Analyysi III
Demo 3, syksy 2002

  1. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:
    2. a) ¥
    å
    n=1    		 e-n,      b) ¥
    å
    n=1    		  n
    n + 1    		 ,     c) ¥
    å
    n=1    		 n sin æ
    è    		 n +   1
    2    		 ö
    ø    		 p.
  2. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:
    3. a) ¥
    å
    n=1    		  1
    (1 + log n)3    		 ,     b) ¥
    å
    n=2    		  log(n+1)
    (n+10)    		 ,      c) ¥
    å
    n=1    		  log n
    n2    		 .
  3. Millä x:n arvoilla suppenee sarja
    4. ¥
    å
    n=1    		 æ
    è    		  1
    (x+1)n    		 + xn ö
    ø    		 ?
  4. Oletetaan, että positiiviterminen sarja
    5. ¥
    å
    n=1    		 xn
    suppenee. Osoita, että myös sarja
    ¥
    å
    n=1    		 x2n
    suppenee.

    Vihje. Oletuksesta seuraa, että suurilla n termit xn ovat ykköstä pienempiä (miksi?). Miten voit silloin vertailla lukuja xn ja xn2?

  5. Oletetaan, että luvut xn ja yn ovat positiivisia kaikilla n Î N ja että sarjat
    6. ¥
    å
    n=1    		 xn2ja ¥
    å
    n=1    		 yn2
    suppenevat. Osoita, että sarja
    a) ¥
    å
    n=1    		 xn yn,     b) ¥
    å
    n=1    		 (xn + yn)2
    suppenee.
     
File translated from TEX by TTH, version 3.13.
On 20 Sep 2002, 10:32.