Sisältö

4  Käyrät, tasa-arvopinnat ja tangenttitaso

Esimerkki Määritellään

f1(t)  = 2 + 3t f2(t)  = 1 + 2t ,     t Î [ 0, 1 ] = : D.

Sillon G on jana, katso kuva 1.

Figure 1: jana G

Jos

f1(t)  = x1 + (x2 - x1)t f2(t)  = y1 + (y2 - y1)t,

niin G on jana, jonka päätepisteet ovat (x₁, y₁) ja (x₂, y₂).

Esimerkki Määritellään

f1(t)  = 10 cost f2(t)  = 10 sint ,     t Î [ 0, 2p]

Nyt G on ympyrä jonka keskipiste on [`0] ja säde 10.

Huomautus. Sanotaan, että G on rajoitettu, jos se sisältyy johonkin kiekkoon B(0, R) (jollekin R Î R⁺), muuten G on rajoittamaton.

Jos D on suljettu ja rajoitettu, niin f:n jatkuvuudesta seuraa, että G on rajoitettu. (Tämän asian todistus jätetään väliin.)

Esimerkki Määritellään

f1(t)  = t f2(t)  =  1 t ja     D = ] 0, 1 [

Katso kuva 2.

Figure 2: käyrä f(t) : = (t, [ 1/(t)])

Olkoon D = [ a, b ]. Jos f(a) = f(b), niin käyrä on umpinainen. Jos f on injektio, niin käyrää G sanotaan kaareksi.

Olkoon t: = [ a, b] ® [ a, b ] sellainen jatkuva surjektio, että t(a) = a ja t(b) = b. Silloin

G = g([ a, b]),

missä g : = f °t. Sanotaan, että käyrälle G on tehty parametrin vaihto.

Esimerkki Määritellään

f1(t)  = 10cost f2(t)  = 10sint ,     t Î [ 0, 2p].

ja

t: [ 0, 1 ] ® [ 0, 2p]        t(s) = 2ps.

Tällöin

g = f °t: [ 0, 1 ] ® R2

ja

g1(s)  = 10cos2ps f2(s)  = 10sin2ps ,     s Î [ 0, 1 ].

Parametrin vaihto on sallittu muulloinkin kuin suljetun välin tapauksessa.

Vastaavasti määritellään avaruuskäyrät: Jos

f : D® R3

on jatkuva, niin käyrä G on joukko G = f(D). Edellä mainitut termit käyvät myös tässä.

Olkoon

ì í î x = x(t)  y = y(t)

Määritelmä 4.2Olkoon L pisteen f(s) kautta kulkeva suora, suuntavektori [`(a)]. Tällöin L on G:n tangentti pisteessä f(s), jos pisteiden f(s) ja f(r) kautta kulkevan suoran L<sub>r</sub> suuntavektorille [`(b)](r) pätee:

lim r ® s b   (r) =  a   .

Lause 4.3 Yllä olevassa tilanteessa

a   =  æ è x¢(s), y¢(s)  ö ø ,

(mikäli ainakin toinen komponenteista ¹ 0).

Todistus.

b   (r) ­­ æ è x(r) - x(s), y(r) - y(s)  ö ø Þ b   (r) ­­ æ è  x(r) - x(s) r - s ,  y(r) - y(s) r - s ö ø ,

ja viimeksi mainittu vektori lähestyy vektoria

æ è x¢(s), y¢(s)  ö ø ,

kun r ® s.     ^[¯]

R³:ssa [`(x)] on pisteen [`(x)]₀ kautta kulkevan suoran S piste jos ja vain jos [`(x)] = t[`(a)] + [`(x)]<sub>0</sub>, missä [`(a)] ¹ 0 on suoran suuntavektori.

Avaruuskäyrän t ® [`(x)](t) tangentti(suora) määritellään kuten määritelmässä 4.2 (sivu 4) ja pisteessä [`(x)](s) tangentti on vektorin

æ è x1¢(s), x2¢(s), x3¢(s)  ö ø

suuntainen.

Esimerkki Olkoon t Î [ 1, 10 ] ja [`(x)](t) : = (t, t², t³). Kun t = 2, on tangentin suuntavektori

æ è x1¢(2), x2¢(2), x3¢(2)  ö ø = (1, 4, 12).

Katso kuva 3.

