Sisältö

3  Differentiaalilaskenta

3.1  Osittaisderivaatta

Esimerkki Olkoon

f(x, y) =  ì ï í ï î 0  kun (x, y) = (1, 0)   xy3 (x - 1)2 + y2 ,  kun (x, y) ¹ (1, 0)

Tällöin

D1 f (1, 0) =  lim h ® 0  f(1 + h, 0) - f(1, 0) h =  lim h ® 0  0 - 0 h = 0

ja

D2 f (1, 0) =  lim h ® 0  f(1, h) - f(1, 0) h =  lim h ® 0  h3 h2h =  lim h ® 0 1 = 1.

Olkoon f kuten yllä. Pitäen muuttujaa y kiinteänä määritellään x:n funktio g(x) : = f(x, y). Silloin

g¢(x) =  lim h ® 0  g(x + h), y) - g(x) h =  lim h ® 0  f(x + h, y) - f(x, y) h =   ¶f ¶x (x, y).

Näemme siis, että osittaisderivaatta x:n suhteen voidaan muodostaa tuttuja derivoimissääntöjä käyttäen (pitämällä y vakiona).

Esimerkki Jos

f(x, y) = x3y2 + x4 siny,

on osittaisderivaatta

D1 f(x, y) = 3y2 x2 + 4 x3 siny.

Jos

g(x, y) = y2 + exy,

on osittaisderivaatta

D1 g(x, y) = 0 + exy ·  ¶(xy) ¶x = exyy.

Vastaavasti [(¶)/(¶y)] muodostetaan pitämällä x:ää vakiona (f ja g kuten yllä):

D2 f(x, y)  = 2x3y + x4 cosy,  D2 g(x, y)  = 2y + xexy.

Useamman muuttujan funktion osittaisderivaatat

Esimerkki Määritellään funktio

f(x1, x2, x3, x4) = x12 x3 + sin(x2 + x4) + ex1 + x4.

Sen osittaisderivaatat ovat

D1 f = 2x1 x3 + 0 + ex1 + x4 · D1(x1 + x4) = 1 = 2x1 x3 + ex1 + x4 D2 f = 0 + cos(x2 + x4) + 0 = cos(x2 + x4)  D3 f = x12 D4 f = cos(x2 + x4) + ex1 + x4.

Huomautamme, että derivoituvan funktion ei tarvitse olla jatkuva.

Esimerkki Funktio

f(x, y) =  ì ï í ï î 1,  kun x = 0  Ú y = 0  0,  muulloin

ei ole jatkuva pisteessä [`0] = (0, 0), mutta

D1 f(0, 0) =  lim h ® 0  f(h, 0) - f(0, 0) h =  lim h ® 0  1 - 1 h = 0,    D2 f(0, 0) = 0.

3.2  Korkeamman kertaluvun derivaatat

Esimerkki Funktion

f(x, y, z) : = x3y2 + x4siny + cos(xz)

osittaisderivaatat ovat

D1 f = 3y2x2 + 4x3siny - zsin(xz)  D2 f = 2x3y + x4cosy D3 f = -xsin(xz).

Päteekö D₁₂ = D₂₁?

D11 f = 6xy2 + 12x2siny - z2cos(xz)  D22 f = 2x3 - x4siny D33 f = -x2cos(xz)  D12 f = D2(D1 f) = 6x2y + 4x3cosy D21 f = D1(D2 f) = 6x2y + 4x3cosy D13 f = D3(D1 f) = -sin(xz) - xz cos(xz)  D31 f = D1(D3 f) = -sin(xz) - xz cos(xz)  D23 f = 0  D32 f = 0.

Esimerkki Määritellään funktio

f(x, y) : =  ì ï ï í ï ï î  xy(x2 - y2) x2 + y2 ,  kun (x, y) ¹ 0   0  kun (x, y) =  0   .

Kun (x, y) ¹ (0, 0):

D1 f = D1 æ è  xy(x2 - y2) x2 + y2 ö ø =  (3x2y - y3)(x2 + y2) - 2x(x3y - xy3) (x2 + y2)2 =  4x2y3 + x4y - y5 (x2 + y2)2

(1)

ja

D2 f = ¼ =   x5 - 4x3y2 - xy4 (x2 + y2)2 .

