Sisältö

1  Vektoriavaruudet R², R³, R⁴

Tarkastellaan avaruutta R². Vektorien [`(x)] = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) ja [`(y)] = (y₁, y₂) yhteenlasku määritellään kaavalla

x   + y   = (x1 + y1, x2 + y2).

Esimerkki

(1, 10) + (3, p) + (-4, 0) = (1 + 3 + (-4), 10 + p+ 0) = (0, 10 + p).

Vektorin [`(x)] = (x₁, x₂) kertominen reaaliluvulla a määritellään

a x   = (ax1, ax2).

Esimerkki

5(e, e2) = (5e, 5e2).

Vektorien [`(x)] ja [`(y)] erotus määritellään

x   - y   =  x   + (- y   ),

missä -[`(y)] = -1 ·(y₁, y₂) = (-y₁, -y₂).

Merkitään [`(e)]<sub>1</sub> = (1, 0), [`(e)]₂ = (0, 1) (kantavektorit). Jos vektori [`(x)] = (x₁, x₂) ÎR², niin se voidaan kirjoittaa muodossa

x   = x1 e   1 + x2 e   2

tai

e   1 =  i   ja e   2 =  j   .

Siis myös

x   = x1 i   + x2 j   .

Jos n Î N, niin määritelmät ovat analogisia. Olkoon a Î R ja

x   = (x1, x2, ¼, xn) Î Rn y   = (y1, y2, ¼, yn) Î Rn.

Määritellään

x   + y   := (x1 + y1, x2 + y2, ¼, xn + yn) Î Rn,  a x   := (ax1, ax2, ¼,axn) ÎRn,  - x   := (-x1, -x2, ¼, -xn) ÎRn

ja kantavektorit

e   1 = (1, 0, 0, ¼, 0),  e   2 = (0, 1, 0, ¼, 0),  : e   n = (0, 0, 0, ¼, 1).

Jos [`(x)] = (x₁, ¼, x_n), niin

x   = x1 e   1 + ¼+ xn e   n =  n å j = 1 xj e   j .

Olkoon [`(x)] = (x<sub>1</sub>, ¼, x<sub>n</sub>) ÎR<sup>n</sup>, [`(y)] = (y₁, ¼, y_n) Î Rⁿ. Niiden sisätulo (skalaari-, pistetulo) määritellään

x   · y   : = x1 y1 + x2y2 + ¼+ xnyn ÎR.

Esimerkki Tapauksessa n = 4, lasketaan sisätulo

(1, 0, -2,   1 2 ) ·(1, 0, 1, 0) = 1 ·1 + 0 ·0 + (-2) ·1 +   1 2 ·0 = -1.

Lause 1.1 Jos [`(x)],[`(y)] ÎRⁿ ja a, b ÎR, niin

 
a) [`(x)] ·[`(y)] = [`(y)] ·[`(x)]
b) [`(x)] ·(a[`(y)] + b[`(z)]) = a[`(x)] ·[`(y)] + b[`(x)] ·[`(z)]
c) [`(x)] ·[`(x)] ³ 0 (ja [`(x)] ·[`(x)] = 0 jos ja vain jos [`(x)] = [`0]).

Vektorin [`(x)] ÎRⁿpituus eli normi määritellään

ê ê   x     ê ê =    æ Ö   x   · x     =  Ö   x12 + x22 + ¼xn2   .

Lause 1.2

 
a) | [`(x)]| ³ 0
b) | a[`(x)] | = | a || [`(x)] |,  "aÎ R
c) | [`(x)] ·[`(y)] | £ | [`(x)] | | [`(y)] | (Schwarzin epäyhtälö)
d) | [`(x)] +[`(y)] | £ | [`(x)] | + | [`(y)] | (kolmio-ey)
e) | [`(x)] -[`(y)] | ³ |  | [`(x)] | - | [`(y)] |  |

Jos [`(x)],[`(y)] ÎRⁿ ja [`(x)] ·[`(y)] = 0, niin sanotaan, että [`(x)] ja [`(y)] ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, merkitään [`(x)] ^[`(y)].

