Sisältö

4  Derivaatan sovellutuksia

Lause 4.1 Oletetaan, että funktiolla f on derivaatta pisteessä a Ī R.

a) Jos f¢(a) > 0, niin on olemassa r > 0 siten, että

(1) f(x) < f(a) kun a - r < x < a ja
(2) f(x) > f(a) kun a < x < a + r.

b) Jos f¢(a) < 0, on olemassa r > 0 siten, että

(1) f(x) > f(a) kun a - r < x < a ja
(2) f(x) < f(a) kun a < x < a + r.

Todistus.  Todistetaan kohta a). Koska

f¢(a) = lim h ® 0  f(a + h) - f(a) h = lim y ® a  f(y) - f(a) y - a

(1)

on suurempi kuin 0, on olemassa r siten, että

f(y) - f(a) y - a > 0,

kun 0 < |y - a| < r. Tästä seuraa

(1), jos a - r < y < a
(2), jos a < y < a + r.

Lause 4.2 Oletetaan, että funktio f on määritelty välillä D, ja f saa suurimman (tai pienimmän) arvonsa pisteessä a. Oletetaan edelleen, että on olemassa f¢(a). Silloin

f¢(a) = 0.

(2)

Siis (2) on välttämätön ehto sille, että pisteessä a on f:n suurin arvo, mutta ehto ei ole riittävä. Esimerkiksi

f(x) = (x - 4)3 f¢(x) = 3(x - 4)2 f¢(4) = 0

mutta f ei saa suurinta arvoaan (edes lokaalista) pisteessä 4 (katso kuva 4). (Funktion suurin ja pienin arvo on määritelty määritelmässä 4.9 (sivu pageref).)

Lause 4.3 (Rollen lause) Oletetaan, että

1. funktio f on jatkuva suljetulla välillä [ a, b ]
2. f on derivoituva välillä ] a, b [
3. f(a) = f(b) = 0.

Esimerkki Sovellutuksena Rollen lauseelle todistetaan seuraava tulos. Jos p > 0, niin yhtälöllä

f(x) = x4 + px2 + qx + r = 0     (p, q, r Ī R)

on enintään 2 reaalista ratkaisua.

Todistus.  Funktio

f¢(x) = 4x3 + 2px + q

on aidosti kasvava, koska se on summa kahdesta aidosti kasvavasta funktiosta ja vakiosta. Tästä seuraa, että on olemassa enintään 1 piste b Ī R siten, että f¢(b) = 0. Oletetaan, että funktiolla f on 3 nollakohtaa x₁, x₂, x₃, missä x₁ < x₂ < x₃ . Rollen lauseesta (sivu pageref) seuraa, että on olemassa y₁ Ī ] x₁, x₂ [ ja y₂ Ī ] x₂, x₃ [ siten, että f¢(y_j) = 0, missä j = 1, 2. Ristiriita!     ^[¯]

Lause 4.4 (Väliarvolause) Oletetaan, että

1. funktio f on jatkuva välillä [ a, b ] ja
2. f on derivoituva välillä ] a, b [.

Todistus.  Määritellään

F(x) : = f(x) - f(a) - f(b) - f(a) b - a ·(x - a).

Funktio F toteuttaa Rollen lauseen (sivu pageref) ehdot, koska

F(b) = f(b) - f(a) - f(b) - f(a) b - a (b - a) = f(b) - f(a) - ę č f(b) - f(a) ö ų = 0,

samoin F(a) = 0. Rollen lauseesta seuraa, että on olemassa t Ī R siten, että F¢(t) = 0. Näin ollen

0 = F¢(t) = f¢(t) - f(b) - f(a) b - a .

    ^[¯]

Lause 4.5 (Integraalilaskennan peruslause) Oletetaan, että

1. funktio f on jatkuva välillä [ a, b ],
2. f on derivoituva välillä ] a, b [ ja
3. f¢(x) = 0 kaikilla x Ī ] a, b [.

Todistus.  Olkoon x Ī ] a, b ]. Sovelletaan väliarvolausetta (sivu pageref) välillä [ a, x ]:

f(x) - f(a) = f¢(t)(x - a),

missä t Ī ] a, x [. Saadaan

f¢(t) = 0 Ž f(x) - f(a) = 0 Ž f(x) = f(a).

