Sisältö

2  Useamman muuttujan funktiot

Funktio f : A ® Rⁿ on m:n muuttujan vektoriarvoinen tai Rⁿ-arvoinen funktio. (Jos m = n ³ 2, niin f on vektorikenttä.)

Esimerkki 1 Kahden muuttujan reaaliarvoisia funktioita:

f(x, y)  = sin(x, y)  f(x, y)  = x2 + 3x2y- y3 g(x, y)  =  1 x2 + y2 -  1 y h(x, y)  = tanx1 ·sinx2 h( x   )  = ê ê   x     ê ê + 3 ê ê   x     ê ê 2 g(x1, x2)  = ì í î 1,  x1 ³x2 sinx1,  x1 < x2

missä x, y Î R ja x₁, x₂ ÎR.

Esimerkki 2 Kahden muuttujan R²-arvoisia funktioita:

f : A ®R2,    f( x   ) =  æ è f1( x   ), f2( x   )  ö ø = f1( x   ) i   + f2( x   ) j   ,

missä f₁ : A ®R, f₂ : A ®R ja [`(x)] ÎR². Esimerkiksi

f(x, y)  = ( x2 + y2,   1 x +   1 y ); x, y ÎR    x,y ¹ 0  g(x1, x2)  = ( sinx1 + cosx2, sinx2 - cosx1 ).

Esimerkki 3 Kahden muuttujan R³-arvoisia funktioita:

f( x   ) =  æ è f1( x   ), f2( x   ), f3( x   )  ö ø , x   Î A ÌR2, fj : A ®R, j = 1, 2, 3,¼

Esimerkiksi

g(x, y)  = ( 2x + y, 3y2, 2x2 )  f( x   )  = ( sinx1, cos(x1 + x2), tanx2 ).

Yleisesti: Funktio f : A ®Rⁿ, A ÌR^m on muotoa

f( x   ) =  æ è f1( x   ), f2( x   ), ¼, fn( x   )  ö ø ,

missä [`(x)] ÎA Ì R^m, ja f_j : A ® R on funktion f j:s komponenttifunktio.

Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö

f( x   ) = 0, kun f : R3 ® R,   f(x1, x2, x3) = x3 + x12 - 3x23

siis yhtälö

x3 + x12- 3x23 = 0 Ûx3 = 3x23 -x12(pintaR3:ssa)

Ratkaisu on pinta!

Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö

g( x   ) = (1, 2, 0),    g : R2® R3,   g( x   ) = (x1 + x22, x22, x1)

Yhtälöt:

ì ï í ï î x1 + x22 = 1  x23 = 2  x1 = 0 Û ì ï í ï î x23 = 2  x2 = 2  x1 = 0 Û ì ï ï í ï ï î x1 = 0  x2 = 3  Ö   2   x2 = ±1

Ei ratkaisua.

Määritelmä 2.1 a) Olkoon A ÌR², [`(a)] ÎR<sup>2</sup> siten, että B¢([`(a)], r) Ì A. Luku b ÎR on funktion f : A ®R raja-arvo pisteessä [`(a)], jos jokaista r > 0 kohti voidaan löytää s > 0 siten, että

ê ê  f( x   ) - b ê ê < r,

jos | [`(x)] -[`(a)] | < s, [`(x)] ¹ [`(a)]. Merkitään

b =  lim [`(x)] ®[`(a)] f( x   ).

Määritelmä 2.1 b) Olkoon joukko B ÌR² ja piste [`(a)] joukon B kasaantumispiste. Luku b ÎR on funktion g : B ®R raja-arvo pisteessä [`(a)] joukossa B, jos jokaista r > 0 vastaa s > 0 siten, että

ê ê  g( x   ) - b ê ê < r,

kun [`(x)] ÎB ja | [`(x)] -[`(a)] | < s, [`(x)] ¹ [`(a)]. Merkitään

b =  lim [( [`(x)] ®[`(a)]) || ([`(x)] ÎB)]  f( x   ).

Esimerkki Olkoon funktio

f(x, y) : =   x2y2 x2 + y2

määritelty joukossa R² \{ (0, 0) }. Mikä on funktion f raja-arvo pisteessä 0? Vastaus: 0.

Todistus.  Olkoon r > 0. Arvioidaan lauseketta

ê ê  f( x   ) - b ê ê =  ê ê  f( x   )  ê ê .

On näytettävä, että tämä on pienempi kuin r, kunhan [`(x)] on riittävän lähellä origoa. Arvioidaan

ê ê  f( x   )  ê ê =  ê ê    x2y2 x2 + y2   ê ê £  (x2 + y2)2 x2 + y2 = (x2 + y2) =  ê ê   x     ê ê 2

(1)

Valitaan s = min([(r)/2], 1). Olkoon | [`(x)] -[`(a)] | < s eli | [`(x)] | < s. Silloin

ê ê   x   2   ê ê =  ê ê   x     ê ê · ê ê   x     ê ê £ ê ê   x     ê ê < s £  r 2

    ^[¯]

Esimerkki*Määritellään funktio

f(x, y) =   (y2 -x)2 y4 + x2 ,     (x, y) ¹ (0, 0)

Jos x = y², niin

f(x, y) =   (y2 -y2)2 y4 + y4 = 0.

