Sisältö

2  Reaalimuuttujan funktiot

Olkoot A, B R:n tai C:n osajoukkoja. Jos jokaista joukon A pistettä x vastaa tietty B:n piste y, sanotaan että on määritelty funktio eli kuvaus f : A ® B.

Määritelmä. Sanomme että y on alkion x kuva, merkitään myos f(x). A on kuvauksen f lähtöjoukko, B maalijoukko.

Jos on annettu osajoukko A₁ Ģ A, niin merkitään

f(A1) = ģ ķ ī y Ī B   ź ź  $x Ī A1 s.e. y = f(x) ü ż ž

Esimerkki. A = ] -2, 5 [, B = [ -100,100 ], f(x) = x² + 1, f = A ® B. Olkoon A₁ = [ 0, 1 ]. Silloin A₁:n kuva f(A₁) = [ 1, 2].

Määritelmä. Jos A, B, f kuten yllä, y Ī B ja x toteuttaa f(x) = y, niin x on y:n (eräs) alkukuva.

Funktiolla on aina se ominaisuus, että jokaisella lähtojoukon alkiolla on täsmälleen yksi kuva; maalijoukon alkiolla voi olla 0, 1 tai useampia alkukuvia.

Esimerkki. A = ] -2, 5 [, B = [ -100,100 ], f(x) = x² + 1. Joukon B alkiolla 2 on kaksi alkukuvaa: 1 ja -1. Alkiolla 72.83 ei ole alkukuvia joukossa A.

Jos B₁ Ģ B, (A, B, f kuten edellä) on joukko

f-1(B1) = ģ ķ ī x Ī A   ź ź  f(x) Ī B1 ü ż ž

B₁:n alkukuva.

• Jos kuvaukselle f pätee f(A) = B, niin f on surjektio (A:sta B:lle).
• Jos kuvaukselle f pätee: x₁ ¹ x₂ Ž f(x₁) ¹ f(x₂), niin f on injektio (tässä x₁, x₂, Ī A mielivaltaisia).
• Jos f on sekä surjektio että injektio, niin se on bijektio.

Esimerkki. f(x) : = x² + 1.

ei ole injektio eikä surjektio kun A = ] -2, 5[, B = [ -100, 100 ]
ei ole injektio, on surjektio kun A = ] -2, 5[, B = [ 1, 26 [
on injektio, ei ole surjektio kun A = ] 0, 5[, B = [ -100, 100 ]
on injektio ja surjektio kun A = ] 0, 5[, B = ] 1, 26 [

Esimerkki. Olkoon A Ģ R. Identtinen kuvaus f(x) = x on bijektio f : A ® A.

Määritelmä. Olkoon f : A ® B ja A₁ Ģ A. Kuvaus g : A₁ ® B joka määritellään kaavalla g(x) = f(x)     "x Ī A₁ on nimeltään f:n rajoittuma joukkoon A₁. Merkitään g = f |_A1 .

Huomautus! Kaksi kuvausta f : A ® B ja g : C® D ovat samat jos

1. A = C
2. B = D
3. f(x) = g(x)     "x Ī A

Esimerkki. Olkoon f(x) = [1/(1 - x)]. Jos muuta ei ole sanottu, niin maalijoukko on R, ja lähtöjoukko mahdollisimman suuri joukko, jossa lauseke on määritelty, tässä R\{1}.

2.1  Polynomit

Polynomi on funktio P : R® R joka on muotoa

p(x) : = anxn + an - 1xn - 1 + ¼+ a0,

missä a₀, ¼, a_n Ī R ovat vakioita (polynomin kertomia). Polynomi voidaan kirjoittaa myös muodossa

p(x) = n å k = 0  ak xk.

Jos a_n ¹ 0, on P:n asteluku n. Jos a_n = 0    "n, niin sanomme, että P on 0 - polynomi.

Lause 2.1. (Jakoyhtälö) Olkoot P ja Q polynomeja, Q ei 0-polynomi. Tällöin on olemassa polynomit A ja R, joille

P = AQ + R,

missä R:n aste on alempi kuin Q:n aste, tai R on 0- polynomi. Polynomit A ja R ovat yksikäsitteiset.

Todistus.  Tarkastellaan joukkoa

E : = ģ ķ ī P - AQ   ź ź  A on polynomi ü ż ž

Siis, E on polynomeista koostuva joukko; siihen kuuluvat ne polynomit jotka ovat muotoa P - AQ, missä A on polynomi.

Jos 0-polynomi kuuluu joukkoos E, niin siis olemassa A s.e. Q = P - AQ eli P = AQ. Tällöin voidaan valita R = 0 ja lause on todistettu.

