Sisältö

3  Derivaatta

Tarkastellaan funktiota f(x) = x³. Sen kuvaaja kulkee pisteiden (1, 1) ja (1+h, (1+h)³) kautta. Niiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

f(1 + h) - f(1) (1 + h) - 1 = (1 + h)3 - 1 h .

Tätä lauseketta sanotaan myös f:n erotusosamääräksi pisteessä 1.

Tutkimme lausekkeen raja-arvoa, kun h lähestyy nollaa. Kirjoitetaan

lim h ® 0  (1 + h)3 - 1 h = lim h ® 0  1 + 3h + 3h2 + h3 - 1 h = lim h ® 0  3h + 3h2 + h3 h = lim h ® 0  (3 + 3h + h2) = 3.

Luku 3 on tangentin kulmakerroin pisteessä 1.

Määritelmä 3.1 Olkoon x Ī R ja f funktio joka on määritelty x:n jossakin ympäristössä. Jos lausekkeella

f(x + h) - f(x) h

on raja-arvo, kun h lähestyy nollaa, tätä raja-arvoa sanotaan f:n derivaataksi pisteessä x.

Merkitään

f¢(x) = lim h ® 0  f(x + h) - f(x) h .

Sanotaan myös että tällöin f on derivoituva pisteessä x.

Jos f on derivoituva välin D jokaisessa pisteessä, vastaa jokaista x Ī D luku f¢(x). Näin määritelty kuvaus f¢:D® R on f:n derivaatta.

Esimerkki Laske funktion f(x) = x⁴ derivaatta.

Ratkaisu.

lim h ® 0  f(x + h) - f(x) h = lim h ® 0  (x + h)4 - x4 h = lim h ® 0  x4 + 4x3h + 6x2h2 + 4xh3 + h4 - x4 h = lim h ® 0  (4x3 + 6x2h + 4xh2 + h3) = 4x3

Esimerkki Onko funktio

f(x) = |x - 1| + p

derivoituva?

Ratkaisu. Oletetaan että x < 1. Tällöin

f(x) = 1- x + p

ja

lim h ® 0  f(x + h) - f(x) h = lim h ® 0  1 - (x + h) + p- (1 - x + p) h = lim h ® 0  -h h = -1,

joten f on derivoituva kun x < 1.

Oletetaan että x > 1. Tällöin

f(x) = x - 1 + p

ja

lim h ® 0  f(x + h) - f(x) h = 1,

joten f on derivoituva kun x > 1.

Tapaus x = 1. Erotusosamäärä pisteessä 1 on

f(1 + h) - f(1) h = |1 + h - 1| + p- p h = |h| h .

Tämän vasemmanpuoleinen raja-arvo on -1 ja oikeanpuoleinen raja-arvo on 1. Raja-arvoa ei siis ole olemassa, joten f ei ole derivoituva pisteessä 1.

Lause 3.2 Funktiolla f on pisteessä x derivaatta a, jos f:n lisäys voidaan kirjoittaa seuraavasti: Kun h kuuluu johonkin nollan ympäristöön, pätee

f(x + h) - f(x) = ah + hg(h),

(1)

missä a on vakio ja g on funktio joka on määritelty 0:n jossain ympäristössä, g on jatkuva 0:ssa ja g(0) = 0.

Todistus.  a) Oletetaan että f¢(x) = a. Määritellään

g(h) = ģ ļ ļ ļ ķ ļ ļ ļ ī f(x + h) - f(x) h - a, jos h ¹ 0 0, jos h = 0 .

Koska f on derivoituva, pätee

lim h ® 0  f(x + h) - f(x) h = a Ž lim h ® 0  g(h) = 0

Tästä seuraa, että g on jatkuva 0:ssa (g:n raja-arvo 0:ssa on sama kuin g:n arvo 0:ssa.)

Näin ollen g toteuttaa vaaditut ehdot. Edelleen, kehitelmä (1) toteutuu g:n määritelmän perusteella.

b) Oletetaan että (1) pätee. Tällöin

f(x + h) - f(x) h = a + g(h).

