Analyysi III
Demo 5, syksy 2002
Laske luentojen luvun 2 alun esimerkin tavalla sen alueen
A
pinta-ala, jota rajoittavat käyrä
y
= 2
x
ja suorat
y
= 0,
x
= 1 ja
x
= 2.
Todista (induktiolla) kaava
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+
¼
+
n
2
=
n
(
n
+ 1)(2
n
+ 1)
6
.
Kuten tehtävä
1
, mutta
A
on käyrän
y
=
x
2
ja suorien
y
= 0,
x
= 0 ja
x
= 1 rajoittama.
Tutki seuraavista sarjoista, suppenevatko ne itseisesti, tavallisessa mielessä vai hajaantuvatko ne. Perustelut!
a
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
1
Ö
n
+1
b
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
1 +
Ö
n
c
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
3 +
n
5 +
n
d
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
n
2
æ
è
2
3
ö
ø
n
e
)
¥
å
n
=1
(
-
5)
-
n
f
)
¥
å
n
=1
(
-
100)
n
n
!
g
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
+1
1 +
n
n
2
h
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
(
Ö
n
+1
-
Ö
n
)
i
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
(
Ö
n
+
Ö
n
-
Ö
n
)
j
)
¥
å
n
=1
(
-
1)
n
+1
(
n
!)
2
(2
n
)!
File translated from T
E
X by
T
T
H
, version 3.13.
On 10 Oct 2002, 23:58.