Muussa tapauksessa olkoon R joukon E alinta astetta oleva polynomi; olkoon A₀ vastaava A. Siis, R = P - A₀Q eli P = A₀Q + R.

Väite. R:n asteluku n on pienempi kuin Q:n asteluku m.

Jos pätee n ³ m, merkitään

R = rnxn + rn - 1xn - 1 + ¼+ r0 Q = qmxm + qm - 1xm - 1 + ¼+ q0

tällöin

R - rn qm xn - mQ = P - ( A0 + rn qm xn -m)Q Ī E

Toisaalta,

R - rn qm xn - mQ = rnxn + rn - 1xn - 1 +¼+ r0 - rn qm xn - m(qmxm -rnxn + ¼xn - 1 + ¼  + ¼+ q0) = ¼xn - 1 + ¼xn - 2 + ¼

eli n:s aste supistuu pois!

Yhteenvetona, polynomi

R - rn qm xn - mQ

1) kuuluu joukkoon E
2) on enintään astetta n - 1.

Käytännössä A ja R löydetään jakokulman avulla.

P = x3 + x2 + x + 1,     Q = x2 + 1

Jaetaan jakokulmassa x³ + x² + x + 1 polynomilla x² +1, saadaan x + 1. Tällöin A = x + 1, R = 0.

Esimerkki. P = x³ + 3x² - x- 1, Q = x + 2. Jaetaan jakokulmassa x³ + 3x² - x- 1 polynomilla x + 2, saadaan x² + x - 3 ja jakojäännökseksi 5. Siis, A = x² + x - 3 ja R = 5. Voidaan tarkistaa laskemalla, että

QA + R = (x + 2)(x2 + x - 3) + 5 = x3 + 3x2 - x- 1 = P.

Olkoon P polynomi ja olkoon x₀ Ī R. Jakoyhtälön avulla voidaan kirjoittaa

P(x) = ( x - x0 ) A + R,

(1)

missä Q = x - x₀, Q:n aste deg(Q) = 1, ja siten deg(R) = 0. Siis R on vakio (mahdollisesti jopa 0).

Oletetaan, että x₀ on polynomin P:n 0-kohta, P(x₀) = 0. Silloin (1) Ž

P(x0) = ( x0 - x )A(x0) + R(x0) Ū 0 = R(x0)

(syötetään (1):ssä x:n paikalle x₀). Koska R on vakio ja R(x₀) = 0, niin R on 0-polynomi.

Lause 2.2. Jos polynomilla P on 0-kohta x₀, niin se voidaan kirjoittaa muodossa

P(x) = (x - x0)A(x)

missä A on polynomi jolle deg(A) = deg(P) - 1 .

Lause 2.3. Olkoon n Ī N. Jos n:n asteen polynomilla P on 0-kohdat x₁, ¼, x_n niin P voidaan kirjoittaa muodossa

P(x) = an (x - x1)(x - x2) ¼(x - xn)     (=:anPnj = 1 (x - xj) ).

(Tässä a_n on P:n korkeimman asteen termin kerroin.)

Todistus.  Seuraa lauseesta 2.2 (sivu pageref).     ^[¯]

Seuraus 2.4. n:n asteen polynomilla on enintään n kpl eri 0-kohtia.

Todistus.  Jos 0-kohtia m kpl, missä m > n, niin lauseesta 2.3 (sivu pageref) seuraa

P(x) = an Pmj = 1 (x - x1) = an ¹ 0  xm + xm - 1 + ¼

eli P olisi m:n asteen polynomi, Ristiriita.     ^[¯]

Määritelmä. Jos polynomi P voidaan esittää muodossa

P(x) = (x - x0)m Q(x),

missä Q on polynomi, m Ī N, niin x₀ on P:n m:n kertaluvun 0-kohta.

Esimerkki. Olkoon P(x) = x⁴. Piste x₀ = 0 on P:n 4. kertaluvun 0-kohta.

Esimerkki. Olkoon P(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 = (x - 1)³. Piste x₀ = 1 on 3. kertaluvun 0-kohta.

Lause 2.5. Olkoon P polynomi, jolle deg(P) = n. Oletetaan, että P:llä on pisteissä a₁, a₂, ¼, a_M 0-kohdat ja että 0-kohdan a_j kertaluku on m_j.

Oletetaan että m₁ + m₂ + ¼+ m_M = n = deg(P). Silloin polynomi P voidaan esittää muodossa

P(x) = an(x - x1)m1 (x - x2)m2 ¼(x - xM)mM.

Emme todista tätä lausetta tässä.

2.2  Algebrallisista yhtälöistä

Tarkastellaan yhtälöitä, jotka ovat muotoa

P(x) = 0,

(2)

missä P on polynomi. 1. Jos deg(P) = 1, niin (2) on muotoa

ax + b = 0,

missä a ja b ovat vakioita. Tällä on 1-käsitteinen ratkaisu x = -[(b)/(a)].