Siis,

lim h ® 0  f(x + h) - f(x) h = lim h ® 0  (a + g(h)) = a + lim h ® 0  g(h).

Näin ollen f:n derivaatta pisteessä x on a.     ^[¯]

Termiä a sanotaan f:n differentiaaliksi pisteessä x, merkitään df.

Esimerkki

Olkoon s(t) auton sijainti (metreissä) hetkellä t (sekunteja, katso Kuva 3). Tällöin s on reaalimuuttujan t funktio, esimerkiksi s(t) = 30t. Auton keskinopeus on määritelmän mukaan ajettu matka jaettuna siihen käytetyllä ajalla. Keskinopeus esimerkiksi aikana t Ī [ 1000, 2000 ] on siten

s(2000) - s(1000) 2000 - 1000 = 30 (metriä sekunnissa).

Jos h > 0, keskinopeus aikana t Ī [ 1000, 1000 + h ] on

s(1000 + h) - s(1000) 1000 + h - 1000 = 30(1000 + h) - 30·1000) h = 30.

Hetkellinen nopeus, "nopeusmittarin näyttö", hetkellä t = 1000 on

lim h ® 0  s(1000 + h) - s(1000) 1000 + h - 1000 = lim h ® 0  s(1000 + h) - s(1000) h = s¢(1000) = 30.

Otetaan toinen esimerkki. Oletetaan, että auton sijainti hetkellä t saadaan funktiosta

s(t) = ģ ļ ķ ļ ī 30t + sinpt, t < 7000 30 ·7000, 7000 < t < 8000 25t + sinpt, t > 8000.

Nyt keskinopeus aikana t Ī [ 1000, 2000 ] on

s(2000) - s(1000) 1000 = 60000 + sinp2000 + (30000 + sinp1000) 1000 = 30

ja aikana t Ī [ 1000, 1000 + h ]

s(1000 + h) - s(1000) h .

Hetkellinen nopeus hetkellä t = 1000 on nyt

lim h ® 0  s(1000 + h) - s(1000) h = s¢(1000) = 30 + pcos1000 p = 30 + p @ 33,1.

Lause 3.3 Jos funktiolla f on derivaatta pisteessä x, niin f on jatkuva pisteessä x.

Lause 3.4 Vakiofunktion derivaatta on 0 kaikilla x Ī R. Funktion

x ® xn,     n Ī N

derivaatta on nx^{n - 1}.

Todistus.  Todistetaan induktiolla.

1^° n = 1. Olkoon x, h Ī R,

(x + h) - x = h.

Lauseessa 3.2 (sivu pageref) otetaan a = 1 ja g(h) = 0, joten derivaatta on vakio 1. (Voidaan helposti todistaa myös erotusosamäärän raja-arvon avulla.)

2^° Oletetaan, että väite on todistettu funktiolle xⁿ, siis

D xn = nxn - 1.

(2)

On osoitettava, että väite pätee myös funktiolle x^{n + 1}. Kohdasta (2) seuraa että on olemassa g joka toteuttaa Lauseen 3.2 (sivu pageref) oletukset siten, että

(x + h)n - xn = nxn - 1 a  h + hg(h).

Kirjoitetaan

(x + h)n + 1 - xn + 1 = (x + h)(x + h)n - xn + 1 = (x + h)(nxn - 1h + xn + hg(h)) - xn + 1 = (n + 1)xn h + h((x + h)g(h) + nxn - 1h) = (n + 1)xn h + h ~ g   (h),

missä on merkitty [(g)\tilde](h) = (x + h)g(h) + nx^{n - 1}h. Tässä

lim h ® 0  ~ g   (h) = 0,

yllä olevasta kaavasta nähdään, että derivaatta on (n + 1)xⁿ. Joten [(g)\tilde] toteuttaa Lauseen 3.2 (sivu pageref) vaatimukset.     ^[¯]

Lause 3.5 Jos f:llä on derivaatta f¢(x) pisteessä x ja C Ī R, niin funktiolla Cf on derivaatta Cf¢(x) pisteessä x. Samoin, jos g:llä on derivaatta g¢(x), niin

(f + g)¢(x) = f¢(x) + g¢(x).