1.1  Geometrinen havainnollistus

Figure 1: Taso R2

Figure 2: Taso R2

Figure 3: Avaruus R3

1.2  Tason topologiaa

Ehto (1) tarkoittaa: Kaikilla r > 0 voidaan löytää luku N ÎN seuraavasti:

ê ê   x   k - x     ê ê < r, josk > N.

Esimerkki. Olkoon

x   k =  æ è 2 +   1 k ,   k - 3 k ö ø ,     k ÎN.

Kysymys: suppeneeko jono

( x   k )k=1¥ÌR2.

x   1 = ( 2 +   1 1 ,   1 - 3 1 ) = ( 3, -2 )     ( ¹ x1)  x   2 = ( 2 +   1 2 ,   2 - 3 2 ) = ( 2  1 2 , -  1 2 )  x   3 = ( 2  1 3 , 0 )  x   4 = ( 2  1 4 ,   1 4 )  x   5 = ( 2  1 5 ,   2 5 )  :

Väite:

lim k ® ¥ x   k = (2, 1) = : x

Todistus.

ê ê   x   k - x     ê ê = ê ê  (2 +   1 k ,   k - 3 k ) - (2, 1)  ê ê =  ê ê  (  1 k ,   k - 3 -k k )  ê ê = ê ê    1 k ,   -3 k   ê ê =  ê ê    1 k (1, -3)  ê ê =   1 k | (1, -3) | =  Ö 10 k .

Tämä lähestyy nollaa, kun k lähestyy ääretöntä.    ^[¯]

Lause 1.4 Olkoon ([`(x)]<sub>k</sub>)<sub>k = 1</sub><sup>¥</sup> ÌR<sup>2</sup> jono vektoreita, x<sub>k</sub> = (x<sub>1k</sub>, x<sub>2k</sub>) ja [`(x)] = (x₁, x₂) ÎR². Tällöin

lim k ® ¥ x   k =  x   Û ì ï ï í ï ï î lim k ® ¥ x1k = x1 lim k ® ¥ x2k = x2.

Esimerkki Olkoon

x   k =  æ è sin æ è  1 k ö ø ,cos æ è  1 k ö ø ö ø ,      "kÎ N.

Tässä x_1k = sin([ 1/(k)]) ja x_2k = cos([ 1/(k)]).

Pätee:

lim k ® ¥ x1k = lim k ® ¥ sin(  1 k ) = 0  lim k ® ¥ x2k = lim k ® ¥ cos(  1 k ) = 1,

joten lauseen 1.4 nojalla

lim k ® ¥ x   k = (0, 1) Î R2.

Lause 1.5 Jos lim_{k ®¥}[`(x)]<sub>k</sub> = [`(x)], lim_{k ®¥}[`(y)]<sub>k</sub> = [`(y)] ja (a_k)_{k = 1}^¥ ÌR on sellainen jono, että lim_{k ®¥}a_k = a, niin

 
a) lim_{k ® ¥} ([`(x)]<sub>k</sub> +[`(y)]_k) = lim_{k ® ¥}[`(x)]<sub>k</sub> + lim<sub>k ® ¥</sub>[`(y)]_k = [`(x)] +[`(y)],
b) lim_{k ® ¥}a_k[`(y)]<sub>k</sub> = a[`(y)],
c) lim_{k ® ¥} ([`(x)]<sub>k</sub> ·[`(y)]_k) = [`(x)] ·[`(y)].

Määritelmä 1.6 [`(a)]-keskeinen r-säteinen avoin pallo (kiekko) on joukko

B( a   , r) =  ì í î y   Î R ê ê   ê ê   y   - a     ê ê < r ü ý þ .

Huomaan, että

ê ê   y   - a     ê ê =  Ö   (y1 - a1)2 + (y2 - a2)2

on pisteiden [`(y)] ja [`(a)] etäisyys! Katso kuva 4. Joukkoa B([`(a)], r) sanotaan myös [`(a)]:n (r-säteiseksi) palloympäristöksi.

Figure 4: B([`(a)], r)

Vastaavasti määritellään suljettu kiekko

B( a   , r) : =  ì í î y     ê ê   ê ê   y   - a     ê ê £ r ü ý þ

(sisältää kiekon reunan) ja punkteerattu kiekko

B( a   , r) : =  ì í î y     ê ê  0 <  ê ê   y   - a     ê ê < r ü ý þ .

