Sisältö

6  Ääriarvojen teoriaa

Esimerkki Määritellään

P(x, y) = 2x2 - 10xy + 3y2.

Nähdään että P(0, 0) = 0

1. Jos P(x, y) ¹ 0 aina, kun (x, y) ¹ (0, 0), niin P on definiitti.
 
a) Jos P(x, y) > 0 aina, kun (x, y) = (0, 0), niin P on positiivisesti definiitti.
b) Jos P(x, y) < 0 aina, kun (x, y) = (0, 0), niin P on negatiivisesti definiitti.
2. Jos P(x, y) ³ 0  " (x, y) Î R² tai jos P(x, y) £ 0  " (x, y) Î R², niin P on semidefiniitti. (Huomautus! Jos P on definiitti, on se myös semidefiniitti.)
3. Jos P saa positiivisia ja negatiivisia arvoja, se on indefiniitti.

Lause 6.1 Neliömuoto (1) on

 
Definiitti, jos ac - b² > 0,
semidefiniitti, jos ac - b² = 0,
indefiniitti, jos ac - b² < 0.

Todistus.  Oletetaan, että D > 0. Silloin a ¹ 0 ja P(x, y) voidaan kirjoittaa muodossa

P(x, y) =   1 a [ (ax + by)2 + Dy2 ].

Jos P(x, y) = 0, niin

0 = aP(x, y) = (ax + by)2 + Dy2.

Tämä on mahdollista vain jos Dy² = 0 ja (ax + by)² = 0 eli y = 0 ja (ax + 0)² = 0 eli y = 0 ja x = 0 (koska a ¹ 0).

Oletetaan nyt D < 0 ja a ¹ 0. Tällöin

P(x, y) =   1 a æ è (ax + by)2 + Dy2 ö ø =   1 a æ è (ax + by) - Ö   | D |   y ö ø æ è (ax + by) +  Ö   | D |   y ö ø .

Nähdään, että P häviää xy-tason suorilla

ax + (b - Ö   | D |   )y = 0 ja ax + (b +  Ö   | D |   )y = 0.

Siis P on indefiniitti.

Tapaus a = 0, D < 0. Tällöin

P(x, y) = y(2bx + cy).

Koska D = ac - b² < 0 ja a = 0, niin täytyy olla b ¹ 0. Otetaan y = 1:

P(x, 1) = 2bx + c,

joka saa negatiivisia ja positiivisia arvoja kun x Î R. P on siis indefiniitti.

Tapaus D = 0.

1. Jos a ¹ 0, niin P(x, y) = [ 1/(a)](ax + by)²,
2. Jos a = 0, niin P(x, y) = cy² Þ b = 0.

Esimerkki 1 Määritellään

P(x, y) = x2 - 6xy + 2y2.

Nyt a = 1, b = -3, c = 2 ja D = 2 - 9 = -7, eli P on indefiniitti. P(x, y) häviää suorilla

y =  æ è  1 3 ±Ö7 ö ø x.

Esimerkiksi

P(1, 1)  = 1 - 6 + 2 = -3 < 0  P(1, -1)  = 1 + 6 + 2 = 9 > 0.

Esimerkki 2 Määritellään

P(x, y) = 4xy - 4x2 - y2.

Nyt a = -4, b = 2, c = -1 ja D = 4 - 4 = 0 (semidefiniitti). Itseasiassa P(x, y) = -(2x - y)², mistä nähdään

 
(i) P(x, y) £ 0  " (x, y) Î R²
(ii) P(50, 100) = -(100 - 100)² = 0.

6.1  Taylorin kaava

Ketjusäännön mukaan

(f °g)¢ = (D1 f) °g ·g1¢+ (D2 f) °g2¢ = h1 (D1 f) °g + h2 (D2 h) °g.

Huomautus

g(t) =  æ è g1(t), g2(t)  ö ø = (x1 + th1, x2 + th2),

missä [`(x)] = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>), [`(h)] = (h₁, h₂) ja g₁¢ = h₁, g₂¢ = h₂. Edelleen

(f °g)¢¢ = h1  d dt (D1 f °g) + h2  d dt (D2 f °g)  = h1 æ è h1 (D11 f) °g + h2 (D12 f) °g ö ø + h2 æ è h1 (D21 f) °g + h2 (D22 f) °g ö ø = h12 (D11 f) °g + 2h1 h2 (D12 f) °g + h22 (D22 f) °g = æ è (h1D1 + h2D2)2 f ö ø °g,

missä D₁² = D₁₁, D₁D₂ = D₁₂ = D₂D₁ ja D₂² = D₂₂. Induktiolla voidaan todistaa kaava

(f °g)(k) =  æ è (n1 D1 + h2 D2)k f ö ø °g.

Taylorin kaavasta yhden muuttujan funktiolle F : B ® R, missä [ 0, 1 ] Ì B Ì °  R, saadaan

F(1) =  n - 1 å k = 0  1 k! F(k)(0) +   1 n! F(n)(q),

(2)

missä q Î ] 0, 1 [ (jos n = 1, tämä on väliarvolause).

