Analyysi II, 3
Demo 7, kevät 2002
  1. Johda väliarvolausetta käyttäen yläraja lausekkeelle
    2. | f(1, 50) - f(1 + h, 50 - 2h)|,
    kun f on kahden muuttujan funktio
    f(x,y) = e-(x + y)2 + (x + y)2
    ja h Î R, esimerkiksi |h| £ 1. Löytämälläsi ylärajalla on oltava ominaisuus, että se lähestyy nollaa, kun h ® 0.
  2. Erään kappaleen W Ì R3 lämpötila T ajan hetkellä t noudattaa kaavaa
    3. T(t, 
    -
    x
     
    		 ) : = 250 exp(  t
    1 + t |
    -
    x
     
    		 |2
    		- sin t ),
    missä t > 0 on aika sekunteina, `x Î W (pituusyksikkö metri), ja T on siis lämpötila hetkellä t pisteessä `x  kelvineinä.

    Arvioi, kuinka suuri virhe lämpötilan laskemisessa enintään tehdään hetkellä t = 10 pisteessä  `x = (1,3,8), jos aika pystytään mittaamaan sekunnin kymmenesosan ja paikka yhden millimetrin tarkkuudella. Johtopäätös mittausjärjestelyistä?

  3. Sama, kun
    4. T(t, 
    -
    x
     
    		 ) : = 400 exp( -
    |
    -
    x
     
    		 |2
    t    		 ).
    (Huom. Tehtävän 2 funktio T on kuvitteellinen, mutta tehtävän 3 T vastaa paremmin todellisuutta; se on lineaarisen lämpö- eli diffuusioyhtälön ratkaisu eräässä tilanteessa.)
  4. Yhtälö
    5. exp(-(x+1)2 - y2) - exp(- x2 - (y-1)2) = 0
    määrittelee y:n x:n funktiona pisteen (1,1) eräässä ympäristössä. (Totea tämä!). Mikä on y¢(-1)?
  5. Voidaanko z ratkaista x:n ja y:n avulla pisteen (1,100,-1) ympäristössä yhtälöstä
    6.  (z+2)2 - x
    1 + (x-1)4 + (y-2)2    		 + z + 1 = 0  ?
    Jos näin on, laske D1 z(1, 100) ja D2 z(1, 100).
File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 14 Mar 2002, 18:48.