Sisältö

8  Pintaintegraalit

Figure 1: Hila

Figure 2: Pinta

Olkoon f : R® R jokin funktio. Haluamme määritellä sen integraalin yli joukon R. Merkitään

Gn, k, l =  sup { f(x, y)  ê ê  (x, y) Î Qn, k, l }

ja

gn, k, l =  inf { f(x, y)  ê ê  (x, y) Î Qn, k, l }

(määrittely: jos Q_{n, k, l} \not Ì R Þ G_{n, k, l} g_{n, k, l} = 0). Määritellään lukua n vastaavat ylä- ja alasummat:

Mn = å k, l Gn, k, l ·2-2n mn = å k, l gn, k, l ·2-2n

Huom! 2^-2n on Q_{n, k, l}:n pohjan pinta-ala, joten esimerkiksi luku G_{n, k, l} ·2^-2n on kuvassa 2 olevan särmiön tilavuus. Luku g_{n, k, l} ·2^-2n on hieman pienemmän särmiön tilavuus; luku M_n on siten (hieman liian suuri) approksimaatio funktion f määräämän pinnan ja x-y-tason suorakulmion R väliin jäävän kappaleen tilavuudelle.

Määritelmä 8.1 Jos lim_{n ® ¥} M_n ja lim_{n ® ¥} m_n ovat olemassa ja

lim n ® ¥ Mn =  lim n ® ¥ mn,

niin sanotaan, että f on integroituva joukossa R ja kyseinen raja-arvo on funktion f pintaintegraali yli suorakulmion R, merkitään

ó õ R f,  ó õ R ó õ f(x, y) dxdy,  b ó õ a d ó õ c f(x, y) dxdy.

Huomatus Voidaan osoittaa, että jos f : R ® R on jatkuva, se on aina integroituva.

Olkoon A Ì R² rajoitettu, f : A ® R. Määritellään funktio f koko joukossa R kaavalla

f(x, y) : = 0, kun (x, y) Ï A.

Merkitään f_A:lla funktion f jatketta. Valitaan suorakulmio R (reunat kokonaislukujen kohdalla kuten edellä) siten, että A Ì R. Määritellään

ó õ A f : =  ó õ R fA,

määritelmä ei riipu suorakulmion R valinnasta. Katso kuva 3.

Figure 3:

Jos A ei ole rajoitettu, voidaan määritellä

ó õ A f =  lim m ® ¥ ó õ A ÇB(0, m) f,

mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Katso kuva 4.

Figure 4:

Olkoon A Ì R² rajoitettu. Määritellään joukon A karakteristinen funktio kaavalla

XA(x, y) =  ì í î 1,  (x, y) Î A 0,  (x, y) Ï A.

MääritelmäA on mitallinen, jos X_A on integroituva A:ssa. Katso kuva 5.

Figure 5:

Huomatus Itse asiassa

ó õ A XA = A:n ¢¢pinta-ala¢¢.

ò_A X_A = A:n pintamitta =: m(A). Jos m(A) = 0, niin sanotaan, että A on nollamittainen.

Lause 8.2 Jos joukon A reuna on nollamitallinen, niin A on mitallinen.

Lause 8.3 Jos kaari on säännöllinen tai muotoa

{ (x, y)  ê ê  x Î [ a, b ], y = y(x) },

missä y: [ a, b ] ® R on jatkuva, niin se on nollamittainen.

Huomautus 1 Nollamittaisten joukkojen äärellinen yhdiste on nollamittainen. Kochin lumihiutalekäyrä (katso kuva 6) on esimerkki monimutkaisesta tason osajoukosta, ns. fraktaalista. Fraktaalireunaiset joukot eivät yleensä ole mitallisia edellä esitetyssä mielessä, eikä niiden yli voida integroida tällä tekniikalla.

Figure 6: Kochin lumihiutalekäyrä

Lause 8.4 Jos funktiot f₁, ¼, f_m ovat integroituvia A:ssa ja l₁, ¼, l_m Î R, niin funktio

l1f1 + ¼+ lmfm

on integroituva A:ssa, ja

ó õ A l1f1 + ¼+ lmfm = l1 ó õ A f1 + ¼+ lm ó õ A fm.

Lause 8.5 Olkoon A Ì R², m(d(A)) = 0. Olkoon f : A ® R sellainen funktio, että f on jatkuva lukuunottamatta mahdollisesti jotain A:n nollamittaista osajoukkoa B. Silloin f on integroituva A:ssa.

Esimerkki. Olkoon A = B((3,4), 100) ja

f(x, y) =  ì í î sin(x + y),  kun y ³ 0  -1,  kun y < 0.

Tämä ei ole jatkuva x-akselilla (=L), mutta L ÇA on nollamittainen(jana).