    ^[¯]

Lause 4.6 Oletetaan, että funktio f

1. on jatkuva välillä [ a, b ] ja f(a) = A,
2. on derivoituva välillä ] a, b [ ja
3. f¢(x) £ M kaikille x Ī ] a, b [.

Todistus.  Olkoon x Ī ] a, b ]. Väliarvolauseesta (sivu pageref) seuraa, että on olemassa t siten, että

f(x) - f(a) = f¢(t)(x - a).

Kohdasta 3. seuraa, että

f(x) - f(a) £ M(x - a) Ū f(x) £ f(a) + M(x - a) = A + M(x - a).

(3)

Sijoitetaan tähän x = b, saadaan haluttu epäyhtälö.

Oletetaan, että f(x) ei ole sama kuin g(x). Halutaan näyttää, että

f(b) < A + M(b - a).

Kaavan (3) nojalla aina pätee

f(x) £ g(x)     " x Ī ] a, b ].

Koska f ¹ g niin on olemassa

x0 Ī ] a, b ], jolle f(x0) < g(x0).

Käytetään jo todistettua lauseen alkuosaa välillä [ x₀, b ]:

f(b) £ f(x0) + M(b - x0) < g(x0) + M(b - x0) = A + M(x0 - a) + M(b - x0) = A + M(b - a).

äin ollen

f(b) < A + M(b - a).

    ^[¯]

Samantapaisella tarkastelulla saadaan väliarvolauseesta myös seuraava tulos.

Lause 4.7 Oletetaan, että funktio f

1. on derivoituva pisteen a ympäristössä B(a, h), missä h > 0, ja
2. |f¢(x)| £ M     " x Ī B(a, h).

Esimerkki Mittauksessa on kulman j suuruudeksi saatu 44.1^° ja tiedetään, että mittausvirhe on enintään 0.1^°. Kuinka suuren virheen tämä voi enintään aiheuttaa, kun lasketaan funktion tanj arvo?

Ratkaisu. Merkitään

j = kulman tarkka arvo
[(j)\tilde] = kulman likiarvo ( = 44.1^°).

Lause 4.8 Ilman todistusta mainitsemme myös seuraavan: Oletetaan, että funktio f

1. on jatkuva (rajoitetulla tai rajoittamattomalla) välillä D ja
2. f¢ on olemassa ja on ³ 0 kaikissa D:n sisäpisteissä.

Vastaava tulos pätee tietenkin myös väheneville funktioille olettaen, että derivaatta on negatiivinen.

Esimerkki 1 Tarkastellaan funktiota f(x) = x³ välillä D = R. Tämä on aidosti kasvava koko R:ssä. Funktion derivaatalla f¢(x) = 3x² on yksi nollakohta, piste 0. Derivaatta ei kuitenkaan ole 0 millään R:n osavälillä

f¢(x) > 0, kun x Ī ] -„, 0 [, ] 0, „[.

Esimerkki 2 Olkoon

f(x) = 1 + sinx 1 - cosx ,     x Ī ł ś ū 0, p 2 é ź ė .

Näytä, että f on pienenevä.

Ratkaisu.

f¢(x) = (1 - cosx)cosx - (1 + sinx)sinx (1 - cosx)2 = ( < 0 cosx - 1   ) - > 0 sinx   (1 - cosx)2 < 0

kaikilla tarkasteluvälin pisteillä.

4.1  Funktion ääriarvot

Määritelmä 4.9 Olkoon funktio f määritelty välillä D. Jos on olemassa x₁ Ī D siten, että f(x) £ f(x₁) kaikilla x Ī D, niin f(x₁) on f:n suurin arvo välillä D.

Vastaavasti f(x₁) on f:n pienin arvo jos f(x) ³ f(x₁) kaikilla x Ī D.

Esimerkki 1 Funktion f(x) = x³ suurin arvo välillä D = [ 0, 1 ] on f(1) = 1.

Esimerkki 2 Funktiolla f(x) = x³ ei ole suurinta arvoa välillä D = [ 5, „[. (Mikään x₁ ei toteuta esitettyä vaatimusta: Jos otamme jonkun pisteen x₁, aina löytyy pisteitä x jossa f(x) > f(x₁).)