(2)

Tuloksesta (1) seuraa

D1 f(0, y) =   0 ·y3 + 0 ·y - y5 (02 + y2)2 =   -y5 y4 = -y, kun y ¹ 0,

(3)

ja tuloksesta (2)

D2 f(x, 0) = ¼ = x,     x ¹ 0.

(4)

Osittaisderivaatat origossa ovat

D1f(0, 0) =  lim h ® 0  f(h, 0) - f(0, 0) h =  lim h ® 0  h ·0 ·(h2 - 02) h2 + 0 - 0 h =  lim h ® 0  0 h = 0

(5)

ja

D2 f(0, 0) =  lim h ® 0  f(0, h) - f(0, 0) h = ¼ = 0.

(6)

Nyt tuloksien (3) ja (5) avulla saadaan

D12 f(0, 0) = D2(D1 f)(0, 0) =  lim h ® 0  D1 f(0, h) - D1 f(0, 0) h =  lim h ® 0  -h - 0 h = -1

ja tuloksista (4) ja (6)

D21 f(0, 0) = D1(D2 f)(0, 0) =  lim h ® 0  D2 f(h, 0) - D2 f(0, 0) h =  lim h ® 0  h - 0 h = 1.

On kuitenkin vain erikoistapaus, että osittaisderivaatat saavat eri arvot.

Lause 3.2Olkoon funktio f reaaliarvoinen kuvaus, joka on määritelty pisteen (a, b) Î R² ympäristössä. Oletetaan, että D₁₂ f ja D₂₁ f ovat olemassa pisteen (a, b) ympäristössä ja jatkuvia ainakin pisteessä (a, b). Silloin

D12 f(a, b) = D12 f(a, b).

Todistus sivuutetaan.

Esimerkki Olkoon

f(x, y) = x2y + exy.

Osittaisderivaatat

D1 = 2xy + yexy D2 = x2 + xexy D21 = 2x + exy(1 + xy)  D12 = 2x + exy(1 + xy)

Olkoon f = (f₁, ¼, f_n) pisteen [`(a)] Î R<sup>m</sup> ympäristössä määritelty vektoriarvoinen kuvaus. Määritellään funktion f osittaisderivaatta x<sub>j</sub>:n suhteen pisteessä [`(a)] raja-arvona

Dj f( a   ) =  lim h ® 0  f(a1, ¼, aj + h, ¼, am) - f(a1, ¼, am) h

mikäli raja-arvo on olemassa. Ei ole vaikea osoittaa, että osittaisderivaatta saadaan derivoimalla komponenttifunktiot:

Dj f( a   ) =  æ è Dj f1( a   ), ¼, Dj fn( a   )  ö ø .

Esimerkki Olkoon m = 2, n = 3 ja

f(x, y) =  æ è sin(x + y), x2, exy ö ø .

Osittaisderivaatat ovat

D1 f(x, y)  = æ è cos(x + y), 2x, yexy ö ø D2 f(x, y)  = æ è cos(x + y), 0, xexy ö ø .

Lause 3.3 Olkoon funktio f määritelty pisteessä [`(a)] Î R<sup>m</sup>, reaaliarvoinen. Jos osittaisderivaatat D<sub>ij</sub> f ja D<sub>ji</sub> f, i < j, ovat olemassa pisteen [`(a)] ympäristössä ja jatkuvia pisteessä [`(a)], niin

Dij f( a   ) = Dji f( a   ),     i, j Î {1, ¼, m}.

Todistus.  Olkoon [`(a)] = (a₁, ¼, a_m). Määritellään

g(x, y) : = f(a1, ¼, ai - 1, x, ai + 1, ¼, aj - 1, y, aj + 1, ¼, am)

joka on kahden muuttujan funktio. Funktiolle g pätee: x on määritelty pisteen [`(a)]¢ = (a<sub>i</sub>, a<sub>j</sub>) Î R<sup>2</sup> ympäristössä, D<sub>1</sub> g, D<sub>2</sub> g määritelty [`(a)]¢:n ympäristössä jne... Sovelletaan lausetta 3.2 (sivu pageref)

Dij f( a   ) = D12 g(ai, aj) = D21 g(aj, ai) = Dji f( a   ).