2. Olkoon deg(P) = 2. Silloin (2) on muotoa

P(x) = ax2 + bx + c = 0

(3)

missä a, b, c annettuja reaalilukuja.

a) Jos b² - 4ac ³ 0, niin (3):n ratkaisu on


x = -b ±   _______ Öb2 - 4ac   2a .

Jos b² - 4ac = 0, on vain yksi ratkaisu x = -[(b)/(2a)], joka on siis P:n 2-kertainen 0-kohta.
b) Jos b² - 4ac < 0, niin (3):llä ei ole reaalisia ratkaisuja. Kompleksiset ratkaisut ovat


x = -b 2a ±i   _______ Ö4ac - b2 2a .

Ne ovat toistensa liittolukuja.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä ax⁴ + cx² + f = 0. Kirjoitetaan x² = z, x = ±Öz. Ratkaisu on

z = -c ±   _______ Öc2 - 4af   2a ,

joten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on

x = ±   ę  ś  ś Ö -c ±   _______ Öc2 - 4af   2a   ,

kun neliöjuurien alla olevat lausekkeet ovat positiivisia.

Esimerkki. Kolmannen asteen yhtälö

z3 + pz + q = 0.

(4)

missä p, q Ī R, ratkaistaan Cardanon kaavalla.

Cardanon kaavat antavat yleisen 3:nnen asteen yhtälön algebrallisen ratkaisun:

z1 = 3 ę ē ē Ö   - q 2 +   ę  ś Ö q2 4 + p3 27     + 3 ę ē ē Ö   - q 2 -   ę  ś Ö q2 4 + p3 27     , z2 = ę ē č - 1 2 + iÖ3 2 ö ÷ ų 3 ę ē ē Ö   - q 2 +   ę  ś Ö q2 4 + p3 27     + ę ē č - 1 2 - iÖ3 2 ö ÷ ų 3 ę ē ē Ö   - q 2 -   ę  ś Ö q2 4 + p3 27     , z3 = ę ē č - 1 2 - iÖ3 2 ö ÷ ų 3 ę ē ē Ö   - q 2 +   ę  ś Ö q2 4 + p3 27     + ę ē č - 1 2 + iÖ3 2 ö ÷ ų 3 ę ē ē Ö   - q 2 -   ę  ś Ö q2 4 + p3 27     .

Lauseketta D : = [(q²)/4] + [(p³)/27] sanotaan diskriminantiksi. Erotetaan kolme tapausta:

1. D = [(q²)/4] + [(p³)/27] > 0 Ž (4):llä on 1 reaaliarvoinen ratkaisu, 2 kompleksista ratkaisua, jotka ovat toistensa liittolukuja.

2. D = 0. Ratkaisut ovat

z1 = 2 3 ę Ö -q/2   z2 = z3 = - 3 ę Ö -q/2   ,

3. D < 0, 3 reaalista ratkaisua.

2.3  Rationaalifunktiot

Rationaalifunktio R on funktio, joka voidaan esittää muodossa

R(x) = P(x) Q(x) ,

missä P, Q polynomeja ja x Ī R, se on määritelty niille x, joille Q(x) ¹ 0.

Määritelmä. Jos x₀ on Q:n nollakohta ja P(x₀) ¹ 0, niin x₀ on R:n napa.

Rationaalifunktion jakaminen osamurtolukuihin

Erotetaan 4 erilaista tapausta.

Tapaus 1. Olkoon R rationaalifunktio, R = [(P)/(Q)], deg P ³ deg Q. Haluamme kirjoittaa sen muodossa

R = P1 + P2 Q

(5)

missä P₁, P₂ polynomeja joille deg  (P₂) < deg  (Q). Mutta tämä seuraa jakoyhtälöstä Lause 2.1 (sivu pageref).

$ A, S s.e.     P = AQ + S, deg  S < deg  Q Ž R = AQ + S Q = A + S Q .

saamme esityksen (5) valitsemalla P₁ = A, P₂ = S.

Esimerkki.

R(x) = x2 x - 1     (P(x) = x2,     Q(x) = x - 1) = x2 + 1 - 1 x - 1 = (x + 1)(x - 1) + 1 (x - 1) = (x - 1)(x + 1) x - 1 + 1 x - 1 = x + 1 P1  + a x - 1 P2  .

Seuraavassa tarkastellaan rationaalifunktioita, joilla deg(P) < deg(Q) (R = P/Q).