Figure 3: Tangentin suuntavektori

Palataan tasokäyriin. Jatkuva käyrä esitetään usein muodossa

f(x, y) = 0,

missä piste (x, y) Î R² kuuluu käyrälle ja funktio f on jossain A Ì R² määritelty jatkuva funktio.

Esimerkki Nollakeskeinen R-säteinen ympyrä tasossa:

 
a) x² + y² - R² = 0
b) x(t) = R cost
y(t) = R sint, t Î [ 0, 2p].

Osoitamme seuraavaksi, että funktion f gradientti on kohtisuorassa tasa-arvokäyrää vastaan:

Oletetaan, että c Î R on kiinteä ja että vastaavalla tasa-arvokäyrällä on parametriesitys

t ® æ è x(t), y(t)  ö ø ,    t Î D.

Oletetaan, että x(t) ja y(t) ovat derivoituvia. Koska

f æ è x(t), y(t)  ö ø = c      " t Î D,

niin

0  = df æ è x(t), y(t)  ö ø dt = (D1 f)  æ è x(t), y(t)  ö ø x¢(t) + (D2 f)  æ è x(t), y(t)  ö ø y¢(t)  = (Ñf) æ è x(t), y(t)  ö ø · æ è x¢(t), y¢(t)  ö ø .

Näin ollen tangenttivektori on kohtisuorassa funktion f gradientti vektoria vastaan (jos x¢(0) ¹ 0 tai y¢(t) ¹ 0). Katso kuva 4.

Figure 4: Gradientti

4.1  Pinnat

Tarkastellaan nyt pintoja, jotka voidaan esittää muodossa

S : =  ì í î (x, y, z)  ê ê  f(x, y, z) = 0  ü ý þ ,

missä f : A ® R jatkuva, A Ì R³.

Esimerkki Ellipsoidi

x2 42 +   y2 22 +   z2 32 - 1 =: f   = 0.

Katso kuva 5.

Figure 5: Ellipsoidi

Esimerkki Jos g : B ® R, B Ì R², niin yhtälö

g(x, y) = z

määrittelee pinnan. Tämä voidaan näet kirjoittaa muodossa

g(x, y) - z =: f = 0.

Pinta on nimeltään g:n kuvaaja.

4.2  Tangenttitasot

Tangenttitason yhtälö

Esimerkki Määritellään pinta

x2 42 +   y2 22 +   x2 32 - 1 = 0.

Haluamme muodostaa tangenttitason yhtälön pisteessä (a, b, c) = (2, 1, [ 3/(Ö2)]).

(Ñf) (x, y, z)  = æ è  x 8 ,   y 2 ,   2z 9 ö ø (Ñf) (2, 1,   3 Ö2 )  = æ è  1 4 ,   1 2 ,   Ö2 3 ö ø .

T:n yhtälö

1 4 (x - 2) +   1 2 (y - 1)+   Ö2 3 æ è z -  3 Ö2 ö ø = 0

eli

x 4 +   y 2 +   Ö2 3 z -2 = 0.

Esimerkki Olkoon g : A ® R, A Î R², g differentioituva. Tarkastellaan pintaa S, joka on funktion g kuvaaja,

S = { (x, y, z)  ê ê   g(x, y) - z =: f(x, y, z) = 0 }

Nyt

(Ñf)(a, b, c) =  æ è (D1 g)(a, b), (D2 g)(a, b), -1 ö ø .

Pisteen ( a, b, g(a, b) ) kautta kulkevan tangenttitason yhtälö on näin ollen

D1 g(a, b) (x - a) + D2 g(a, b)(b - y) = z - c.

Tason T yhtälö R³:ssa yleisesti

Figure 6: Taso T

T:n määrää:

• annettu piste [`(a)], joka kuuluu tasoon
• normaalivektori [`(n)], joka on kohtisuorassa jokaista tasossa T kulkevaa suoraa vastaan.

Esimerkki Määritellään [`(a)] = (2, 2, 1) ja [`(n)] = [`(k)] = (0, 0, 1). Nyt n<sub>1</sub> = n<sub>2</sub> = 0, [`(a)] ·[`(n)] = 1. Yhtälö:

z = 1.

(Piste (x, y, z) kuuluu tasoon, jos ja vain jos z = 1).

Suoran yhtälö R³:ssa

Voidaan kirjoittaa myös muodossa

x1 - a1 c1 =   x2 - a2 c2 =   x3 - a3 c3

jollekin c_j Î R.