Tästä ilmiöstä käytetään nimitystä, että derivaatta on lineaarinen operaattori ja derivointi on lineaarinen laskutoimitus.

Lause 3.6 Olkoon f ja g kuten Lauseessa 3.5 (sivu pageref). Tällöin funktiolla fg on derivaatta

f¢(x)g(x) + g¢(x)f(x)

pisteessä x. Jos lisäksi g(x) ¹ 0, niin

D 1 g(x) = - g¢(x) g(x)2     ja D f(x) g(x) = f¢(x)g(x) - g¢(x)f(x) g(x)2

Todistetaan tässä vain tulon derivointikaava. Olkoon h Ī R riittävän pieni. Merkitään

Df = f(x + h) - f(x) Dg = g(x + h) - g(x).

Kirjoitetaan tulofunktion fg erotusosamäärä

f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) h = (Df + f(x))(Dg + g(x)) - f(x)g(x) h = Df Dg + Df ·g(x) +f(x)Dg + f(x)g(x) - f(x)g(x) h = Df h ·Dg + Df h ·g(x) + f(x) Dg h ® 0 + f¢(x)g(x) + f(x)g¢(x)

kun h ® 0.

Derivaatalle on käytössä monia eri merkintöjä, esimerkiksi

f¢(x) = Df(x) = (Df)(x) = ( Df(z) )z = x = df d = df(x) dx .

3.1  Trigonometristen funktioiden derivaatat

Lause 3.7 Koko R:ssä pätee

Dsinx = cosx Dcosx = -sinx.

Todistus.  Muodostetaan erotusosamäärä

sin(x + h) - sin(x) h = sinx cosh + sinh cosx - sinx h = sinh h cosx + sinx cosh - 1 h ® 1 ·cosx + sinx ·0 = cosx

kun h ® 0. Samoin

cos(x + h) - cos(x) h = cosx cosh - sinx sinh - cosx h = cosx cosh - 1 h - sinx sinh h ® - sinx

kun h ® 0.     ^[¯]

Näistä seuraa soveltamalla lausetta 3.6 (sivu pageref).

Dtanx = 1 + tan2 x Dcotx = -(1 + cot2 x)

Lause 3.8 Olkoon f määritelty pisteen x eräässä ympäristössä B(x, h) (h > 0) ja oletetaan, että f on derivoituva pisteessä x. Olkoon g määritelty pisteen y : = f(x) ympäristössä B(y, s) (s > 0) ja oletetaan että g on derivoituva pisteessä y. Silloin yhdistetty funktio g °f on derivoituva pisteessä x ja

D(g °f)(x) = g¢(f(x)) ·f¢(x).

Todistuksen idea:

• Käytetään Lausetta 3.2 (sivu pageref) g:lle.
• Muodostetaan erotusosamäärä g °f ja käytetään yhtälöä (1).

Esimerkki Derivoi funktio sin(x²). Tämä on yhdistetty funktioista

g : x ® sinx,     ja     f : x ® x2.

Siis,

sin(x2) = g °f(x).

Lauseen 3.8 (sivu pageref) mukaan pätee

Dsin(x2) = g¢(g(x)) ·f¢(x) = cos(f(x)) ·2x = cos(x2) ·2x = 2xcos(x2).

Esimerkki Derivoi

ex3 - cosx = : exp(x3 - cosx).

Tämä on yhdistetty funktioista

g : x ® exp(x)     ja    f : x ® x3 - cosx,

eli exp(x³ - cosx) = g °f(x). Siis

Dexp(x3 - cosx) = g¢(f(x)) ·f¢(x) = exp(f(x)) ·(3x2 + sinx) = (3x2 + sinx)ex3 - cosx.