    ^[¯]

Esimerkki Jos h : R⁴ ® R ja kaikki osittaisderivaatat kertalukuun 5 asti ovat jatkuvia, niin

D1234 h = D4321 h = D1432 h = ¼

Mutta tietenkään ei päde esimerkiksi D₂₁₃ h = D₂₂₃ h.

3.3  Differentioituvuus

Tutkitaan samaa asiaa kahden muuttujan funktioille. Olkoon [`(a)] = (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>) tarkastelupiste ja oletetaan, että funktio f on määrätty pisteen [`(a)] jossakin ympäristössä U. Oletetaan, että [`(h)] Î R siten, että [`(a)]+ [`(h)] Î U.

Määritelmä 3.4 Funktio f on differentioituva pisteessä [`(a)], jos on olemassa luvut a₁ ja a₂ siten, että

f( a   +  h   ) - f( a   ) = a1 h1 + a2 h2 +  ê ê   h     ê ê e( h   ),

(7)

missä e on jossain origon ympäristössä V määritelty funktio V ® R ja e([`(h)]) ® 0 kun [`(h)]®[`0]. Jos merkitään [`(a)] = (a₁, a₂), niin (7) voidaan kirjoittaa muodossa

f( a   +  h   ) - f( a   ) =  a   · h   +  ê ê   h     ê ê e( h   ).

Määritelmä 3.5 Olkoon A Î R². Funktio f: A ® R on differentioituva joukossa A, jos se on differentioituva jokaisessa pisteessä [`(a)] Î A.

Lause 3.6 Jos funktio f on differentioituva pisteessä [`(a)], niin se on jatkuva pisteessä [`(a)].

Todistus.  Olkoon s > 0. On löydettävä r > 0 siten, että

ê ê  f( x   ) - f( a   )  ê ê < s, kun ê ê   x   - a     ê ê < r.

Olkoon e kuten kaavassa (7), samoin [`(a)] = (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>). Voidaan löytää s¢ siten, että | e(h) | < 1, kun | [`(h)] | < s¢. Valitaan r = min( s¢, [(s)/(| [`(a)] | + 1)] ). Olkoon nyt [`(x)] sellainen, että | [`(x)]- [`(a)] | < r. Tällöin (merkitään [`(h)] = [`(x)]- [`(a)])

ê ê  f( x   ) - f( a   )  ê ê = ê ê  f( a   +  h   ) - f( a   )  ê ê =  ê ê   a   · h   +  ê ê   h     ê ê e( h   )  ê ê £ ê ê   a   · h     ê ê +  ê ê   h     ê ê ê ê  e( h   )  ê ê £ ê ê   h     ê ê æ è ê ê   a     ê ê +  ê ê  e( h   )  ê ê ö ø £ ê ê   x   - a     ê ê æ è ê ê   a     ê ê + 1  ö ø < r æ è ê ê   a     ê ê + 1  ö ø £  s ê ê   a     ê ê + 1 æ è ê ê   a     ê ê + 1 ö ø = s.

    ^[¯]

Lause 3.7 Jos funktio f on differentioituva pisteessä [`(a)], niin f on derivoituva ja

Dj f( a   ) = aj,     j = 1, 2

Todistus.  Tapaus j = 1.

f( a   +  h   ) - f( a   ) = a1 h1 + a2 h2 +  ê ê   h     ê ê e( h   ),

missä e([`(h)]) ® 0 kun [`(h)]® 0. Tämä pätee, kun [`(h)] on jossakin [`0]:n ympäristössä. Erityisesti voidaan tarkastella tapausta [`(h)] = (h₁, 0), missä h₁ > 0. Muodostetaan

f( a   +  h   ) - f( a   ) h1 =  f(a1 + h1, a2) - f(a1, a2) h1 =   a1 h1 h1 +  ê ê   h     ê ê h1 e( h   )  = a1 +  ê ê   h     ê ê h1 e( h   ) ® a1,

kun [`(h)]®[`0]. Tämä todistaa, että D₁ f([`(a)]) = a₁, koska osittaisderivaatan määritelmän mukaan on toisaalta

lim h1 ® 0  f(a1 + h1, a2) - f(a1, a2) h1 = D1 f( a   ).

