Differentiaaliyhtälöt, syksy 2001
Harjoitus 7 (viikolla 43, 23.-25.10.)

Pidämme ensimmäisen välikokeen kahdessa erässä. Kaikki jotka haluavat, voivat tulla välikokeeseen 2.11.2001 klo 8-10 salissa M1. Ilmoittautuminen tapahtuu demojen 7 yhteydessä (tai sähköpostilla, ken ei demoihin tule).
Muille koe on alkuperäisen ohjelman mukaisesti 14.11.2001 klo 8-10 M1.
Koealue: asiat joita käsitellään demoissa 1-8.

Suuntakenttien piirto on mahdollista mm. WWW-sivuilla
http://matta.hut.fi/matta/dew.html# (printtauskin voi onnistua)
http://math.rice.edu/~dfield/#java
Edellinen on osa laajempaa MatTa-projektin DY-materiaalia osoitteessa:
http://matta.hut.fi/matta/deltampl.html


Ratkaise tehtävät 1-4 muuntamalla ne ensin 1. kertaluvun yhtälöiksi.
  1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt


    2. a) y¢¢ = y¢+ 1,

    b) xy¢¢- 2 y¢ = 0.

  2. Ratkaise alkuarvotehtävä
    3. y¢¢+ (y¢)2 + 1 = 0,    y¢(0) = 0, y(0) = 1.
  3. Ratkaise reuna-arvotehtävä
    4. y¢¢ = x cosx,     y(0) = y(p) = 0.
  4. Ratkaise alkuarvotehtävä
    5. y¢¢ = 4y3 + 4y,    y(0) = 1,  y¢(0) = - 2Ö2.
    Vihje: sijoita tässä y¢ = z °y. Käytä toista alkuehtoa jo laskettuasi ensin derivaatan y¢.
  5. Muodosta sellainen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuja ovat tason r-säteiset ympyrät.


    6. Vihje: Muodosta (c1, c2)-keskisen r-säteisen ympyrän yhtälö, derivoi se kahdesti ja eliminoi integroimisvakiot c1, c2.

  6. Tutki lineaarisen riippumattomuuden määritelmän avulla, onko seuraava avaruuden C(R) funktiojoukko vapaa, siis lineaarisesti riippumaton:
    7. F = {2x3, 2|x|3 - x3}.
    Entä jos tarkastelemme niitä avaruudessa C(R+)?
  7. Tutki lineaarisen riippumattomuuden määritelmän avulla, onko seuraava avaruuden C(R) funktiojoukko vapaa, siis lineaarisesti riippumaton:
    8. G = {sinh(-x), coshx + ex, 2ex}.
  8. Tutki Wronskin determinantin avulla, ovatko seuraavat avaruuden C(R) funktiojoukot vapaita

    9. a) F = {x2- x, 3x2-5x+4}
    b) G = {xcosx2, x2cosx}.
File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 17 Oct 2001, 12:09.