Tapaus 2. Oletetaan, että deg  (Q) = n ja Q:lla on keskenään erisuuret 0-kohdat x₁, ¼x_n. Tällöin R = [(P)/(Q)] voidaan kirjoittaa muodossa

P Q = P a(x - x1)(x - x2) ¼(x - xn)     Ī R = A1 x - x1 + A2 x - x2 + ¼+ An x - xn

missä A₁, ¼, A_n ovat vakioita.

(Huomautus. Tämän jälkeen funktion R integrointi on helppoa, sillä

ó õ A x - x1 = Alog(x - x1).)

Todistetaan väite tapauksessa n = 2. Silloin

R(x) = ax + b (x - x1)(x - x2) ,     x1 ¹ x2

halutaan esittää muodossa

A1 x - x1 + A2 x - x2 ,

missä A₁, A₂ Ī R.

Kirjoitetaan

ax + b (x - x1)(x - x2) = A1 x - x1 + A2 x - x2     ź ź ź ·(x - x1)(x - x2)

minkä tulisi päteä kaikilla x Ī R!

Tästä on määrättävä luvut A₁, A₂. Poistetaan nimittäjät Ž

ax + b = A1(x - x2) + A2(x - x1) Ū ax + b = (A1 + A2)x - A1x2 - A2x1

Tämän tulee päteä kaikille x Ī R, joten

ģ ķ ī a = A1 + A2 b = -A1x2 - A2x1 Ū ģ ķ ī a = A1 + A2 -b = A1x2 + A2x1

Saimme siis yhtälöparin tuntemattomille A₁ ja A₂. Tämän yhtälöparin determinantti on

ź ź ź 1 1 x2 x1 ź ź ź = x1 - x2 ¹ 0.

Siten A₁ ja A₂ voidaan aina ratkaista.^[¯]

Esimerkki 1. Seuraava menetelmä ei perustu yllä olevaan todistukseen. Määritämme vakiot A₁, A₂, A₃ siten että

R(x) : = 1 x(x-1)(x+1) = A1 x + A2 x-1 + A3 x+1 ,

(6)

missä

1 x(x-1)(x+1)

on annettu rationaalifunktio, deg P = 0, deg Q = 3, ja Q:lla on 0-kohdat 0, 1 ja -1.

Ratkaisu.

1. Kerrotaan (6) puolittain "1. nimittäjällä" x

1 (x - 1)(x + 1) = A1 + x A2 x - 1 + x A3 x + 1 .

2. Asetetaan x = 0 (Q:n vastaava 0-kohta)

1 (0 - 1)(0 + 1) = A1 + 0 ·¼+ 0 ·¼    Ū A1 = -1.

3. Sijoitetaan (6):een A₁ = -1 ja kerrotaan "2:lla nimittäjällä" x - 1

1 x(x + 1) = -1 x (x - 1) + A2 + A3 (x + 1) (x - 1).

4. Sijoitetaan x = 1 ("Q:n 2. 0-kohta")

1 1 ·2 = 0 + A2 + 0 Ž A2 = 1 2 .

5. Sijoitetaan (6):een A₂ = [1/2]; kerrotaan (6) "3. nimittäjällä" x + 1

1 x(x - 1) = (x + 1) -1 x + (x + 1) 1 2 x - 1 + A3.

6. Sijoitetaan x = -1.

1 -1 ·(-2) = A3 Ž A3 = 1 2 .

Vastaus:

1 x(x - 1)(x + 1) = -1 x + 1 2 1 x - 1 + 1 2 1 x + 1 ,

joka pätee kaikilla x Ī R poislukien nimittäjän nollakohdat. Edelleen

ó õ dx x (x - 1)(x + 1) = -log|x| + 1 2 log|x - 1| + 1 2 log|x + 1| + C = 1 2 log |x2 - 1| x2 + C.

Esimerkki 2. Määrää A₁, A₂, A₃ ja A₄ siten, että

1 (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = A1 (x - 1) + A2 (x - 2) + A3 (x - 3) + A4 (x - 4) .

(7)

1^° A₁: kerrotaan x - 1:lla:

1 (x - 2)(x - 3)(x - 4) = A1 + (x - 1)(¼)    (sijoitetaan x = 1 Ž ) 1 (1 - 2)(1 - 3)(1 - 4) = A1 Ž A1 = -1 2 ·3 = - 1 6

2^° A₂: kerrotaan (7) x - 2:lla

1 (x - 1)(x - 3)(x - 4) = A2 + (x - 2)(¼)    (sijoitetaan x = 2 Ž ) 1 1 ·(-1) ·(-2) = A2 Ž A2 = 1 2

3^° A₃: kerrotaan (7) x - 3:lla

1 (x - 1)(x - 2)(x - 4) = A3 + (x - 3)(¼)    (sijoitetaan x = 3 Ž ) 1 2 ·1 ·(-1) = A3 Ž A3 = - 1 2

4^° A₄: kerrotaan (7) x - 4:lla

1 (x - 1)(x - 2)(x - 3) = A4 + (x - 4)(¼)    (sijoitetaan x = 4 Ž ) 1 3 ·2 ·1 = A4 Ž A4 = 1 6

Siis,

1 (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = - 1 6 1 x - 1 + 1 2 1 x - 2 - 1 2 1 x - 3 + 1 6 1 x - 4 "x Ī R\{ 1, 2, 3, 4}.