Toinen muuttuja käsitellään vastaavasti.     ^[¯]

Differentioituvuus ja muut edellä mainitut tulokset määritellään ja todistetaan samalla tavalla n:n muuttujan funktioille.

Esimerkki Funktion

f(x, y) =  ì ï ï í ï ï î  xy Ö x2 + y2 ,  kun (x, y) ¹ (0, 0)  0,  kun (x, y) = (0, 0).

molemmat osittaisderivaatat D₁ f(x, y), D₂ f(x, y) saavat origossa arvon 0. Voidaan kuitenkin osoittaa, ettei f ole differentioituva origossa.

Lause 3.8 Jos funktio f on derivoituva jossakin pisteen [`(a)] ympäristössä ja osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteessä [`(a)], niin f on differentioituva pisteessä [`(a)].

Esimerkki Onko funktio f(x, y, z) : = x²y| z | + xy differentioituva pisteessä (2, 0, 0)?

Ratkaisu.

D1 f(x, y, z)  = 2xy| z | + y D2 f(x, y, z)  = x2| z | + x D3 f(x, y, z)  = lim h ® 0  f(2, 0, n) - f(2, 0, 0) h =  lim h ® 0  0 - 0 h = 0  D1 f(2, 0, 0)  = 0  D2 f(2, 0, 0)  = 2

Funktio f on siis derivoituva pisteessä (2, 0, 0). Funktio f on differentioituva pisteessä (2, 0, 0), jos

f(2 + h1, h2, h3) - f(2, 0, 0) = D1 f(2, 0, 0)h1 +D2 f(2, 0, 0)h2 + D3 f(2, 0, 0)h3 +  ê ê   h     ê ê e( h   ),

missä e® 0 kun | [`(h)] | ® 0. Ratkaistaan tästä e ja tutkitaan sen käyttäytymistä, kun | [`(h)] | ® 0.

e( h   )  =  f(2 + h1, h2, h3) - f(2, 0, 0) - 2h2 ê ê   h     ê ê =  (2 + h1)2h2| h3 | + (2 + h1)h2 - 2h2 Ö h12 + h22 + h32 = (2 + h1)2| h3 |   h2 Ö h12 + h22 + h32 + h1  h2 Ö h12 + h22 + h32 £ (2 + h1)2 | h3 | + | h1 | ® 0

kun [`(h)]® 0. Tässä

| h2 | Ö h12 + h22 + h32 £ 1,

joten funktio f on differentioituva.

Lauseke

D1 f( a   )h1 + D2 f( a   )h2 + ¼+ Dn f( a   )hn

on nimeltään funktion f differentiaali pisteessä [`(a)], merkitään d f([`(a)])([`(h)]). Pätee siis

\triangle f = f( a   +  h   ) - f( a   ) » d f( a   )( h   ),

kun [`(h)] on "pieni".

Esimerkki Funktion f(x, y) = x³y² osittaisderivaatat ovat

D1 f = 3x2y2ja     D2 f = 2x3y.

Kun [`(a)] = (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>) = (1, 2) ja [`(h)] = (h₁, h₂) = (-0.04, 0.05) on funktion f differentiaali

d f( a   )( h   ) = D1 f(1, 2) ·(-0.04) + D2 f(1, 2) ·0.05 = ¼ = -0.28

ja

\triangle f = f(0.96, 2.05) - f(1, 2) = 0.963 ·2.05 - 4 » -0.2819¼

Esimerkki (Virhearviointi) Pyritään määräämään maan vetovoiman kiihtyvyys (g) kokeellisesti, mittaamalla putoamisaikaa t ja putoamismatkaa s.

s =   1 2 gt2 Þ g =   2s t2 .