Jos F toteuttaa tietyt (ankarat) vaatimukset, sille pätee kehitelmä

F(x) =  ¥ å k = 0  1 k! F(k)(0)xk,

missä x Î B(0, r).

Taylorin kehitelmä (2) pätee funktiolle F, jos se on n kertaa jatkuvasti derivoituva. Sovelletaan tätä, kun F : = f °g:

(f °g)(1) =  n - 1 å k = 0  (f °g)(k)(0) k! +   (f °g)(n)(q) n! .

Sijoittamalla k:nen derivaatan lauseke ja ottamalla huomioon

g(0) =  x   ,     g(1) =  x   +  h   ,     g(q) =  x   + q h   ,

saadaan

f( x   +  h   )  = f(g(1)) = f °g (1)  = n - 1 å k = 0  1 k! (h1D1 + h2D2)k f( x   ) +   1 n! (h1D1 + h2D2)n f( x   + q h   ),

missä q Î ] 0, 1 [. Tämä kehitelmä pätee, kun f on n kertaa jatkuvasti derivoituva. Arvolla n = 2 kehitelmästä seuraa

Lause 6.2Olkoon f: A ® R, A Ì °  R², kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Olkoon [`(x)] Î A, [`(h)] Î R² ja [`(h)] Î B([`0], r), missä r on niin pieni, etä [`(x)]+ B([`0], r) Ì A. Tällöin

f( x   +  h   ) - f( x   ) = h1D1f( x   ) + h2D2f( x   ) +   1 2 æ è h12 D11 f( x   ) + 2h1h2 D12 f( x   ) + h22 D22 f( x   )  ö ø +  ê ê   h     ê ê 2   e(h),

missä e([`(h)]) ® 0, kun [`(h)]®[`0].

6.2  Ääriarvoista

• funktiolla f on (lokaali)maksimi pisteessä a Î A, jos on olemassa sellainen r > 0, että f([`(x)]) £ f([`(a)]), kun [`(x)] Î B([`(a)], r)
• funktiolla f on (lokaali)minimi pisteessä a Î A, jos on olemassa sellainen r > 0, että f([`(x)]) ³ f([`(a)]), kun [`(x)] Î B([`(a)], r)
• ääriarvo on minimi tai maksimi
• ääriarvopiste on lähtöjoukon piste, jossa ääriarvo saavutetaan
• ääriarvo on oleellinen, jos f([`(x)]) ¹ f([`(a)]), kun [`(x)] Î B([`(a)], r) \{[`(a)]} (tässä r kuten maksimin tai minimin määritrelmässä).

Esimerkki 1 Määritellään

f(x, y) = x2 + y2.

Nyt

D1 f(x, y)  = 2x D2 f(x, y)  = 2y Dj f(0, 0)  = 0, kun j = 1, 2

Tunnetusti f:llä on lokaali minimi pisteessä [`0].

Esimerkki 2 Määritellään

f(x, y) = x2 - y2.

Nyt pätee D₁ f(0, 0) = 0 = D₂ f(0, 0). Toisaalta (0, 0) ei ole ääriarvopiste:

f(0, r)  = -r2 < 0  f(r, 0)  = r2 > 0

Lauseen 6.3 (sivu pageref) todistus:

Todistus.  Tehdään antiteesi: Oletetaan että [`(a)] Î A on A:n ääripiste ja D<sub>k</sub> f([`(a)]) ¹ 0, jollekin k Î {1, ¼, m}. Määritellään funktio

g(x) = f(a1, ¼, ak - 1, x, ak + 1, ¼, am)

(3)

missä x Î B(a_k, r) Ì R jollakin r > 0.

Nyt

dg dx (ak) = Dk f( a   ) ¹ 0.

Näin ollen g saa a_k:n ympäristössä sekä suurempia että pienempiä arvoja kuin g(a_k). Kohdan 3 nojalla sama pätee funktiolle f, joten [`(a)] ei ole funktion f ääriarvopiste.     ^[¯]

Lause 6.4Olkoon A Ì °  R², f: A ® R. Oletetaan että funktiolla f on jatkuvat kertaluvun 1. ja 2. osittaisderivaatat. Jos pisteessä [`(a)] Î A pätee

D1 f( a   ) = 0 = D2 f( a   )

ja

D : = D11f( a   ) D22f( a   ) - D12( a   )2 > 0,

(4)

niin [`(a)] on oleellinen ääriarvopiste;

• maksimi, jos D₁₁ < 0
• minimi, jos D₁₁ > 0.

Esimerkki 1 Määritellään

f(x, y) = x2 - y2.

Derivaatat ovat

D1 = 2x D2 = -2y D11 = 2  D22 = -2  D12 = 0

joten

D1 f(x, y) = 0  Û 2x = 0  Û x = 0  D2 f(x, y) = 0  Û -2y = 0  Û y = 0.

Pisteessä [`(a)] = (0, 0)

D11 f( a   ) D22 f( a   ) - D12 f( a   )2 < 0.

Esimerkki 2 Määritellään

f(x, y) = x2 + xy + y2 + x - y.