Esimerkki 3 Funktiolla f(x) = x³ ei ole suurinta arvoa myöskään välillä D = [ 0, 1 [. Jos x₁ Ī [ 0, 1 [, niin on olemassa lukuja x siten, että x₁ < x < 1 ja näille pätee f(x) > f(x₁).

Määritelmä 4.10 Funktiolla f on pisteessä x₀ lokaali maksimikohta (tai lokaali minimikohta) jos f(x₀) on f:n suurin (tai pienin) arvo jossakin x₀:n ympäristössä B(x, r). Vastaava f:n arvo f(x₀) on maksimiarvo (tai minimiarvo).

Yhteisnimitys: (Lokaali) ääriarvokohta, (lokaali) ääriarvo.

Maksimi (tai minimi) on oleellinen, jos f(x₀) > f(x) (tai f(x₀) < f(x)) kun

x Ī B¢(x0, r) = B(x0, r) \{x0}.

Katso kuva (4.1).

Lause 4.11 Oletetaan, että funktio f on jatkuva pisteen a ympäristössä B(a, h), h > 0 ja f on derivoituva ympäristössä B¢(a, h).

1. Jos f¢(x) > 0, kun a - h < x < a ja f¢(x) < 0, kun a < x < a + h, niin f:llä on pisteessä a oleellinen maksimi.
2. Jos f¢(x) < 0, kun a - h < x < a ja f¢(x) > 0, kun a < x < a + h, niin f:llä on pisteessä a oleellinen minimi.

Todistus.  Todistetaan kohta 1. Lauseesta 4.8 (sivu pageref) seuraa, että kun a - h < x < a pätee f(x) < f(a) ja sama pätee myös kun a < x < a + h.     ^[¯]

Huomautus Aikaisemmin on osoitettu, että jos f on derivoituva pisteessä x₀ ja f:llä on ääriarvo pisteessä x₀, niin f¢(x₀) = 0.

Esimerkki Määrää funktion

f(x) = x(|x| + |x - 1|)

ääriarvot.

Ratkaisu. Kirjoitetaan

f(x) = ģ ļ ķ ļ ī x(-x + 1 - x) x(x + 1 - x) x(x + x - 1) = ģ ļ ķ ļ ī x(1 - 2x), kun x £ 0 x, kun 0 £ x £ 1 x(2x - 1), kun x ³ 1.

Nyt

f¢(x) = ģ ļ ķ ļ ī 1 - 4x, kun x < 0 1, kun 0 < x < 1 4x - 1, kun x > 1.

Sellaista x ei ole, että f¢(x) = 0. Muut mahdolliset ääriarvopisteet ovat ne pisteet, joissa f ei ole derivoituva: x = 0 ja x = 1.

Piste x = 0:

f¢(x) = ģ ķ ī 1 - 4x > 0, kun x < 0 1 > 0, kun x > 0

ei ole ääriarvokohta.

Piste x = 1:

f¢(x) = ģ ķ ī 1 > 0, kun 0 < x < 1 4x - 1 > 0, kun x > 1

ei ole ääriarvokohta.

Esimerkki Määrää funktion

f(x) = x2(x - 1)3

lokaalit ääriarvot.

Ratkaisu. Funktio f on derivoituva koko R:ssä. Siis kaikissa ääriarvokohdissa f¢(x) = 0.

f¢(x) = x2 ·3(x - 1)2 + 2x(x - 1)3 = (x - 1)2 ę č 3x2 + 2x(x - 1) ö ų = x(3x + 2x - 2)(x - 1)2 = 5x(x - 2 5 )(x - 1)2.

Siis f¢(x) = 0 kun x = 0, [2/5] tai 1.

0        [2/5]        1
f¢(x)	+	- -	+ +	+ +
f	\nearrow	\searrow	\nearrow	\nearrow

Kuviosta huomataan, että x = 0 on funktion maksimi ja x = [2/3] minimi.

Lause 4.12 Jos jatkuvalla funktiolla f on välillä D suurin (tai pienin) arvo, f saavuttaa sen lokaalissa maksimi (tai minimi) kohdassa tai välin päätepisteessä (jos sellainen on).

Tarkasteluilla, jotka siirretään myöhempään ajankohtaan, voidaan osoittaa seuraava tärkeä tulos:

Jos D on suljettu ja rajoitettu väli, niin jatkuvalla funktiolla on suurin ja pienin arvo välillä D.