Huomautus Oletetaan että on annettu funktiot f₁, ¼, f_n. Oletetaan että

f₁ on määritelty pisteen x ympäristössä ja derivoituva pisteessä x.
f₂ on määritelty pisteen f₁(x) ympäristössä ja derivoituva siinä, jne...

Esimerkki Derivoi

cos(ex + sinx) = cos(exp(x + sinx)).

Määritellään

h(x) = cos(x) g(x) = exp(x) f(x) = x + sin(x).

Silloin

cos(ex + sinx) = h °g °f(x).

Derivaatta on

-sin(exp(x + sinx)) ·exp(x + sinx) ·(1 + cosx) = (1 + cosx)ex + sinx ·(-sin(ex + sinx)).

Esimerkki Katso kuva (3.1).

W(t) = auton P sijainti hetkellä t
W(t₀) = 1km, [(dW)/(dt)](t₀) = -80 km/h
Z(t) = auton L sijainti hetkellä t
Z(t₀) = 1,5km
f(t) = autojen P ja L välinen etäisyys hetkellä t.

Ratkaisu. Pythagoraan lauseen mukaan

f(t)2 = W(t)2 + Z(t)2 Ž f(t) =   __________ ÖW(t)2 + Z(t)2   .

Derivoidaan reaalimuuttujan t suhteen:

f¢(t) = 1 2 1 (W(t)2 + Z(t)2)[1/2] · d dt (W(t)2 + Z(t)2) = 1 2 1   __________ ÖW(t)2 + Z(t)2 ·(2W(t)W¢(t) + 2Z(t)Z¢(t)) = 1   __________ ÖW(t)2 + Z(t)2 ·(W(t)W¢(t) + Z(t)Z¢(t)).

Näin ollen

f¢·   ______ ÖW2 + Z2   = W ·W¢+ Z ·Z¢ Ū Z¢ = f¢·   ______ ÖW2 + Z2   - W ·W¢ Z .

Sijoitetaan tunnetut arvot ajanhetkellä t₀:

dZ dt (t0) = 60 ·   ________ Ö1,52 + 12   + 80 ·1 1,5 km h @ 125km/h.

3.2  Käänteisfunktion derivaatta

Lause 3.9 Oletetaan, että funktio f toteuttaa

1. Funktio f on määritelty pisteen x ympäristössä B(x, r), r > 0.
2. Funktiolla f on käänteisfunktio f^-1, joka on määritelty pisteen y : = f(x) ympäristössä B(y, s), s > 0. Oletetaan, että f^-1 on jatkuva pisteessä y.
3. Funktiolla f on derivaatta f¢(x) pisteessä x ja f¢(x) ¹ 0.

Todistus.  Sovelletaan Lausetta 3.2 (sivu 3) funktioon f

f(x + h) - f(x) = f¢(x)h + h ·u(h),

missä u on 0:n jossain ympäristössä määritelty kuvaus,

ģ ļ ķ ļ ī u(0) = 0 lim h ® 0  u(h) = 0.

Erotusosamäärä f^-1:lle pisteessä y on

f-1(y + k) - f-1(y) k ,

(3)

Missä k kuuluu johonkin ympäristöön B(y, s); koska f^-1 on jatkuva pisteessä y, voidaan s valita niin pieneksi, että f^-1(y + k) Ī B(x, r). Valitaan h siten, että

x + h = f-1(y + k).

Tällöin

f(x + h) - f(x) = f(f-1(y + k)) - y = y + k - y = k,

ja (3) saa muodon

x + h - x f(x + h) - f(x) = h f(x + h) - f(x) = h f¢(x)h - h ·u(h) = h f¢(x) + u(h) ® 1 f¢(x)

kun h, k ® 0.     ^[¯]

Lause 3.10 Olkoon n Ī N. Funktio

x ® n ę Ö x   = x[1/(n)]

on derivoitava, kun x > 0 ja

D n ę Ö x   = 1 n ę č n ę Ö x   ö ų n - 1   = 1 n x[1/(n)] - 1.