Tehtävänä on etsiä ääriarvo- ja satulapisteet.

Ratkaisu. Osittaisderivaatat

D1 f = 2x + y + 1  D2 f = x + 2y - 1.

Jos (x, y) on kriittinen piste (eli derivaattojen nollakohta), niin

ì í î 2x + y + 1  = 0  x + 2y - 1  = 0  Þ ì í î y = 1  x = -1.

Pisteessä (-1, 1) pätee

D11 = 2  D22 = 2  D12 = 1  ü ï ý ï þ Þ D(-1, 1) > 0,

eli kyseessä on ääriarvopiste (minimi).

Esimerkki 3 Määritellään

f(x, y) = x3 - y3 + 3xy.

Derivaatat ovat

D1 f = 3x2 + 3y D2 f = -3y2 + 3x.

Kriittiset pisteet ovat

ì í î 3x2 + 3y = 0  -3y2 + 3x = 0  Û ì í î x = x4 y = -x2 Û (x, y) = (0, 0) tai (x, y) = (1, -1).

Edelleen

D11 f = 6x,     D22 f = -6y,     D12 f = 3,

joten

D(0, 0)  = -9 < 0 (satulapisteeliei ääriarvopiste) D(-1, 1)  = 6 ·1 ·(-6) ·(-1) - 9 = 36 - 9 > 0 (minimi.)

Lauseen 6.4 (sivu pageref) todistuksesta:

Olkoon [`(h)] Î B(0, r), r > 0. Lauseen 6.2 (sivu pageref) mukaan pätee

f( a   +  h   ) - f( a   )  = D1f( a   )h1 + D2f( a   )h2 +   1 2 æ è D11 f( a   )h12 + 2D12 f( a   )h1h2 + D22 f( a   )h22 ö ø +  ê ê   h     ê ê e( h   ),

missä e([`(h)]) ® 0, kun [`(h)]® 0. Koska [`(h)] on pieni ja D<sub>1</sub>f([`(a)]) = D₂f([`(a)]) = 0, määrää lauseke

D11 f( a   )h12 + 2D12 f( a   )h1h2 + D22 f( a   )h22

(5)

erotuksen f([`(a)]+ [`(h)]) - f([`(a)]) etumerkin. Lauseke (5) on neliömuoto P(h<sub>1</sub>, h<sub>2</sub>), kertoimet a = D<sub>11</sub> f([`(a)]), b = D₁₂ f([`(a)]), c = D<sub>22</sub> f([`(a)]). Ylläolevista määritelmistä seuraa, että [`(a)] on ääriarvopiste jos ja vain jos neliömuoto P on definiitti. Huomaa, että

D > 0 Û D( a   ) > 0.

Yllä olevat tarkastelut olivat lokaaleja.

Esimerkki Funktion suurin tai pienin arvo joukossa B Ì R². Olkoon B kompakti (eli rajoitettu ja suljettu). Nyt pätee: Jos f: B ® R on jatkuva, niin f saa B:ssä suurimman ja pienimmän arvon. Esimerkiksi jos C : = [ 0, ¥[, niin funktio f(x) = [ 1/(x)] ei saa joukossa C pienintä arvoaan. Mutta C ei olekaan kompakti joukko.

Huomautus Se, että funktio f: B ® R saa pienimmän arvonsa pisteessä [`(x)]₀ Î B, tarkoittaa, että

f( y   ) ³ f( x   0 )  " y Î B.

Olkoon B kompakti, f: B ® R jatkuva ja kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Ainoat pisteet, joissa f voi saada suurimman tai pienimmän arvonsa ovat

1. f:n lokaalit ääriarvopisteet
2. B:n reunapisteet.

Lause 6.5 Olkoon n Î N, n ³ 2, A Ì °  Rⁿ, f: A ® R derivoituva. Jos funktiolla f on ääriarvo pisteessä [`(a)] Î A, niin

Ñf( a   ) = 0 eli    D1 f( a   ) = D2 f( a   ) = ¼ = Dn f( a   ) = 0.

Todistus.  Sama kuin n = 2.     ^[¯]

Lause 6.6 Olkoon A Ì °  Rⁿ, f kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ja

Ñf( a   ) = 0 pisteessä  a   Î A.

Muodostetaan funktion f Hessen matriisi

H =  æ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è   D11f( a   )  D12f( a   )  ¼ D1nf( a   )  D21f( a   )  D22f( a   )  ¼ D2nf( a   )  : ··· Dn1f( a   )  Dn2f( a   )  ¼ Dnnf( a   )    ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

ja diagonalisoidaan se; saadaan muotoa

æ ç ç ç ç ç è   l1 0  ¼ 0  0  l2 : : ··· 0  ¼ ln   ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

oleva matriisi. Seuraavat tulokset pätevät:

 
a) Jos kaikki ominaisarvot ovat suurempia kuin nolla, on [`(a)] minimi.
b) Jos kaikki ominaisarvot ovat pienempiä kuin nolla, on [`(a)] maksimi
c) Jos matriisilla on sekä positivisia että negatiivisia ominaisarvoja, niin [`(a)] ei ole ääriarvopiste.