Sisältö

9  Avaruusintegraalit

Integraalin käsite ja siihen liittyvät mittateoreettiset käsitteet määritellään analogisesti kahden muuttujan funktion tapauksen kanssa. Jätämme tässä yksityiskohdat väliin.

Avaruusintegraalia merkitään esim.

ó õ A ftai ó õ ó õ A ó õ f(x,y,z) dx dy dz.

Kuten arvata saattaa pintaintegraalien tapauksesta, avaruusintegraalin laskeminen palautuu kolminkertaiseen integrointiin. Olkoon ensiksi A koordinaattiakselien suuntainen suuntaissärmiö

A : = { (x,y,z)  |  a1 £ x £ a2 , b1 £ y £ b2 , c1 £ z £ c2 }

eli A = [a₁, a₂] ×[b₁, b₂] ×[c₁, c₂], missä a₁ jne. ovat jotain reaalilukuja. Tällöin

ó õ A f =  a2 ó õ a1 æ è b2 ó õ b1 æ è c2 ó õ c1 f (x,y,z) dz ö ø dy ö ø dx.

(1)

Olettaen että f on riittävän siisti, esimerkiksi jatkuva, joukossa A, integroinnit kaavassa (1) voi suorittaa missä järjestyksessä tahansa:

ó õ A f =  b2 ó õ b1 æ è c2 ó õ c1 æ è a2 ó õ a1 f (x,y,z) dx ö ø dz ö ø dy =  c2 ó õ c1 æ è b2 ó õ b1 æ è a2 ó õ a1 f (x,y,z) dx ö ø dy ö ø dz ¼

Integraalit yli monimutkaisempien joukkojen lasketaan kuten kahden muuttujan tapuksessakin. Oletetaan, että on annettu kahden muuttujan funktiot j₁ ja j₂, missä j₁(x,y) £ j₂ (x,y), kun a₁ £ x £ a₂ ja b₁ £ y £ b₂. Olkoon nyt

A : = { (x,y,z)  |  a1 £ x £ a2 , b1 £ y £ b2 ,j1 (x,y) £ z £ j2 (x,y) } .

(Hahmottele kuva joukosta A, kun j₁ ja j₂ ovat jotain sopivia funktioita.) Tällöin

ó õ A f =  a2 ó õ a1 æ è b2 ó õ b1 æ è j2 (x,y) ó õ j1 (x,y) f (x,y,z) dz ö ø dy ö ø dx.

Tässä x- ja y-integrointien järjestyksen voi vaihtaa.

Vielä yleisemmin, jos

A : = { (x,y,z)  |  a1 £ x £ a2 , y1(x) £ y £ y2 (x) , j1 (x,y) £ z £ j2 (x,y) }

joillekin sopiville funktioille y₁ jne., niin

ó õ A f =  a2 ó õ a1 æ è y2 (x)  ó õ y1(x)  æ è j2 (x,y) ó õ j1 (x,y)  f (x,y,z) dz ö ø dy ö ø dx.

9.1  Muuttujan vaihto avaruusintegraalissa

Tarkastellaan tapausta, että g välittää siirtymisen pallokoordinaatteihin, eli g : R ® A ,

g( r, j, y) : = ( r cosjcosy, r cosjsiny, r sinj)

R: = { (r , j, y)  |  0 £ r £ a , -p/ 2 £ j £ p/2, 0 £ y £ 2 p}

ja A on avaruuden 0-keskinen, a-säteinen pallo

A = { (x,y,z)  |  x2 + y2 + z2 £ a2 },

Tällöin J_g on

Jg (r,j, y) = r2 cosj.

9.2  Pinta-ja avaruusintegraalien välinen yhteys