Esimerkki Määrää funktion

f(x) = x3 - 3x - 1

suurin ja pienin arvo välillä [ -2, 2 ].

Ratkaisu. Tutkitaan funktion 0-kohdat ja välin päätepisteet.

f¢(x) = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1) = 0,     kun x = ±1.

f(-2) = -8 + 6 - 1 = -3
f(-1) = -1 + 3 - 1 = 1
f(1) = 1 - 3 - 1 = -3
f(2) = 8 - 6 - 1 = 1

Esimerkki

Tarkastellaan erilaisien öljyputken rakentamistapojen kustannuksia, kun öljyputken rakentaminen merellä maksaa 50 000 euroa/km ja maalla 30 00 euroa/km. Katso kuva (4.1).

Esimerkiksi jos putki rakennetaan tulemaan kohtisuoraan maihin, mereen rakennettavan putken osuuden kustannuksiksi tulee 12 ·50 000 euroa ja maalle rakennettavan osuuden 20 ·30 000 euroa.

merellä	12 ·50 000
maalla	20 ·30 000
yht.	1 200 000	euroa

Yhteensä koko putki maksaisi siis 1 200 000 euroa.

Jos taas putki rakennettaisiin suoraan lautalta jalostamolle, maksaisi se
1 166 00 euroa. Tällöin koko putki kulkee merellä ja sen pituus saadaan Pythagoraan lauseesta.

Vedetään putki lautalta pisteeseen y (putken rantautumispisteen etäisyys jalostamosta):

Öljyputken pituus merellä, x, saadaan nyt Pythagoraan lauseen avulla

x2 = 122 + (20 - y)2 Ž x =   ____________ Ö144 + (20 - y)2   .

Haetaan y:tä jolla putken rakentamiskustannus on pienin mahdollinen. Rakentamiskustannus y:n funktiona on

f(y) = 50 000 x + 30 000 y = 50 000   ____________ Ö144 + (20 - y)2   + 30 000 y.

Halutaan siis tietää tämän funktion pienin arvo, kun y Ī [ 0, 20 ] : = D. Funktio f(y) on jatkuva välillä D ja derivoituva välin sisäpisteissä. Funktion derivaatta on

f¢(y) = 50 000 · 1 2 · 2(20 - y)(-1)   ___________ Ö144 + (20- y)2 + 30 000 = -50 000 20 - y   ___________ Ö144 + (20- y)2 + 30 000.

Ja derivaatan nollakohdat

f¢(y) = 0 Ū 50 000(20 - y) = 30 000   ___________ Ö144 + (20- y)2   Ū 5 3 (20 - y) =   ___________ Ö144 + (20- y)2   Ū 25 9 (20 - y)2 = 144 + (20- y)2 Ū 16 9 (20 - y)2 = 144 Ū 20 - y = ± 3 4 ·12 Ū y = 20 ±9.

Derivaatan nollakohdat ovat siis 11 ja 29. Jälkimmäinen ei kuulu tarkasteluvälille, joten halvimmat rakentamiskustannukset ovat y:n arvolla 11. Suora sijoitus f:n kaavaan antaa

f(11) = 1080 000 euroa.

Esimerkki Olkoon

f(x) = x 1 + x2 .

Tutki f:n suurinta ja pienintä arvoa joukossa R.

Ratkaisu. Koska 1 + x² > 0 koko R:ssä, on f jatkuva ja derivoituva koko R:ssä. Lisäksi

lim x ® ±„  x 1 + x2 = 0.

Edelleen,

f¢(x) = 1 + x2 - x ·2x (1 + x2)2 = 1 - x2 (1 + x2)2 = 0,

kun x = ±1. Koska f(1) = [1/2], f(-1) = -[1/2] ja

lim x ® ±„  f(x) = 0,

niin on olemassa sellainen M > 0, että |f(x)| < [1/4], kun |x| ³ M.

Väite: f:n suurin arvo on [1/2] ja pienin arvo on -[1/2].

Todistus.  On osoitettava, että

f(x) £ 1 2     " x Ī R

(4)

ja

f(x) ³ - 1 2     " x Ī R.