Tapaus 3. Jos Q jakautuu reaalisiin 1. asteen tekijöihin, joiden joukossa on moninkertaisia, on näitä vastaamaan asetettava niin monta osamurtolukua kuin k.o. tekijän kertaluku osoittaa.

Esimerkki 1. Olkoon

R(x) = 1 x2(x - 1) .

Tällä on kaksinkertainen 0-kohta 0 ja yksinkertainen 0-kohta 1.

Huom! Tätä ei voida kirjoittaa muotoon

A1 x + A2 x - 1 .

Voidaan kuitenkin löytää vakiot A₁, A₂, A₃ siten, että

R(x) = A1 x2 + A2 x + A3 x - 1

eli

1 x2(x - 1) = A1 x2 + A2 x + A3 x - 1

(8)

1. A₃: kerrotaan (8) x - 1:llä

1 x2 = (x - 1) A1 x2 + (x - 1) A2 x + A3

sijoitetaan x = 1, saadaan A₃ = 1.

2. A₁: kerrotaan (8) x²:llä

1 x - 1 = A1 + x2 ·A2 x + x2 A3 x - 1

sijoitetaan x = 0, saadaan A₁ = -1.

3. A₂:

(8) Ū 1 x2(x -1) + 1 x2 = A2 x + A3 x - 1 Ū 1 + x - 1 x2(x - 1) = A2 x + A3 x - 1 Ū 1 x(x - 1) = A2 x + A3 x - 1 .

Kerrotaan tämä x:llä:

1 x - 1 = A2 + x A3 x - 1 .

Sijoitetaan x = 0, saadaan A₂ = -1.

Vastaus:

1 x2(x -1) = -1 x2 - 1 x + 1 x - 1     "x Ī R\{0, 1}.

Tarkistus:

x - 1 ö ų -          1 x2     x(x - 1) ö ų -          1 x     x2 ö ų +          1 x - 1 = - x - 1 x2(x - 1) - x(x - 1) x2(x - 1) + x2 x2(x - 1) = -x + 1 - x2 + x + x2 x2(x - 1) = 1 x2(x - 1)

Esimerkki 2. Etsi luvut A₁, ¼, A₅ siten että

1 (x - 1)3(x + 2)2 = A1 (x - 1)3 + A2 (x - 1)2 + A3 x - 1 + A4 (x + 2)2 + A5 x + 2 .

(9)

1. A₁: (9) kerrotaan (x - 1)³:lla

1 (x + 2)2 = A1 + (x - 1)(¼)

sijoitetaan x = 1, saadaan A₁ = [1/9].

2. A₂: Siirretään (9):ssä termi [(A₁)/((x - 1)³)] vasemmalle puolelle ja sievennetään

9) 1 (x - 1)3(x + 2)2 (x + 2)2 ö ų -          1 9 1 (x - 1)3 = 9 - (x + 2)2 9(x - 1)3(x + 2)2 = -x2 - 4x + 5 9(x - 1)3(x + 2)2 = -(x - 1)(x + 5) 9(x - 1)3(x + 2)2 = -x - 5 9(x - 1)2(x + 2)2

Yhtälö (9) saadaan siis muotoon

-x - 5 9(x - 1)2(x + 2)2 = A2 (x - 1)2 + A3 ¼

kerrotaan (x - 1)²:lla

-x - 5 9(x + 2)2 = A2 + (x - 1)(¼)

sijoitetaan x = 1, saadaan A₂ = [(-2)/27].

3. A₃: Tarkastellaan yhtälöä (9). Siirretään A₁- ja A₂-termit vasemmalle puolelle ja sievennetään

3) -x - 5 9(x - 1)2(x + 2)2 (x + 2)2 ö ų +          2 27 1 (x - 1)2 = 3(x + 5) - 2(x + 2)2 27(x - 1)2(x + 2)2 = 2(x - 1)(x + 2 7 ) 27(x - 1)2(x + 2)2 = 2 27 x + 7 2 (x - 1)(x + 2)2 .

