Differentiaaliyhtälöt, syksy 2001
Harjoitus 4

Tiistaina 2.10. ei ole luentoa eikä demoja (liikuntailtapuoli). poikkeuksellisesti emme pidä demoja myöskään keskiviikkoaamuna 3.10., mutta torstaiaamun ryhmän lisäksi on yksi korvaava demoryhmä seuraavan viikon maanantaina 8.10. klo 14-16 salissa M4.

Matematiikan laitos järjestää kotitehtävien ohjausta viikoilla 37-49 (10.9.-5.12.) salissa M9 aikoina ma 14-18, ti 14-18 ja ke 14-16.

1. a) Missä tason osa-alueissa ovat olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen ehdot voimassa differentiaaliyhtälölle
    y¢ =   1
    y(y-2x)    		 ?
    		(1)
    b) Millaisille yhtälöön (1) liittyville alkuarvotehtäville y(x0) = y0 OY-lause ei takaa ainakaan yksikäsitteistä ratkaisua?

Oletetaan, että tehtävissä ja esiintyvä funktio f: R2®R on jatkuva ja että myös sen osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia.
2. Olkoot funktiot y1(t) = t+2 ja y2(t) = - t2 differentiaaliyhtälön y¢ = f(t,y) ratkaisuja. Mitä voidaan OY-lauseen avulla päätellä pisteen (0,1) kautta kulkevasta ratkaisusta?
3. Olkoot funktiot
    y1(t) =   1
    t-1    		 ja   y2(t) =   1
    t-2
    differentiaaliyhtälön y¢ = f(t,y) ratkaisuja. Mitä voidaan OY-lauseen avulla päätellä ratkaisuista, jotka leikkaavat y-akselin

    a) pisteessä -2?

    b) välin [-1, -[ 1/2]] pisteessä?


4. Etsi alkuarvotehtävälle y¢ = y2/3, y(0) = 0, ainakin kaksi eri ratkaisua. Miksi yksikäsitteisyyslause ei toimi?
5. Ratkaise OY-lausetta käyttäen alkuarvotehtävä
    y¢ = (y - x2)2 +2x,    y(1) = 1.
6. Ratkaise reuna-arvotehtävä xy¢ = 3y, y(1) = 1, y(-1) = 4.
7. Ratkaise differentiaaliyhtälöt
     
    a) y¢- y + 3e-x = 0,

    b) y¢ = -[ y/x] + 2.

8. Ratkaise alkuarvotehtävä
    y¢ =   2-2ty
    1+t2    		 ,    y(0) = 2.

File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 25 Sep 2001, 16:07.