(5)

Jos |x| > M, niin |f(x)| < [1/4], joten (4) ja (5) toteutuvat. Tarkastellaan tilannetta x Ī [ -M, M ]. Välin päätepisteissä |f(M)|, |f(-M)| £ [1/4], joten (4) ja (5) toteutuvat. Suurin ja pienin arvo ovat f¢:n nollakohdissa, eli suurin f(1) = [1/2] ja pienin f(-1) = -[1/2]. Muilla x Ī [ -M, M ] (4) ja (5) toteutuvat.     ^[¯]

4.2  Newtonin menetelmä

Newtonin menetelmän avulla voidaan approksimoida yhtälön f(x) = 0 ratkaisuja, mikäli f toteuttaa tietyt edellytykset. Katso kuva (4.2).

Menetelmän ensimmäiset askeleet ovat seuraavat.

1. Arvataan (enemmän tai vähemmän perustellusti) lähtöpiste x₀ tarkasteluväliltä.
2. Piirretään pisteeseen x₀ funktion f kuvaajaan tangentti.
3. Asetetaan x₁ := tangentin ja x-akselin leikkauskohta.
4. Piirretään pisteeseen (x₁, f(x₁)) tangentti.
5. Asetetaan x₂ := tangentin ja x-akselin leikkauskohta.

Newtonin menetelmässä siis arvataan x₀ (esimerkiksi kuvaajasta, mahdollisimman läheltä oletettua nollakohtaa). Jos n:s approksimaatio x_n on laskettu, x_{n + 1} saadaan kaavasta (6).

Esimerkki Lasketaan Ö2:n likiarvo. Tämä vastaa yhtälön

f(x) : = x2 - 2 = 0

positiivisen ratkaisun arviointia.

Ratkaisu. Koska

f(x) = x2 - 2     ja     f¢(x) = 2x,

yhtälö (6) saa muodon

xn + 1 = xn - xn2 - 2 2xn = xn - 1 2 xn + 1 xn = xn 2 + 1 xn .

Asetetaan x₀ = 1 ja lasketaan

x₀ = 1
x₁ = 1.5
x₂ = 1.41667
x₃ = 1.41422 (5 oikeaa numeroa!)

4.3  Korkeammat derivaatat

Jos tällä funktiolla on pisteessä x derivaatta, tätä sanotaan f:n toiseksi derivaataksi pisteessä x, merkitään f¢¢(x) tai f⁽²⁾(x). Yleisesti, n:n kertaluvun derivaatta f⁽ⁿ⁾(x) tai D⁽ⁿ⁾f(x) tai [(dⁿf)/(dxⁿ)], määritellään (n - 1):n kertaluvun derivaatan derivaattana.

Funktiota, jolla on kaikkien kertalukujen derivaatat, sanotaan C^„ -funktioksi.

Esimerkki Polynomit ovat C^„-funktioita (koko R:ssä). Jos deg(P) = n, niin

deg ( dk P dxk ) polynomi  = n - k,     k £ n.

Jos k > n, niin

dk P dxk = 0.

Esimerkki Kun P = x⁴ - 2x,

d2 P dx2 = D(4x3 - 2) = 12x2.

Esimerkki Olkoon f(x) = |x|³.

f(x) = ģ ķ ī x3, x ³ 0 -x3, x £ 0.

Alueessa { x > 0 } f on polynomi; täällä f Ī C^„({ x > 0 }). Alueessa { x < 0 } f on polynomi; täällä f Ī C^„({ x < 0 }).

f¢(x) = ģ ķ ī 3x2 , x > 0 -3x2 , x < 0 = 3x|x|     "x ¹ 0 f¢(0) = lim h ® 0  f(0 + h) - f(0) h = lim h ® 0  |h|3 h = lim h ® 0  hh|h|3 h = 0 f¢¢(x) = ģ ķ ī 6x , x > 0 -6x , x < 0 f¢¢(0) = lim h ® 0  f¢(0 + h) - f¢(0) h = lim h ® 0  3h|h| h = lim h ® 0  3|h| = 0 f¢¢¢(x) = ģ ķ ī 6 , x > 0 -6 , x < 0

Koska f¢¢¢:n oikeanpuoleinen derivaatta 0:ssa on

lim h ® 0+  f¢¢(0 + h) - f¢¢(0) h = lim h ® 0+  6h h = 6.

Samoin nähdään, että vasemmanpuoleinen on -6. Näin ollen ei ole o lemassa derivaattaa f¢¢¢(0).

