Differentiaaliyhtälöt, syksy 2001
Harjoitus 6

Matematiikan laitos järjestää kotitehtävien ohjausta viikoilla 37-49 (10.9.-5.12.) salissa M9 aikoina ma 14-18, ti 14-18 ja ke 14-16.
  1. Määritä ne tasoalueet, joissa seuraavat differentiaaliyhtälöt ovat eksakteja:

    2. a) 2xy + (1+y2)y¢ = 0,
    b) 2x + 4y + (4x - 2y + x2)y¢ = 0,
    c) xexy + yexy y¢ = 0,
    d) (y/x - x2) + (lnx - 2y)y¢ = 0.
  2. Ratkaise tehtävän 1 yhtälöistä ne, jotka ovat eksakteja.
  3. Ratkaise differentiaaliyhtälö
    4.  xy - 1
    x2y    		 -  y¢
    xy2    		 = 0.
  4. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä
    5. ì
    í
    î
    y1¢
    =
    y1
    +
    y2
    y2¢
    =
    -2y1
    +
    4y2
  5. Ratkaise alkuarvotehtävä
    6. ì
    í
    î
    y1¢
    =
    - y1
    +
    2y2, 
    y1(0) 
    =
    3 
    y2¢
    =
    2y1
    -
    y2, 
    y2(0) 
    =
    1
  6. Radioaktiivisen aineen hajoamisnopeus on suoraan verrannollinen jäljellä olevaan ainemäärään m(t). Muodosta aluksi hajoamisen differentiaaliyhtälö ja ratkaise se alkuehdolla m(0) = m0 > 0. Erään aineen havaittiin vähentyneen 24 tunnissa noin 10 %. Laske aineen puoliintumisaika , ts. aika, jossa aineen määrä on vähentynyt puoleen alkuperäisestä.
  7. Vesiastian pohjaan tehdään (hetkellä t = 0) pieni reikä, josta vesi pääsee valumaan pois. Astiassa olevan veden korkeudelle h(t) hetkillä t ³ 0 (tyhjenemiseen saakka) voidaan johtaa - fysikaalisesti kylläkin idealisoitu - differentiaaliyhtälö h¢ = - KÖh, missä vakio K > 0 riippuu astian ja reiän mitoista.

    8. a) Ratkaise differentiaaliyhtälö.
    b) Hahmottele ratkaisuparvea ja piirrä ratkaisukäyrä alkuehdolla h(0) = h0 > 0.
  8. a) Milloin on edellisen mallin mukaan astian tyhjenemishetki T ja miten ratkaisukäyrän pitää jatkua hetken T jälkeen?

    9. b) Mikä oleellinen ero tilanteella on verrattuna radioaktiivisen aineen hajoamiseen?
    c) Mitä voi tyhjenemistapahtumasta päätellä henkilö, joka saapuu paikalle astian jo tyhjennyttyä?
File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 17 Oct 2001, 12:18.