Analyysi II, 3
Demo 3, kevät 2002
  1. Olkoot f ja g: R2®R2,
    2. f(x, y) 
    =
    æ
    è    		 sin x + y2, cos x ö
    ø
    g(x, y) 
    =
    (y-1, x-1).
    Muodosta funktiot f °g, f °f, g °f ja g °g, kaikki kuvauksia R2®R2.
  2. Ovatko tehtävän 1 funktiot f ja g injektioita tai surjektioita? Ratkaise yhtälö
    3. (g ° g)(x1, x2) = (0, p).
  3. Olkoon f: R®R, f(x) = Ö{1+x2}. Muodosta funktio F: R2®R2, F = (F1,F2), missä

    4. F1(x,y) = f(x) ja
    F2(x,y) = f2(y) (eli (f°f)(y)).
    Muodosta edelleen funktiot F2, F+F2 sekä F·F2. (Mitä ovat näiden lähtö- ja maalijoukot?)
  4. Muistutamme mieleen käänteiskuvauksen yleisen määritelmän:

    5. jos A ja B ovat joukkoja ja f: A ®B on funktio, niin funktio g:B ®A on f:n käänteisfunktio, mikäli se toteuttaa
    (f ° g)(x) = x kaikilla x Î B ja
    (g ° f)(x) = x kaikilla x Î A.
     

    Muodosta funktion f: R2®R2,
    f(x1,x2) = (x2, x1+100x22)
    käänteisfunktio.

    Opastus. Ratkaise yhtälöstä f(x1, x2) = (a,b) muuttujat x1 ja x2 tuntemattomien a ja b avulla.

  5. Samoin, kun f: R3®R3 ja
    6. f(x,y,z) = (y3, x+z,x-z3+z).
File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 11 Feb 2002, 12:14.