Määritelmä Olkoon funktio f derivoituva välillä D. Käyrää y = f(x) sanotaan alas(ylös)päin kuperaksi, jos käyrä ei ole missään pisteessä tangenttinsa alapuolella (yläpuolella).

Lause 4.13 Funktiosta f oletetaan

1. f on derivoituva välillä D
2. f¢ on kasvava välillä D (f¢(x) ³ f¢(y), kun x > y).

Tämä tapahtuu esimerkiksi jos f¢¢(x) ³ 0     "x Ī D.

Määritelmä Piste x₀ on käännepiste, jos f¢¢(x₀) = 0 ja f¢¢(x) on erimerkkinen pisteen x₀ eri puolilla (jossakin ympäristössä).

Esimerkki Tarkastellaan funktiota

f(x) = (x - 4)3.

Funktion toisen kertaluvun derivaatta (f¢¢(x) = 6(x - 4)) saa negatiivisia arvoja kun x < 4 (alaspäin kupera) ja positiivisia kun x > 4 (ylöspäin kupera). Näin ollen 4 on f:n käännepiste.

Toista derivaattaa voidaan käyttää hyväksi ääriarvojen tutkimisessa.

Lause 4.14 Jos f¢(x₀) = 0 ja f¢¢(x₀) > 0, niin funktiolla f on pisteessä x₀ lokaali minimi (vastaavasti jos f¢¢(x) < 0, maksimi).

Todistus sivuutetaan.

Lause 4.15 Oletetaan että välillä [ a, „[ määritetty funktio f toteuttaa

1. f ja f¢ ovat jatkuvia kun x ³ a.,
2. f¢(a) > 0,
3. f¢¢ on olemassa ja f¢¢(x) ³ 0     "x ³ a.

4.4  Lisää transsendenttisista alkeisfunktioista

Määrittelimme aiemmin Neperin luvun raja-arvona

e = lim n ® „  ę ē č 1 + 1 n ö ÷ ų n     Ī R.

Jos a Ī R, a > 0, olemme määritelleet a:n mielivaltaisen rationaalisen potenssin a^x, x Ī Q. Siis, kun x Ī Q, on myös luku e^x määritelty.

Seuraavan lauseen todistuksen jätämme nyt väliin:

Lause 4.16 Olkoon x Ī R ja (x_n)^„_{n = 1} Ģ Q jono siten, että

lim n ® „  xn = x.

Silloin jono (e^x_n)^„_{n = 1} suppenee (johonkin reaalilukuun) ja raja-arvo ei riipu jonon (x_n) valinnasta. Jos x Ī Q niin

lim n ® „  exn = ex.

Näin ollen voimme määritellä:

Määritelmä 4.17 Kaikille x Ī R määrittelemme

ex = lim n ® „  exn,

missä (x_n) Ģ Q on jono joka suppenee x:ään. Kuvausta x ® e^x sanotaan (e-kantaiseksi) eksponenttifunktioksi, merkitään myös exp(x).

Lause 4.18 Eksponenttifunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

1. e^{x + y} = e^x e^y kaikille x, y Ī R,
2. se on jatkuva, aidosti kasvava ja derivoituva koko R:ssä,
3. De^x = e^x.

Tässä kohta 3. seuraa kaavasta

lim h ® 0  eh - 1 h = 1

sekä eksponentin yhteenlaskukaavasta 1: Kaikilla x Ī R

Dex = lim h ® 0  ex + h - ex h = lim h ® 0  ex eh - ex h = ex lim h ® 0  eh - 1 h = 1  = ex.

Seuraus Funktion exp n:s derivaatta on exp kaikilla n Ī N.

Lause 4.19 Funktiolla exp on seuraavat raja-arvot:

lim x ® „  ex = „,

lim x ® -„  ex = 0.

Tarkemmin sanoen, jos n Ī N, niin

lim x ® „  ex xn = „,

(7)

lim x ® „  e-x ·xn = 0.

Todistus.  Todistetaan (7):

D ę ē č ex xn ö ÷ ų = ex xn - nex xn - 1 x2n = ex (x - n) xn + 1 > 0,

kun x > n.

