, niin (11):llä ei ole reaalisia ratkaisuja. Kompleksiset ratkaisut ovat


x =  -b 2a ±i Ö 4ac - b2 2a .

Ne ovat toistensa liittolukuja.

Esimerkki 1 Tarkastellaan yhtälöä ax⁴ + cx² + f = 0. Kirjoitetaan x² = z, x = ±Öz. Ratkaisu on

z = -c ± Ö c2 - 4af 2a ,

joten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on

x = ±   ę Ö -c ± Ö c2 - 4af 2a   ,

kun neliöjuurien alla olevat lausekkeet ovat positiivisia.

Esimerkki 2 Kolmannen asteen yhtälö

z3 + pz + q = 0.

(12)

missä p, q Ī R, ratkaistaan Cardanon kaavalla.

Cardanon kaavat antavat yleisen 3:nnen asteen yhtälön algebrallisen ratkaisun:

z1 = 3 ę Ö     -  q 2 +   ę Ö  q2 4 +  p3 27     + 3 ę Ö     -  q 2 -   ę Ö  q2 4 +  p3 27     , z2 = ę č -  1 2 +  iÖ3 2 ö ų 3 ę Ö     -  q 2 +   ę Ö  q2 4 +  p3 27     + ę č -  1 2 -  iÖ3 2 ö ų 3 ę Ö     -  q 2 -   ę Ö  q2 4 +  p3 27     , z3 = ę č -  1 2 -  iÖ3 2 ö ų 3 ę Ö     -  q 2 +   ę Ö  q2 4 +  p3 27     + ę č -  1 2 +  iÖ3 2 ö ų 3 ę Ö     -  q 2 -   ę Ö  q2 4 +  p3 27     .