Mittaustulokset s ja t eroavat jonkin verran todellisista arvoista s + h₁, s + h₂. Tällöin g:n virhe

\triangle g = g(s + h1, t + h2) - g(s, t) » d g(s, t)( h   ) =   ¶g ¶s h1 +   ¶g ¶t h2 =   2 t2 h1 -  4s t3 h2.

Jos tiedetään mittaustarkkuudet eli | h₁ | £ d (jokin vakio) ja | h₂ | £ t (myös jokin vakio), niin

ê ê  dg(s, t)( h   )  ê ê £  2 t2 d+   4| s | t3 t.

(Huomatus! Osittaisderivaatan jatkuvuudesta seuraa siis differentioituvuus, josta taas seuraa osittaisderiviutuvuuden olemassaolo.)

3.4  Gradientti ja suunnatut derivaatat

Olkoon [`(a)] = (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>) Î R<sup>2</sup> siten, että | [`(a)] | = 1 = Ö{a₁² + a₂²}. Olkoon funktio f pisteen [`(a)] = (a₁, a₂) ympäristössä määritelty reaaliarvoinen funktio. Joukko

ì í î a   + t a     ê ê  t Î R ü ý þ

on pisteen [`(a)] kautta kulkeva [`(a)]:n suuntainen suora.

Määritelmä 3.10Jos on olemassa raja-arvo

lim t ® 0 f( a   + t a   ) - f( a   ) t ,

niin sitä kutsutaan derivaataksi suuntaan [`(a)] (pisteessä [`(a)]), merkitään ¶<sub>[`(a)]</sub> f([`(a)]).

Huomautus 1 Jos [`(a)] = (0, 1) = [^(j)], niin ¶<sub>[`(a)]</sub> f([`(a)]) = D₂ f.

Huomautus 2 Määritelmä 3.10 (sivu pageref) on sama Rⁿ:ssä.

Lause 3.11Jos f on differentioituva pisteessä [`(a)], niin ¶<sub>[`(a)]</sub> f([`(a)]) on olemassa jokaiseen suuntaan [`(a)] ja

¶[`(a)] f( a   ) = D1 f( a   ) a1+ D2 f( a   ) a2 + ¼+ Dn f( a   ) an = Ñf( a   ) · a   .

Todistetaan myöhemmin.

Esimerkki Laske funktion

f(x, y, z) : = x4 + x3y + 2x2z

derivaatta pisteessä (1, 2, 5) vektorin (4, -2, 2) suuntaan.

Ratkaisu. Lasketaan vektorin (4, -2, 2) = [`(v)] suuntainen yksikkövektori

a   =  v ê ê   v     ê ê =   (4, -2, 2) Ö 42 + 22 + 22 =  æ è  2 Ö6 ,   -1 Ö6 ,   1 Ö6 ö ø .

Osittaisderivaatat ovat

D1 f = 4x3 + 3x2y + 4xz;  D1 f(1, 2, 5)  = 30  D2 f = x3;  D2 f(1, 2, 5)  = 1  D3 f = 2x2;  D3 f(1, 2, 5)  = 2,

mistä seuraa

Ñf(1, 2, 5)  = (30, 1, 2)  ¶[`(a)] f(1, 2, 5)  = (30, 1, 2) ·  æ è  2 Ö6 , -  1 Ö6 ,   1 Ö6 ö ø =   61 Ö6 .

Lauseen 3.11 (sivu pageref) todistus:

Olkoon [`(a)] tarkastelupiste, jossa funktio f on differentioituva ja olkoon [`(a)] Î Rⁿ, | [`(a)] | = 1 ja t Î R. Koska funktio f on differentioituva, niin

f( a   + t a   ) - f( a   ) = D1 f( a   )ta1 + ¼+ Dn f( a   )tan+ | t | ê ê   a     ê ê e(t a   ).