Siis (9) pätee Ū

2 27 x + 7 2 (x - 1)(x + 2)2 = A3 x - 1 + A4(¼)

kerrotaan (x - 1)²:lla

2 27 x + 7 2 (x + 2)2 = A3 + (x - 1)¼

sijoitetaan x = 1, saadaan A₃ = [2/27] [([9/2])/(3²)] = [1/27].

4. A₄: (9) kerrotaan (x + 2)²:lla

1 (x - 1)3 = A4 + (x + 2)(¼)

sijoitetaan x = -2, saadaan A₄ = [(-1)/27].

5. A₅: Siirretään (9):ssä A₄-termi vasemmalle puolelle. Tarkastellaan vasenta puolta. (Huom! A₁, A₂, A₃, A₅-termit ovat oikealla puolella.)

1 (x - 1)3(x + 2)2 + 1 27 1 (x + 2)2 = 27 + (x - 1)3 27(x - 1)3(x + 2)2 .

(10)

Tässä

27 - (x - 1)3 = 27 + x3 - 3x3 + 3x - 1 = x3 - 3x2 + 3x + 26 = 0

Tämä toteutuu kun x = -2. Jaetaan polynomi x³ - 3x² + 3x + 26 polynomilla x + 2, saadaan x² - 5x + 13.

(10) = x2 - 5x + 13 27(x - 1)3(x + 2) = A5 x + 2 + ¼

kerrotaan x + 2:lla ja sijoitetaan x = -2, saadaan A₅ = -[1/27].

Tapaus 4. Jos Q sisältää tekijän x² + px + q, missä p, q ovat reaalisia kertoimia ja ko. tekijän 0 -kohdat eivät ole reaalisia, on sitä kohti muodostettava osamurtoluku

A1x + A2 x2 + px + q ,     A1, A2 Ī R ovat vakioita.

Esimerkki. Kirjoitetaan

1 x(x2+ 1) = A1 x + A2x + A3 x2 + 1

(11)

missä vakiot A₁, A₂, A₃ halutaan saada sellaisiksi että (11) toteutuu kaikilla x Ī R\{0}.

1.A₁: kerrotaan (11) polynomilla x.

1 x2 + 1 = A1 + x A2x + A3 x2 + 1 .

Sijoitetaan x = 0, saadaan A₁ = 1

2. Loput kertoimet ratkaistaan (11):stä sijoittamalla A₁ = 1. Saadaan

A2x + A3 x2 + 1 = 1 x(x2 + 1) x2 + 1) -          1 x = 1 - (x2 + 1) x(x2 + 1) = -x2 x(x2 + 1) = -x x2 + 1

kerrotaan x² + 1:llä, saadaan

A2x + A3 = -x.

Koska tämän täytyy päteä kaikilla x Ī R, saadaan A₂ = -1 ja A₃ = 0.

Yhteenveto tapauksista 1-4. Rationaalifunktio R = [(P)/(Q)] missä Q on tulo muotoa

(x - a)n     ja     x2 + px + q     (p2 - 4q < 0)

olevista tekijöistä, voidaan kirjoittaa summana muotoa

1 (x - a)k     ja     Ax + B x2 + px + q

olevista termeistä.

2.4  Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Olkoon a Ī R ja olkoon f reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty jossain a:n punkteeratussa ympäristössä

B¢(a, r) : = B(a, r) \{a}

(B(a, r) = { y Ī R | |y - a| < r }). Tässä r > 0.

Määritelmä 2.6 Funktiolla f on pisteessä a raja-arvo b, jos jokaista lukua s > 0 kohti voidaan löytää sellainen luku r > 0 että

|f(x) - b| < s

(12)

kaikille x, jotka toteuttavat |x - a| < r.Tällöin merkitään

lim x ® a  f(x) = b.

Ajattelutapa: f:n raja-arvo on b, jos "f(x) on lähellä b:tä" kunhan "x on riittävän lähellä a:ta".

Esimerkki 1.

Olkoon f(x) = 18  "x Ī R ja olkoon a = -7. Osoita , että

lim x ® -7  f(x) = 18.

Ratkaisu. Olkoon s > 0 mielivaltainen. Tarkastellaan lauseketta

|f(x) - b| = |18 - 18| = 0.

Tämä on kaikille x Ī R pienempi kuin s (koska s > 0). Valitaan esimerkiksi r = 1. Jos |x -(-7)| < r, niin |f(x) - 18| < s.

Esimerkki 2. Olkoon f(x) = x², a = 10. Osoita, että

lim x ® 10  f(x) = 100,

kun s > 0 on annettu.

Todistus.  1. Tarkastellaan lauseketta

|f(x) - 100| = |x2 - 100| = |x2 - 102| = |(x - 10)(x + 10)| = |x - 10||x + 10|

(13)

Yleensä pyritään kirjoittamaan/arvioimaan ylhäältä lauseketta

|f(x) - 100|

muodossa

|x - 10| ·jotakin.