Vielä toistamme, että

y   Î B( a   , r) Û (y1 - a1)2 + (y2 - a2)2 < r2.

Määritelmä 1.7 Joukko A ÌR² on avoin, jos jokaista [`(x)] ÎA kohti on olemassa sellainen kiekko B([`(x)], r), että B([`(x)], r) ÌA.

Esimerkki Osoitetaan että joukko

A : =  ì í î (x1, x2) ÎR2 ê ê  x1 > 2  ü ý þ

on avoin. Katso kuva 5.

Figure 5: Avoin joukko

Olkoon [`(x)] ÎA. Silloin x<sub>1</sub> > 2. Valitaan r : = [(x<sub>1</sub>- 2)/20]. On osoitettava, että jos [`(y)] ÎB([`(x)], r), niin [`(y)] ÎA. Pätee

|  y1 -x1  | =  Ö   (y1 - x1)2   £ Ö   (y1 - x1)2 + (y2 - x2)2   £ r =   x1 - 2 20 .

Tarkastellaan kahta tapausta 1. Jos y₁ ³x₁, niin y₁ > 2 (sillä x₁ > 2), eli [`(y)] ÎA

2. Jos y₁ < x₁, niin

|  y1 -x1  |  £  x1 - 2 20 Û x1 -  x1 - 2 20 £ y1 Û 2 + (x1 - 2) -  x1 - 2 20 £ y1 Û 2 + [1 -  1 20 ] ·(x1 - 2)  £ y1 Þ 2  <  y1,

eli taas [`(y)] ÎA.

Lause 1.8 Avoin pallo on aina avoin joukko. Avoin suorakulmio

ì í î x   Î R2 ê ê  a < x1 < b, c < x2 < d ü ý þ

on avoin joukko.

Tässä a,b,c,d ÎR, a < b, c < d. Katso kuva 6.

Figure 6: Avoin suorakulmio

Määritelmä 1.9 Joukko A ÌR² on suljettu, jos (komplementti) R² \A on avoin. Katso kuva 7.

Esimerkki

Figure 7: Suljettu joukko

Jana

ì í î (x, 0)  ê ê  0 £ x£ 10  ü ý þ =: A

on suljettu. Merkitään B : = R² \A. Joukko B sisältää kahdenlaisia pisteitä [`(y)] : = (y₁, y₂):

 
1) y₂ ¹ 0
2) y₂ = 0, mutta y₁ Ï [ 0, 10 ].

Tapaus 1^° Valitaan esimerkiksi r = [(|y₂|)/2]. Tällöin B([`(y)], r) ÌB.

Tapaus 2^° Pätee y₁ < 0 Úy₁ > 10. Jos y₁ < 0, valitaan r = [(|y₁|)/2] mistä seuraa B([`(y)], r) ÌB. Jos y<sub>1</sub> > 10, valitaan r = [(y<sub>1</sub>- 10)/2] mistä seuraa B([`(y)], r) Ì B.

Esimerkki Joukko

A : =  ì í î (x, 0)  ê ê  0 < x < 10  ü ý þ

ei ole avoin eikä suljettu.

Selitys. Joukko A ei ole avoin, koska jos valitaan [`(x)] = (5, 0) ja r > 0 mielivaltainen, niin B(x, r) \not Ì A. Joukko A ei ole suljettu koska jos merkitään B = R² \A, piste (0, 0) Î B. Nyt B ei ole avoin. Olkoon r > 0 mielivaltainen. Joukko B(0, r) sisältää A:n pisteitä B(0, r) \not Ì B joten B ei ole avoin. Näin ollen A ei ole suljettu.

Heuristisesti: Katso kuva 8.

Figure 8: Joukot A ja K

Esimerkki Olkoon

A : =  ì í î x = (x1, x2) ÎR2 ê ê  0 £ x1£ 1, 0 < x2 < 1  ü ý þ .

Joukko A ei ole avoin eikä suljettu. Katso kuva 9.