Siis erotusosamäärä

f( a   + t a   ) - f( a   ) t = D1 f( a   )a1 + ¼+ Dn f( a   )an+   | t | t e(t a   )

®D1 f( a   )a1 + ¼+ Dn f( a   )an

kun t ® 0. Raja-arvo on siis olemassa, joten on olemassa suunnattu derivaatta, joka on

D1 f( a   )a1 + ¼+ Dn f( a   )an = Ñf( a   ) · a   .        [¯]

Huomautus! Suunnatulle derivaatalle saadaan arvio

ê ê  ¶[`(a)] f( a   )  ê ê = ê ê  Ñf( a   ) · a     ê ê £ ê ê  Ñf( a   )  ê ê ê ê   a     ê ê =  ê ê  Ñf( a   )  ê ê =   æ Ö   (D1 f( a   )a1)2 + ¼+ (Dn f( a   )an)2   .

Erityisesti, jos Ñf([`(a)]) = 0, niin ¶<sub>[`(a)]</sub> f([`(a)]) = 0 kaikkiin suuntiin a. Jos Ñf([`(a)]) ¹ 0, niin voidaan kysyä, mihin suuntaan [`(a)] saadaan suurin derivaatta. Vastaus: Kun [`(a)] ­­ Ñf([`(a)]) eli

a   =  Ñf( a   ) ê ê  Ñf( a   )  ê ê ;

silloin pätee

¶[`(a)] f( a   ) = Ñf( a   ) · a   = Ñf( a   ) · Ñf( a   ) ê ê  Ñf( a   )  ê ê =  ê ê  Ñf( a   )  ê ê 2   ê ê  Ñf( a   )  ê ê =  ê ê  Ñf( a   )  ê ê .

3.5  Yhdistettyjen kuvausten derivoiminen

Lause 3.12(Ketjusääntö) Olkoon g : R^m ® Rⁿ, g = (g₁, ¼, g_n) pisteessä [`(a)] differentioituva funktio ja f : U ® R, g([`(a)]) Î U Ì °  Rⁿ pisteessä g([`(a)]) differentioituva funktio. Tällöin f °g on differentioituva pisteessä [`(a)] ja

Di (f °g) =  n å j = 1 æ è Dj f ö ø æ è g( a   ) ö ø æ è Di gj ö ø ( a   ),

missä i = 1, ¼, m.

Esimerkki Olkoot funktiot f : R® R ja g : R® R. Nyt

D(f °g)(a) = f¢ æ è g(a) ö ø ·g(a).

Esimerkki Olkoot m = 1, n = 2, f : R² ® R, g : R® R², f(x, y) = x² + e^y + e^xy ja g(t) = (t, 1 - t) = (g₁(t), g₂(t)). Nyt

f °g : R® R,     f °g(t) = t2 + e1 - t + et(1 - t)

ja

D(f °g)(t) = 2t - e1 - t + (1 - 2t)et - 2t.

Lauseen 3.12 (sivu pageref) avulla:

ì í î D1 f(x, y)  = 2x + yexy D2 f(x, y)  = ey + xexy ,  ì í î Dg1(t)  = 1  Dg2(t)  = -1,

joten

D(f °g)(t)  = (D1 f) æ è g(t) ö ø ·(Dg1)(t) + (D2 f) æ è g(t) ö ø ·(Dg2)(t)  = æ è 2t + (1 - t)et(1 - t) ö ø ·1 +  æ è e1 - t + tet(1 - t) ö ø ·(-1)  = 2t - e1 - t + (1 - 2t)et - 2t.

Jos g (sisäfunktio) on yhden muuttujan funktio, niin f °g on myös yhden muuttujan funktio ja

D æ è f °g ö ø =  n å j = 1 (Dj f)  æ è g(t)  ö ø g¢(t).

Esimerkki Oletetaan että n = 1, n Î N ja funktio f on yhden muuttujan funktio, g skalaariarvoinen funktio. Tällöin f °g on m:n muuttujan funktio,

f °g (x1, ¼, xm) = f æ è g(x1, ¼, xm) ö ø

ja

Di f °g ( x   ) = f¢ æ è g( x   ) ö ø ·Di g( x   ),     i = 1, ¼, m, x   = (x1, ¼, xn) Î Rn.