2. Merkitään "jotakin" = A(X). Käyttäen tietoa, että x on lähellä pistettä a (voidaan esimerkiksi aina olettaa että |x - a| < 1) pyritään löytämään yläraja M lausekkeelle A(x). Nyt

A(x) = |x + 10|.

Pätee myös

|x - a| = |x - 10| < 1.

Näin ollen x Ī ]9, 11[, joten A(x) £ 30 (yhtä hyvin 100, 500, tms.). Oletetaan M = 30.

3. Valitaan

r = s M + 1 ę ē č tai r = s M + 1000 , r = s 10M + 106 ¼ ö ÷ ų

4. Todetaan että Määritelmä 2.6 (sivu pageref) toteutuu: Jos |x - 10| < r, niin

|f(x) - 100| < |x - 10||x + 10| < r ·M = s r + 1 ·M = s M M + 1 < 1  < s,

kohdan (13) perusteella |f(x) - 100| < s.     ^[¯]

Esimerkki 3. Olkoon

f(x) = ģ ķ ī x3, x on rationaalinen 0, x on irrationaalinen.

Väite:

lim x ® 0  f(x) = 0.

Todistus.  Olkoon s > 0.

1. Tarkastellaan lauseketta

|f(x) - 0| = |f(x)| = ģ ķ ī |x|3, kun x Ī Q 0, kun x Ī R\Q .

Siis aina

|f(x) - 0| £ |x3| = |x||x|2     "x Ī R.

2. Tämä on muotoa |x - 0| ·A(x), missä A(x) = |x|². Jos esim. |x - 0| < 1, niin |A(x)| < 10 = : M.

3. Valitaan r : = min( [(s)/(M + 1)], 1 ).

4. Näytetään, että Määritelmä 2.6 (sivu pageref) pätee: Jos |x - 0| < r, niin

|f(x) - 0| £ |x|3 = |x| ·A(x) < r ·M £ s M + 1 ·M = s M M + 1 < s

    ^[¯]

Lause 2.7 Jos funktiolla f on raja-arvo pisteessä a, niin silloin kaikille s > 0 voidaan löytää r > 0 siten, että

|f(x) - f(y)| < s,     kun |x - a| < r ja |y - a| < r.

(14)

Tätä lausetta voidaan käyttää, kun osoitetaan, että funktiolla ei ole raja-arvoa jossakin pisteessä.

Esimerkki. Määritellään

f(x) = ģ ķ ī 3, kun x > 10 1, kun x £ 10 .

Väite: f:llä ei ole raja-arvoa pisteessä x = 10.

Todistus.  Olkoon s = [1/2] ja r > 0. Valitaan x siten, että

10 - r < x < 10,

mistä seuraa

|x - 10| < r.

Ja y siten, että

10 < y < 10 + r,

mistä seuraa

|y - 10| < r.

Nyt

|f(x) - f(y)| = |1 - 3| = 2 > s.

Näin ollen Lause 2.7 (sivu pageref) ei toteudu; ei ole raja-arvoa.     ^[¯]

Kun halutaan osoittaa määritelmän 2.6. avulla, että

lim x ® a  f(x) = b,

niin tutkitaan lauseketta |f(x) - b| ja pyritään estimoimaan sitä (kun x » a, esim. x Ī ] a - 1, a + 1 ] eli |x - a| < 1) lausekkeella

|x - a| ·jotakin

missä "jotakin" on rajoitettu ( £ M, ei riipu x:stä).

Esimerkki 1. Olkoon f(x) = x³ - 10 px. Osoita, että

lim x ® 3  f(x) = 27 - 30p.

Pätee

|f(x) - (27 - 30p)| = | x3 - 10px f  - (27 - 30p) raja-arvo  | = | x3 - 33 - 10px + 30p | ( \triangle-ey) £ |x3 - 33| + |-10px + 30p| = |(x - 3)(x2 + 3x + 5)| + | -10px + 10p·3 10p(3 - x)  | £ |x - 3||x2 + 3x + 5| + 10p|3 - x| = |x - 3| (|x2 + 3x + 5| + 10p) =: A(x)  .

Arvioidaan lauseketta A(x) kun x on lähellä tarkastelupistettä, esimerkiksi kun

|x - 3| < 1 eli x Ī ] 2, 4[.

Tällöin

A(x) £ |x2| + |3x| + |5| + 10p £ 16 + 12 + 5 + 10p £ 100.

Olkoon s > 0. Valitaan r = min( [(s)/100], 1 ). Silloin

|f(x) - b| = |f(x) - (27 -30p)| £ |x - 3| ·100 < r ·100 £ s 100 ·100 = s,

jos |x - 3| < r.