Jos y = kx, k Î R, niin

f(x, y) =   k4 x4- 2k2 x3 + x2 k4 x4 + x2 =   1 + k4 x2- 2k2 x 1 + k2 x2 ® 1,

kun x ® 0.

Lause 2.2Olkoon [`(a)] joukon A kasaantumispiste, sekä joukko B ÌA ja oletetaan, että [`(a)] on myös joukon B kasaantumispiste. Olkoon f : A® R. Jos on olemassa luku bÎ R siten, että

lim [( [`(x)] ®[`(a)]) || ([`(x)] ÎA)]  f( x   ) = b,

niin pätee myös

lim [( [`(x)] ®[`(a)]) || ([`(x)] ÎB)]  f( x   ) = b.

Esimerkki Raja-arvon laskeminen käyriä pitkin. Olkoon g : R² \{ (0, 0) } ®R ja tarkastellaan raja-arvoa joukossa A ÌR² \{ (0, 0) }, eli lauseketta

lim [`(x)] ®[`0],[`(x)] Î A g( x   )

(2)

a) A : = { (t, kt)  | t ÎR, t > 0 } (k kiinteä). Silloin

(2) =  lim t ® 0+ g(t, kt)

(katso esimerkki* sivu pageref).

b) A : = { (t², t)  | tÎ R} Silloin

(2) =  lim t ® 0 g(t2, t).

Esimerkki Olkoon funktio

g(x, y) =   (y2 -x)2 y4 + x2 .

Nyt

lim [( [`(x)] ®[`0]) || ([`(x)] ®A)]  g( x   ) =  lim t ® 0 g(t2, t) =  lim t ® 0  (t2 -t2)2 t4 + t4 = 0.

Huomautus! Lauseen 2.2 (pageref) seurauksena funktiolla

f(x, y) =   (y2 -x)2 y4 + x2

ei ole raja-arvoa pisteessä [`0].

Määritelmä 2.3Olkoon AÌ Rⁿ ja [`(a)] Î R<sup>n</sup> siten, että B¢([`(a)], r) Ì A jollakin r > 0. Funktiolla f : A ® R^m on raja-arvo [`(b)] = (b<sub>1</sub>, ¼, b<sub>n</sub>) pisteessä [`(a)] jos jokaista r > 0 vastaa s > 0 siten, että

ê ê  f( x   ) - b     ê ê < r, kun ê ê   x   - a     ê ê < s,  x   Î A, x   ¹ a   .

Vastaavasti määritellään raja-arvo joukossa A, jos piste [`(a)] on joukon A kasaantumispiste.

Lause 2.4Olkoon A,[`(a)],[`(b)], f : = { f₁, ¼, f_m }, kuten Määritelmässä 2.3 (sivu pageref). Piste [`(b)] on funktion f raja-arvo pisteessä [`(a)], jos ja vain jos

lim [`(x)] ®[`(a)] fk( x   ) = bk,     1 £ k £m.

Todistus.  Oletetaan

lim [`(x)] ®[`(a)] f( x   ) =  b   .

(3)

Olkoon k Î { 1, ¼, m }. On osoitettava että

lim [`(x)] ®[`(a)] fk( x   ) =  b   k .

Olkoon r > 0. On löydettävä s > 0 siten, että | f_k([`(x)]) -b<sub>k</sub> | < r, kun | [`(x)] -[`(a)] | < s. Koska (3) pätee, niin on olemassa s > 0 siten, että | f([`(x)]) -[`(b)] | < r, kun | [`(x)] -[`(a)] | < s. Tällöin

ê ê  fk( x   ) - bk ê ê =    æ Ö   ê ê  fk( x   ) - bk ê ê 2   £   æ Ö   m å j = 1 ê ê  fj( x   ) - bj ê ê 2   =  ê ê  f( x   ) - b     ê ê < r.

Oletetaan toisaalta, että

lim [`(x)] ®[`(a)] fk( x   ) = bk

(4)

pätee kaikille k. Olkoon r > 0. Valitaan s_k > 0 siten, että | f_k([`(x)]) - b<sub>k</sub> | < [(r)/(m)], kun | [`(x)] -[`(a)] | < s<sub>k</sub>. Valitaan s = min<sub>1 £k £ m</sub> s<sub>k</sub>. Jos | [`(x)] -[`(a)] | < s, niin

ê ê  f( x   ) - b     ê ê =    æ Ö   m å k = 1 ê ê  fk( x   ) - bk ê ê 2   £ m å k = 1 ê ê  fk( x   ) - bk ê ê <  m å k = 1  r m = m  r m = r.

    ^[¯]

Esimerkki Olkoon joukko A = R\{ (0, 1, 0) }, m = 2, ja

f(x1, x2, x3)  = æ è x1 + sin(x2x3),   x14(x2- 1)4 x34 x12 + (x2 - 1)2 + x32 ö ø f1(x1, x2, x3)  = x1 + sin(x2x3)     (A ®R)  f2(x1, x2, x3)  =  x14(x2- 1)4 x34 x12 + (x2 - 1)2 + x32     (A ®R).

