Analyysi II, 3
Demo 10, kevät 2002, viikko 15 (8.-12.4.)
Demotilaisuudet tietokoneluokassa M17:
R1 ti klo 8-11,
R2 ti klo 11-14,
R3 ke klo 8-11,
R4 ke klo 11-14,
R5 to klo 8-11,
R6 to klo 11-14.
  1. a) Piirrä tasoon käyrä, jonka parametriesitys on
    2. j(t): =  ì
    ï
    ï
    í
    ï
    ï
    î
    (0,t), 
    t Î [0,1]
    (t-1,1), 
    t Î [1,2]
    (1,1-(t-2)), 
    t Î [2,3]
    (1-(t-3),0), 
    t Î [3,4]
    b) Parametrisoi tasossa murtoviiva, joka kulkee pisteestä (1,2) pisteen (1,4) kautta pisteeseen (2,5).
  2. a) Olkoon a > 0 ja b > 0. Osoita ensin, että piste (acos t, bsin t) toteuttaa ellipsin yhtälön
    3.  x2
    a2    		 +   y2
    b2    		 = 1
    kaikilla t Î [0,2p]. Onko kuvaus
    g: [0,2p]® ì
    í
    î    		 (x,y) ÎR2 ê
    ê    		    x2
    a2    		 +  y2
    b2    		 =1 ü
    ý
    þ    		  , g(t) = (acos t, bsin t)
    surjektio?
    b) Parametrisoi ellipsin (x-1)2 + 9 y2 = 4 reuna (alkupiste mielivaltainen).
  3. Parametrisoi avaruudessa R3 murtoviiva (0,0,0) ® (1,0,0) ® (1,2,0) ® (1,2,3).
  4. Määrättävä funktion f(x,y) = x3 - 3xy2 suurin ja pienin arvo joukossa
    5. { (x,y) ÎR2 | x2 + y2 £ 1 }.
  5. a) Laske tasossa käyräintegraali
    6. ó
    õ

    G

    		 f(x,y) dx + g(x,y) dy,
    kun G on paraabelin y = x2 kaari pisteestä (0,0) pisteeseen (2,4) ja
    f(x,y) = y sin x,    g(x,y) =   1
    x2 + 3    		 .
    b) Laske avaruudessa R3 käyräintegraali
    ó
    õ

    G

    		 f(x,y,z) dx + g(x,y,z) dy + h(x,y,z) dz,
    kun
    G =  ì
    í
    î    		 æ
    ç
    è    		  2

    Ö
    10
    		cos t ,   2

    Ö
    10
    		cos t  , sin t ö
    ÷
    ø    		 Î R3 ê
    ê    		  t Î [0,2p] ü
    ý
    þ
    ja
    f(x,y,z) = yz, g(x,y,z) = xy, h(x,y,z) = z.
File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 28 Mar 2002, 12:51.