Esimerkki 2. Osoita

lim x ® 5  1 x - 1 = 1 4 .

Pätee

ź ź ź 1 x - 1 - 1 4 ź ź ź = ź ź ź 4 - x + 1 4(x - 1) ź ź ź = ź ź ź 5 - x 4(x - 1) ź ź ź = |x - 5| · 1 |4(x - 1)| =: A(x)

Oletetaan, että x Ī B(5, 1) = ]4, 6]. Estimoidaan A(x):ää:

A(x) = 1 |4(x - 1)| £ 1 4 ·3 < 1.

Olkoon s > 0. Siis:

|f(x) - 1 4 | < s,

kun valitaan r = s ja |x - 5| < r.

Esimerkki 3. Olkoon f(x) = px³ + [(x)/2] + [1/(x + 2)]. Osoita, että

lim x ® -1  f(x) = -p+ 1 2 .

Estimoidaan:

|f(x) - (-p+ 1 2 )| = px3 + x 2 + 1 x + 2 - (-p- 1 2 + 1)| = |px3 + p+ x 2 + 1 2 + 1 x + 2 - 1| £ |px3 + p| + | x 2 + 1 2 | + | 1 x + 2 - 1| = p|x3 + 1| + 1 2 |x + 1| + | 1 - (x + 2) x + 2 | = p|x + 1||x2 - x + 1| + 1 2 |x + 1| + |x + 1| 1 |x + 2| = |x + 1| (p|x2 - x + 1| + 1 2 + 1 |x + 2| ) =: A(x)

Oletetaan, että

|x - (-1)| = |x + 1| < 1/2

eli x Ī B(-1, [1/2]) = ]-[3/2], -[1/2] [. Silloin

A(x) £ p(|x2| + |x| + 1) + 1 2 + 1 |-3/2 + 2| £ p( 9 4 + 3 2 + 1) + 1 2 + 2 < 30.

Olkoon s > 0. Valitaan r = min( [(s)/30], [1/2]). Pätee

|f(x) - (-p+ 1 2 )| < s, kun |x - (-1)| < r.

Usein annetun lausekkeen raja-arvo lasketaan käyttäen entuudestaan tunnettuja raja-arvoja ja seuraavaa tulosta:

Lause 2.9. Olkoon f, g reaalimuuttujan funktioita, x₀ Ī R, c Ī R. Oletetaan

lim x ® x0  f(x) = a

(15)

lim x ® x0  g(x) = b.

(16)

Silloin pätee:

a) lim_{x ® x0} (f(x) + g(x)) = a + b
b) lim_{x ® x0} k f(x) = ka
c) lim_{x ® x0} f(x)g(x)) = ab
d) jos b ¹ 0, niin lim_{x ® x0} [(f(x))/(g(x))] = [(a)/(b)]

Todistus.  a) Olkoon s > 0 mielivaltainen. Koska (15) ja (16) pätevät, on olemassa r₁ > 0 siten että

|f(x) - a| < r 2 , kun |x - x0| < r1

ja r₂ > 0 siten että

|g(x) - b| < s 2 , kun |x - x0| < r2.

Valitaan

r = min (r1, r2) > 0.

Olkoon |x - x₀| < r. Pätee

|f(x) + g(x) - (a + b)| £ |f(x) - a + g(x) - b| £ |f(x) - a| + |g(x) - b| < s 2 + s 2 = s.

    ^[¯]

Esimerkki 1. Lasketaan

lim x ® 0    ____ Öa + x   - Öa x

kun a > 0 on jokin vakio.

Osoitetaan ensin, että

lim x ® 0    ____ Öa + x   = Öa.

Todistus.  Olkoon s > 0 mielivaltainen. Valitaan r = Öa ·s. Oletetaan, että |x| < r. Silloin

ź ź   ____ Öa + x   - Öa ź ź = ź ź ź ź ź ź (   ____ Öa + x   + Öa)(   ____ Öa + x   -Öa)   ____ Öa + x   + Öa ź ź ź ź ź ź = ź ź ź ź ź a + x - a   ____ Öa + x   + Öa ź ź ź ź ź = |x|   ____ Öa + x   + Öa < |x| Öa < r Öa = Öa ·s Öa = s.    [¯]

Pätee

____ Öa + x   - Öa x = 1 x · x   ____ Öa + x   + Öa = 1   ____ Öa + x   + Öa

Lauseesta 2.9 (sivu pageref) seuraa

lim x ® 0    ____ Öa + x   - Öa x = lim x ® 0  1   ____ Öa + x   + Öa = lim x ® 0  1 ( lim x ® 0    ____ Öa + x   ) + Öa = 1 2Öa

    ^[¯]