Tässä f₁ ja f₂ ovat kuvauksia A ® R. Laske lim<sub>[`(x)] ® (0, 1, 0)</sub> f([`(x)]).

Lauseen 2.4 (sivu pageref) mukaan on syytä tarkastella komponenttifunktioita erikseen:

lim [`(x)] ® (0, 1, 0) f1(x1, x2, x3) =  lim [`(x)] ® (0, 1, 0) x1 + sin(x2x3) = 0 + sin0 = 0.

Voidaan olettaa, että | x₁ | £ 1, | x₂ - 1 | £ 1 ja | x₃ | £ 1. Tästä seuraa

| x14(x2- 1)4 x34 | = | x1 |4 | x2 - 1 |4 | x3 |4 £ | x1 |2 | x2 - 1 |2 | x3 |2 £ (x12 + (x2 - 1)2 + x32))3.

Siis,

ê ê    x14(x2- 1)4 x34 x12 + (x2 - 1)2 + x32   ê ê £ ê ê    (x12 + (x2- 1)2 + x32))3 x12 + (x2 - 1)2 + x32   ê ê = (x12 + (x2- 1)2 + x32))2 = ê ê   x   - (0, 1, 0)  ê ê 4 ® 0,

kun [`(x)] ® (0, 1, 0), eli | [`(x)] - (0, 1, 0) | ® 0. Näin ollen

lim [`(x)]® (0, 1, 0) f( x   ) = 0

Lause 2.5Oletetaan, että kuvauksille f, g : A ® Rⁿ pätee

lim [`(x)] ®[`(a)] f( x   ) =  b   ,  lim [`(x)] ®[`(a)] g( x   ) =  c   .

Tällöin

 
a) lim_{[`(x)] ®[`(a)]} ( f([`(x)]) + g([`(x)]) ) = limf([`(x)]) + lim([`(x)])
b) Jos l ÎR, niin lim_{[`(x)] ®[`(a)]} ( lf([`(x)])) = llimf([`(x)])
c) lim_{[`(x)] ®[`(a)]} ( f([`(x)]) ·g([`(x)]) ) = [`(b)] ·[`(c)] (jos n = 1, niin tavallinen tulo).
d) Jos n = 1, g([`(x)]) ¹ 0 niin lim<sub>[`(x)] ®[`(a)]</sub> [(f([`(x)]))/(g([`(x)]))] = [(b)/(c)].

Esimerkki 1 Funktio f(x, y) = x² + 3yx + y¹⁰, f : R² ®R on jatkuva. Yleisesti n:n muuttujan reaaliarvoinen polynomi on jatkuva.

Esimerkki 2 Funktio

g : =   3xy + y + px2 x2 - y2 ,     g : A ®R,    A = { (x, y)  ê ê  x2 ¹y2 }

on jatkuva joukossa A.

Lause 2.7 Kuvaus f = (f₁, ¼, f_n) : A ® Rⁿ on jatkuva pisteessä [`(a)] jos ja vain jos f<sub>k</sub> : A ®R on jatkuva pisteessä [`(a)] kaikilla k = 1, ¼, n.

Esimerkki Olkoon funktio f(x, y, z) = (x² z², y + 3z). Tässä f₁(x, y, z) = x²z² on jatkuva ja f₂(x, y, z) = y + 3z on jatkuva, joten funktio f on jatkuva R:ssä.

Analogisesti Lauseen 2.5 (sivu pageref) kanssa, kahden jatkuvan funktion summa, skalaaritulo, jne... ovat jatkuvia.

Huomautus Olkoot f : A ®B, g : B ® C, missä A, B, C ovat joukkoja:

g °f(x) : = g ( f(x) ),

kun x Î A. Siis g°f : A ®C.

Lause 2.8 Olkoon A ÌRⁿ, B ÌRⁿ, f : A ®Rⁿ siten, että f(A) ÌB ja g : B ® R^k. Oletetaan edelleen että joukko B on avoin, piste [`(a)] Î A, funktio f on jatkuva pisteessä [`(a)] ja funktio g on jatkuva pisteessä f([`(a)]). Silloin funktio g °f on jatkuva pisteessä [`(a)].

Esimerkki 1 Määritellään funktio f(x, y) = (x², y), R² ®R². Se on jatkuva ja sen iteraateille pätee

 
f² (x, y) = f °f (x, y) = f(x², y) = (x⁴, y)
f³ (x, y) = f °f°f (x, y) = f( f²(x², y) ) = f(x⁴, y) = (x⁸, y)

fⁿ (x, y) = (f °¼°f) (x, y)

Esimerkki 2 Määritellään funktio f(x, y) = (y, x²), R² ®R² joka on jatkuva.

 
f² (x, y) = f(y, x²) = (x², y²)
f³ (x, y) = f( f²(x, y) ) = f(x², y²) = (y², x⁴)
f⁴ (x, y) = ¼ = (x⁴, y⁴) jne...