Analyysi III
Demo 13, syksy 2002
  1. Osoita, että jos m, n Î N, niin
    2. ó
    õ    		 L

    -L

    		 sin  npx
    L    		 cos  mpx
    L    		  dx = 0
    ja
    ó
    õ    		 L

    -L

    		 sin  npx
    L    		 sin  mpx
    L    		  dx =  ì
    í
    î
    0,
    m ¹ n, 
    L,
    m = n.
  2. Suppeneeko funktion f(x) = x2/4 välillä [-p,p] muodostettu Fourier-sarja?
  3. Samoin, kun
    4. a) f(x) 
    =
    x |x|, 
    b) f(x) 
    =
    ì
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    í
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    î
    0,
    -p £ x < -  p
    2
    1,
    -  p
    2    		 £ x £  p
    2
    0,
     p
    2    		 < x £ p.
  4. Muodosta Fourierin kosini-sarja funktioille
    5. a) f(x) 
    =
    2x + x2,       0 < x £ 2,
    b) f(x) 
    =
    cos x,        0 < x £  p
    2    		 .
  5. Muodosta Fourierin sini-sarja edellisen tehtävän funktioille.


    6. BONUSTEHTÄVÄ. Laadi tietokoneohjelma, jolla voit piirtää Fourier-sarjojen osasummien kuvaajia. Piirrä tällä vähintään neljän, tehtävissä 2-5 esiintyvän, funktion Fourier-sarjojen osasummia. Kuvista tulisi ilmetä, kuinka termien määrän lisääntyessä Fourier-kehitelmä approksimoi funktiota yhä paremmin.
    (Ehdotus: Piirrä esim. 1:n, 5:n ja 20:n ensimmäisen termin summa.)

    Tyydyttävästä suorituksesta saa 2 ylimääräistä pistettä (välikoe ym. pisteiden lisäksi).
    Tyydyttävässä suorituksessa ohjelma laskee Fourier-kertoimet itse, kun funktio on annettu. Laita lyhyt selostus ohjelman toiminnasta sekä koodi mukaan.

    Palautus viimeistään perjantaina 13.12. matematiikan laitoksen kansliaan (tunnus Änalyysi III:n bonustehtävä").

File translated from TEX by TTH, version 3.13.
On 1 Dec 2002, 16:00.