Todistus.  Merkitään

f(x) = n ę Ö x   ,     x > 0.

Tällöin f on funktion g(x) = xⁿ käänteisfunktio ja

g¢(x) = nxn - 1.

Lauseesta 3.9 (sivu pageref) seuraa, että

f¢(x) = 1 g(f¢(x)) = 1 n(f(x))n - 1 = 1 n(x1/n)n - 1 = 1 n · 1 x1 - 1/n = 1 n x1/n - 1.

    ^[¯]

Seuraus Kaikille rationaalisille eksponenteille q pätee

D xq = 1 q xq - 1,     x > 0.

Todistus.  Oletetaan, että q = [(m)/(n)], n Ī N ja m Ī Z. Nyt

Dxq = Dx[(m)/(n)] = D(x[1/(n)])m = m(x[1/(n)])m - 1 ·Dx[1/(n)] = m ·x[(m - 1)/(n)] · 1 n ·x[1/(n)] - 1 = m n ·x[(m)/(n)] - [1/(n)] + [1/(n)] - 1 = m n x[(m)/(n)] - 1 = qxq - 1

    ^[¯]

Esimerkki Tarkastellaan funktiota

f(x) = x2 - 4x + 3 = (x - 2)2 - 1.

Tämä on aidosti kasvava, kun x > 2,

f( [ 2, „[ ) = [ -1, „[.

Funktiolla f | _{[ 2, „[} on käänteisfunktio

g : [ -1, „[ ® [ 2, „[.

Yksinkertaisella laskulla saadaan suoraan

g(y) = 2 +   ____ Öy + 1   Ž g¢(y) = 1 2 (y + 1)-1/2 = 1 2   ____ Öy + 1   .

Käänteisfunktion derivointikaavan avulla saadaan

f¢(x) = 2x - 4 = 2(x - 2) g¢(x) = 1 f¢(g(y)) = 1 2(g(y) - 2) = 1 2   ____ Öy + 1   .

Vastaavasti käsitellään f | _{] -„, 2 ]}:

ę č f ź ź  ] -„, 2 ]  ö ų -1   (y) = 2 -   ____ Öy + 1   = h(y),     y Ī [ -1, „[ h¢(y) = -1 2   ____ Öy + 1   .

Esimerkki Olkoon

f(x) =   _____ Ö2x - 1   ,     x ³ 1 2 .

Tämä on aidosti kasvava, ja sillä on käänteisfunktio:

y =   _____ Ö2x - 1   Ū y2 = 2x - 1 Ū x = 1 2 y2 + 1 2 = g(y)

Laske f:n derivaatta

a) yhdistetyn funktion derivointisäännön avulla
b) käänteisfunktion derivointisäännön avulla.

Ratkaisu. a)

f¢(x) = 1 2 (2x - 1)-[1/2] ·2 = 1   _____ Ö2x - 1

b)

f¢(x) = 1 g¢(f(x)) = 1 f(x) = 1   _____ Ö2x - 1 .

Määritelmä 3.11 Oletetaan, että f on funktio, joka on määritelty pisteen x ympäristössä. Jos erotusosamäärällä

f(x + h) - f(x) h

on oikean- / vasemmanpuoleinen raja-arvo, siitä sanotaan f:n oikean- / vasemmanpuoleiseksi derivaataksi pisteessä x.

Esimerkki Laske funktion

f(x) = p|x - 3| + 2

oikean- ja vasemmanpuoleiset derivaatat pisteessä 3.

Ratkaisu.

lim h ® 0+  f(3 + h) f(3) h = p|3 + h - 3| + 2 -(p|3 - 3| + 2 h = p|h| h = ph h = p,

koska h > 0. Vastaavasti

lim h ® 0-  f(3 + h) f(3) h = p |h| h = p -h h = -p.