Lause 8.6 Olkoon A joukko, joka on jaettu osiin A_i, i = 1, ¼, n, missä m(d(A_i)) = 0. Funktio f on integroituva joukossa A jos ja vain jos f on integroituva jokaisessa joukossa A_i. Tällöin

ó õ A f =  ó õ A1 f + ¼+  ó õ An f =  n å i = 1 ó õ Ai f.

Lause 8.7 Oletetaan että f on integroituva joukossa

R = { (x, y)  ê ê  a £ x £ b, c £ y £ d },

ja jokaisella kiinteällä x Î [ a, b ], funktio y ® f(x, y) on integroituva (y:n suhteen) välillä [ c, d ]. Silloin funktio

g(x) =  d ó õ c f(x, y) dy

on integroituva välillä [ a, b ], ja pätee

ó õ R f =  b ó õ a g(x) dx =  b ó õ a æ è d ó õ c f(x, y) dy ö ø dx.

Merkitään

b ó õ a d ó õ c f(x, y) dx dy æ è taijoskusmyös b ó õ a d ó õ c f(x, y) dy dx ö ø .

Esimerkki Laske

ó õ R (1 - 6x2y),

kun R = [ 0, 2 ]×[ -1, 1 ] = { (x, y)  | 0 £ x £ 2, -1 £ y £ 1 }.

Ratkaisu.

ó õ R = 2 ó õ 0 1 ó õ -1 (1 - 6x2 y) dx dy =  2 ó õ 0 æ è 1 ó õ -1 (1 - 6x2y) dy ö ø dx = 2 ó õ 0 æ è é ë y - 3x2y2 ù û 1 y = -1 ö ø dx =  2 ó õ 0 (1 - 3x2 ·1) - (-1 -3x2(-1)2) dx = 2 ó õ 0 2 dx = 4.

Lause 8.8 Olkoot f₁ : [ a, b ] ® R, f₂ : [ a, b ] ® R jatkuvia funktioita, joille f₁(x) < f₂(x),  " x Î ] a, b [ sekä f₁(a) £ f₂(a), f₁(b) £ f₂(b). Oletetaan, että f : A ® R on integroituva, missä

A = { (x, y)  ê ê  x Î [ a, b ], f1(x) £ y £ f2(x) }.

Oletetaan, että integraali

f2(x) ó õ f1(x) f(x, y) dy

on olemassa kaikille x Î [ a, b ]. Silloin

ó õ A f =  b ó õ a æ è f2(x) ó õ f1(x) f(x, y) dy ö ø dx.

Katso kuvat 7 ja 8.

Figure 7:

Figure 8:

Esimerkki Olkoon f₁(x) = 0, f₂(x) = x ja f(x, y) = 3 - x - y. Nyt x Î [ 0, 1 ], joten

ó õ A = 1 ó õ 0 æ è x ó õ 0 3 - x - y dy ö ø dx =  1 ó õ 0 é ë 3y - xy -  1 2 y2 ù û x y = 0  dx = 1 ó õ 0 (3x - x2 -  1 2 x2) dx =  1 ó õ 0 (3x -  3 2 x2) dx = ó õ é ë  3 2 x2 -  1 2 x3 ù û 1 x = 0 = 1.

Katso kuva 9.

Figure 9: 2.ratkaisu

Erityisesti siinä tapauksessa, että f on jatkuva, edellä mainitut integraalit ovat olemassa ja kaava pätee.

Vastaavasti: Jos integroimisalue A on muotoa

A = {(x, y)  ê ê  c £ y £ d, y1(y) £ x £ y2(y) }

ja f on jatkuva A:ssa, niin

ó õ A f =  d ó õ c æ è y2(y) ó õ y1(y) f(x, y) dx ö ø dy.

(Tässä y₁(y) < y₂(y) kaikilla y Î [ c, d ] jne.)

Edellinen esimerkki voidaan siis laskea myös seuraavasti:

f(x, y) = 3 - x - y, y Î [ 0, 1 ] ja y₁(y) £ x £ y₂(y). Nyt y £ x £ 1 eli y₁(y) = y ja y₂(y) = 1. Saadaan

ó õ A f(x, y)  = 1 ó õ 0 æ è 1 ó õ y f(x, y) dx ö ø dy =  1 ó õ 0 é ë 3x -  1 2 x2 - xy ù û 1 x = y  dy = 1 ó õ 0 æ è 3 -  1 2 - y - æ è 3y -  1 2 y2 - y2 ö ø ö ø  dy = 1 ó õ 0 æ è  3 2 y2 - 4y +   5 2 ö ø dy = ¼ = 1.

Esimerkki Integroimisjärjestyksen vaihtaminen (katso kuva 10). Tarkastellaan integraalia

I =  2 ó õ 0 æ è 2x ó õ x2 (4x + 2) dy ö ø dx,

(1)

Tässä x Î [ 0, 2 ], x² : = f₁(x) £ y £ f₂(x) : = 2x; huomaa, että kun x £ 2, niin x² = x ·x £ 2x. Tehtävänä on lausua integraali 1 muodossa

d ó õ c æ è y2(y) ó õ y1(y) (4x + 2) dx ö ø dy,

missä y Î [ 0, 4 ], siis c = 0,  d = 4. Mutta mitä ovat funktiot y₁, y₂?