Figure 9: Joukko A

Määritelmä 1.10 Olkoon A ÌR², [`(x)] ÎR<sup>2</sup>. Piste [`(x)] on joukon A kasaantumispiste, jos jokainen [`(x)]:n ympäristö sisältää vähintään yhden A:n pisteen [`(y)], [`(y)] ¹ [`(x)].

Esimerkki Olkoon

A : =  ì í î æ è  1 k ,   1 k ö ø   ê ê  k ÎN ü ý þ .

Piste [`0] on A:n kasaantumispiste. Katso kuva 10.

Figure 10: Kasaantumispiste

Lause 1.11 Jos [`(x)] on A:n kasaantumispiste, niin jokainen B([`(x)], r) sisältää äärettömän monta A:n pistettä. Lisäksi on olemassa jono ([`(x)]<sub>k</sub>)<sub>k = 1</sub><sup>¥</sup> ÌA siten, että lim<sub>k ®¥</sub>[`(x)]_k = [`(x)].

Määritelmä 1.12 Joukon A sulkeuma on joukko

A   : = { x   Î R2 ê ê   x   Î Atai x   on A:nkasaantumispiste }.

Lause 1.13 Jos A Ì R², niin [`(A)] on suljettu joukko. Jos B on suljettu joukko, niin [`(B)] = B.

SeurausA on suljettu, jos ja vain jos A sisältää kaikki kasaantumispisteensä.

Esimerkki Joukko

B : =  ì í î æ è 1, 3 +   1 k ö ø   ê ê  k ÎN ü ý þ

ei ole suljettu. Joukko

C : = B È{ (1, 3) }

on suljettu.

Määritelmä 1.14 Piste [`(x)] on joukon A sisäpiste jos on olemassa ympäristö B([`(x)], r), r > 0 siten, että B([`(x)], r) Ì A.

Piste [`(x)] on joukon A ulkopiste, jos [`(x)] ÎR² \A ja on olemassa s > 0 siten, että B([`(x)], s) ÌR² \A.

Piste [`(x)] on joukon A reunapiste, jos sen jokainen ympäristö B([`(x)], r), r > 0 sisältää sekä A:n että R² \A:n pisteitä.

Esimerkki Olkoon joukko

C : = { (x, y)  ê ê  1 < x £ 3, 2 < y £ 4 }

Piste (1 + [ 1/100], 2 + [ 1/1000]) ÎC on sisäpiste, (2, 4) Î C ei ole sisäpiste.

Piste (3[ 1/2], 3) on joukon C ulkopiste, (2, 2) ÎR² \C ei ole ulkopiste.

Pisteet (2, 2) ja (2, 4) ovat joukon C reunapisteitä.

Todistus.  Tapaus (2, 2): Olkoon r > 0 mielivaltainen.

1^° Joukko B( (2, 2), r ) sisältää C:n pisteitä: määritellään r¢ = min(1, r) ja [`(b)] = (2, 2 + [(r¢)/2]). Tällöin [`(b)] ÎB( (2, 2), r);

ê ê   (2, 2) - b     ê ê =  ê ê   (2, 2) - æ è 2, 2 +   r¢ 2 ö ø   ê ê =  ê ê   æ è 0,   r¢ 2 ö ø   ê ê =    æ Ö   02 +  æ è  r¢ 2 ö ø 2   =   r¢ 2 £  r 2

Toisaalta [`(b)] ÎC, koska [`(b)] = (2, 2 + [(r¢)/2]).

2^° Joukko B( (2, 2), r) sisältää joukon R² \C pisteitä, esimerkiksi

c   =  æ è 2, 2 -  r 2 ö ø Î (R2 \C)ÇB æ è (2, 2), r ö ø .

Todistus harjoitustehtävä.     ^[¯]

Joukon A reuna on se joukko

¶A : = { x   Î R2 ê ê   x   on A:nreunapiste }.

Jos [`(x)] ÏA, niin [`(x)] on joukon A reunapiste jos ja vain jos [`(x)] on joukon A kasaantumispiste.

Seuraus: [`(A)] = A ȶA.

Joukko A on suljettu jos ja vain jos se sisältää kaikki reunapisteensä.