D(2) ę ē č ex xn ö ÷ ų = ¼ = ex xn + 2 ę č (x - n)2 + n ö ų > 0,

kun x > 0. Lauseesta 4.15 (sivu pageref) seuraa, että

lim x ® „  ex xn = „.

    ^[¯]

Esimerkki Lasketaan funktion xe^x n:s derivaatta. Väitämme, että se on

D(n)(xex) = (n + x)ex.

(8)

Todistus.  Tapaus n = 1:

D(xex) = ex + xex = (1 + x)ex.

Induktio-oletus: Oletetaan että (8) pätee arvolla n Ī N. Silloin

D(n + 1)(xex) = DD(n)(xex) = D ę č (n + x)ex ö ų = D(nex) + D(xex) = nex + (1 + x)ex = (n + 1 + x)ex.

Siis (8) pätee arvolla n + 1.     ^[¯]

4.5  Logaritmifunktio

Lause 4.20 Jos x, y > 0, niin

• log(xy) = logx + logy
• log([(x)/(y)]) = logx - logy
• log([1/(x)]) = log(x^-1) = -logx
• logx^a = a logx  "a Ī R.

Lause 4.21

D logx = 1 x  " x > 0

ja

lim x ® „  x (logx)n = „ " n Ī N.

Todistus.  Derivointikaava seuraa käänteisfunktion derivointikaavasta:

D logx = 1 (D exp)(logx) = 1 exp(logx) = 1 x .

Jälkimmäinen kaava seuraa lauseesta 4.19 (sivu pageref).     ^[¯]

Huomatus Funktio log on aidosti kasvava, mutta sen kasvuvauhti on hyvin hidasta. Kuitenkin pätee

lim x ® „  logx = „.

4.6  Muut exponentti- ja logaritmifunktiot

Olkoon a Ī R, a ¹ 1. Määritellään

ax : = ex loga = exp(x loga).

Tälle pätevät

• a^{x + y} = a^x ·a^y
• Da^x = a^x ·loga

Funktion a^x käänteisfunktio on funktio

logax : ] 0, „[ ® R.

Tälle pätee

logax = logx loga

ja

D ( loga x ) = 1 (loga)x .

4.7  Yleinen potenssifunktio

a > 0 on funktio kasvava,
a < 0 on funktio vähenevä ja
a = 0 on funktio vakiofunktio, x^a = 1.

Lause 4.22 Jos a, b Ī R ja x > 0, niin

• x^{a + b} = x^a ·x^b
• x^{a - b} = [(x^a)/(x^b)], x > 0
• Dx^a = ax^{a - 1}.

Todistus.  Todistetaan derivointikaava yhdistetyn funktion derivointikaavaa käyttäen:

Dxa = Dea logx = ea logx ·a 1 x = xa a 1 x = axa - 1.

    ^[¯]

Määritelmä Funktio x ® x^x, x > 0, määritellään kaavalla

xx = ex logx.

Motivaationa näille määritelmille on eksponentin laskusääntö

exy = (ex)y.

Tästä seuraa esimerkiksi

ex logx = (elogx)x = xx.

4.8  Hyperboliset funktiot

Hyperbolinen sini:

sinhx : = ex - e-x 2 = 1 2 (ex - e-x).

Hyperbolinen kosini:

coshx : = ex + e-x 2 = 1 2 (ex + e-x).

Hyperbolinen tangentti:

tanhx : = ex - e-x ex + e-x .

Hyperbolinen kotangentti:

cothx : = ex + e-x ex - e-x .

Hyperbolisille funktioille pätevät seuraavat yhtälöt:

cosh2 x - sinh2 x = 1,

tanhx = sinhx coshx = 1 cothx .

Derivaatat:

D sinhx = coshx D coshx = sinhx D tanhx = 1 cosh2 x D cothx = - 1 sinh2 x

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktioita kutsutaan areafunktioiksi.

(sinh)-1(x) =: arsinh(x) = log(x +   _____ Öx2 + 1   )  " x Ī R (cosh)-1(x) =: arcosh(x) = log(x +   _____ Öx2 - 1   ) kun x ³ 1 (tanh)-1(x) =: artanh(x) = 1 2 log 1 + x 1 - x kun x Ī ] -1, 1 [ (coth)-1(x) =: arcoth(x) = 1 2 log x + 1 x - 1 kun x Ī ] -1, 1 [.