Figure 10: Integrointijärjestys

Reunakäyrällä f₁ pätee eli y = f₁(x) = x² jos Öy = x; siten y₂(y) = Öy (katso kuva 10). Reunakäyrällä f₂ on y = f₂(x) = 2x eli x = [(y)/2]; siten y₁(y) = [(y)/2]. Siis,

I =  4 ó õ 0 æ è Öy ó õ y/2 (4x + 2) dx ö ø dy.

8.1  Muuttujien vaihto pintaintegraaleissa

Figure 11: Pintaintegraali

Esimerkki Olkoon

A : = { (x, y)  ê ê  x2 + y2 £ a2 }.

Huomaa, että yllä x Î [ -a, a ] ja

f1(x) = - Ö   a2 - x2   £ y £ Ö   a2 - x2   = f2(x).

Tämä saattaa johtaa vaikeaan x-integraaliin. Tarkastellaan sen vuoksi funktiota g : R ® A,

g(r, j) = (r cosj, r sinj),

missä r Î [ 0, a ] ja j Î [ 0, 2p] eli (r, j) Î R: = [ 0, a ] ×[ 0, 2p]. Tämä g on surjektio.

Huomautus Jos 1. g : R ® A on injektio ja m(A \g(R)) = 0 tai 2. g : R ® A on surjektio, ja ne pisteet, joilla on enemmän kuin yksi alkukuva muodostavat nollajoukon, niin Lause 7.9 (sivu ) pätee edelleen.

Nyt

Jg = D1g1D2g2 - D2g1D1g2 = cosjr cosj- r(-sinj)sinj = r(cos2j+ sin2j) = r.

Siis,

ó õ A f =  a ó õ 0 p ó õ 0 f(rcosj, rsinj)r dr dj.

Huomautus Lause 8.9 (sivu pageref) pätee yleisimmillekin joukoille R kuin suorakulmioille.

8.2  Käyrä- ja pintaintegraalien yhteys

8.3  Integrointi yli pinnan

Seuraavaksi otetaan hiukan yleisempi tapaus: integroidaan yli pinnan, joka ei enää olekaan xy-tason alue, vaan pinta

E: = { ( x, y, z) Î R3 ê ê  z = h(x, y), (x, y) Î A },

missä A on joku sopiva xy-tason osajoukko. Joukko E on siis R³:n osajoukko, pinta, joka on kahden muuttujan funktion h kuvaaja (esimerkiksi A:n yläpuolella). (Piirrä kuva, kun esimerkiksi A on tason yksikköneliö, ja h on funktio h(x,y) = 1 + x²).

Oletamme, että kolmen muuttujan funktio f on määritelty joukossa E. Silloin sen integraalia yli pinnan E merkitään

ó õ E f

(3)

ja se määritellään kaavalla

ó õ E f : =  ó õ A f(x, y, h(x,y))  Ö   1 + D1 h(x,y)2 + D2 h(x,y)2    dx dy.

(4)

Huomautus Siinä tapauksessa, että f on vakiofunktio 1, tämä integraali antaa pinnan E pinta-alan.

Esimerkki Tarkastellaan funktion h(x,y): = Ö{1 - x² - y²} määräämää pintaa E joukossa R³, kun (x,y) Î A, ja A on xy-tason yksikkökiekko (siis joukko {x² + y² < 1}). Piirrä kuva: Pinta E on avaruuden yksikköpallon kuoren ylempi puolikas.

Laskemme E:n pinta-alan, eli integroimme vakiofunktiota (1) yli pinnan E.

Saamme ensinnäkin (laske!)

D1 h (x,y)2 =    x2 1 - x2 - y2

(5)

ja

D2 h (x,y)2 =    y2 1 - x2 - y2 .

(6)

Edelleen kaavassa (4)

Ö   1 +D1 h(x,y,)2 + D2 h(x,y)2   =   æ Ö   1 +    x2 1 - x2 - y2 +    y2 1 - x2 - y2   =   æ Ö     1 1 - x2 - y2

Siirtymällä napakoordinaatteihin saadaan (4) muotoon

ó õ A   1 Ö 1 - x2 - y2  dx dy = ó õ A   1 Ö 1 - ( x2 + y2)   dx dy = 1 ó õ 0 2 p ó õ 0   1 Ö 1 - r2 r dr dq = 2p 1 ó õ 0   1 Ö 1 - r2 r dr = 2 p.

Stokesin kaavan käsittely joudutaan jättämään ajan puutteen vuoksi pois. Katso tarvittaessa kirjallisuudesta.