Esimerkki Määritellään funktiot f ja g siten, että

f : R® R,  f(x)  = x2 + sinx g : R3 ® R,  g( x   )  = x1 - x2 + x32.

Nyt n = 1, m = 3 ja [`(x)] = (x₁, x₂, x₃) Î R³. Yhdistetty kuvaus f °g : R³ ® R on

f °g( x   ) = (x1 - x2 + x32)2 + sin(x1 - x2 + x32).

Lasketaan tämän osittaisderivaatat:

f¢(x) = 2x + cosx

ja

D1 g( x   ) = 1,     D2 g( x   ) = -1 ja D3 g( x   ) = 2x3,

joten

D1(f °g)( x   )  = æ è 2(x1 - x2 + x32) + cos(x1 - x2 + x32)  ö ø ·1  D2(f °g)( x   )  = -2(x1 - x2 + x32) - cos(x1 - x2 + x32)  D3(f °g)( x   )  = 2x3 ·2(x1 - x2 + x32) + 2x3 cos(x1 - x2 + x32).

Lauseen 3.12 (sivu pageref) todistuksen idea:

Valitaan [`(a)] Î R<sup>m</sup> tarkastelupiste, [`(h)] Î R^m "pieni muutos".

(f °g)( a   +  h   ) - (f °g)( a   ) = f æ è g( a   +  h   )  ö ø - f æ è g( a   )  ö ø = f æ è g( a   ) + k   ö ø - f æ è g( a   )  ö ø ,

(8)

missä [`(k)] = g([`(a)]+ [`(h)]) - g([`(a)]). Kaikilla j = 1, ¼, n:

kj = gj( a   +  h   ) - gj( a   ).

Koska g_j on differentioituva

kj = D1 gj( a   )h1 + ¼+ Dn gj( a   )hm +  ê ê   h     ê ê ej ( h   ) =  m å i = 1 Di gj ( a   ) hi +  ê ê   h     ê ê ej ( h   ).

(9)

Toisaalta myös f on differentioituva pisteessä g([`(a)]), joten

f æ è g( a   ) + k   ö ø - f æ è g( a   )  ö ø = D1 f æ è g( a   ) ö ø k1 + ¼+ Dn f æ è g( a   ) ö ø kn +  ê ê   k     ê ê ~ e   ( k   )  = n å j = 1 (Dj f) æ è g( a   ) ö ø kj +  ê ê   k     ê ê ~ e   ( k   ).

(10)

Yhdistämällä kaavat (8), (9) ja (10) saadaan

f °g ( a   +  h   ) - f °g( a   ) =  m å i = 1 æ è   n å j = 1 Dj f æ è g( a   )  ö ø Di gj ( a   ) (*)     ö ø hi + h.

Pitkähkö tarkastelu osoittaa, että h®[`0] riittävän nopeasti, kun [`(h)]® 0 (tarkemmin sanoen [(h([`(h)]))/(| [`(h)] |)] ® 0 kun [`(h)]® 0). Tämän jälkeen Differentioituvuuden määritelmästä seuraa

(*) = Di(f °g)( a   ).

Esimerkki Olkoon f(x, y) = x²y - y³. Laske funktion t ® f(2t³ - 5t, t⁴ + 3t + 7) derivaatta, kun t = -2.

Ratkaisu. Merkitään

h(t) = f(2t3 - 5t, t4 + 3t + 7) = f °g(t),

missä

g(t) = (2t3 - 5t, t4 + 3t + 7) = :  æ è g1(t), g2(t)  ö ø .

Lauseesta 3.12 (sivu pageref) seuraa

h¢(t) = D1 f æ è g(t) ö ø g¢1(t) + D2 f æ è g(t) ö ø g¢2(t).

Nyt

g1¢ = 6t2 - 5;  g2¢ = 4t3 + 3  D1 f(x, y)  = 2xy;  D2 f(x, y)  = x2 - 3y2 g(-2)  = (-6, 3)  D1 f(-6, 3)  = -36 ;  D2 f(-6, 3)  = 9  g1¢(-2)  = 19;  g2¢(-2)  = -29

Joten

h¢(-2) = -36 ·19 + 9 ·(-29) = -945.