Differentiaaliyhtälöt, syksy 2001
Harjoitus 8 (viikolla 44, 30.10.-1.11)

Sopimuksemme mukaan I välikoe on 2.11.2001 klo 8-10 salissa M1. Tähän ilmoittautuminen tapahtuu demojen 7 yhteydessä tai sähköpostilla. Muille koe on alkuperäisen ohjelman mukaisesti 14.11.2001 klo 8-10 M1.
Koealue: Luennot Lukuun 3.6 saakka (asiat demoissa 1-8).
Jäljempänä kertaustehtäviä.
Tiistaina 30.10. ei luentoa ole, keskiviikkona kertausta.
Viikolle 45 (5.-9.11.) ei kotilaskuja, mutta on tietokonedemot ke 12-14 M17 ja to 8-10 M18.
  1. Todista Lause 3.4.2: Olkoot p ja q välillä D jatkuvia funktioita. Jos yL on yhtälön
    2. y¢¢+ p(x)y¢+ q(x)y = r(x)
    yksi ratkaisu välillä D, on funktio y sen ratkaisu jos ja vain jos y on muotoa y = yL + yH, missä yH on homogeeniyhtälön y¢¢+ p(x)y¢+ q(x)y = 0 ratkaisu kyseisellä välillä.
  2. Muodostavatko funktiot y1(x) : = ex ja y2(x) : = (x+1)ex yhtälön y¢¢-2 y¢+ y = 0 perusjärjestelmän?
  3. Määritä kertaluvun pudotusta (Luku 3.6) käyttäen differentiaaliyhtälön
    4. x2 y¢¢- 2y = 0,     x > 0,
    ratkaisut, kun tiedetään, että yksi ratkaisu on y1(x) = 1/x.
  4. a) Osoita, että homogeeniyhtälön y¢¢+ p(x)y¢+ q(x)y = 0 lineaarisesti riippumattomilla ratkaisuilla ei ole yhteisiä nollakohtia (Apulause 3.5.10 ).


    5. b) Voivatko funktiot y1, y2: R ® R,
    y1(x) : = sin2x,        y2(x) : = cos3x,
    olla saman homogeeniyhtälön y¢¢+ p(x)y¢+ q(x)y = 0 ratkaisuja?

  5. Ovatko funktiot y1, y2,
    6. y1(x) : = x,        y2(x) : = x2 - 1,
    saman 2. kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön ratkaisuja?
  6. Osoita, että u(x) : = sin(1/x) on differentiaaliyhtälön
    7. y¢¢+   2
    x    		  y¢+   1
    x4    		  y = 0
    ratkaisu positiivisella reaaliakselilla ja etsi täydellinen ratkaisu.
  7. Tarkastellaan yhtälöä y¢¢+ p(x)y¢+ q(x)y = 0, p, q Î C(D). Osoita, että yhtälöllä on ratkaisu

    8. a) y(x) = x, jos p(x) + xq(x) = 0 kaikilla x Î D,
    b) y(x) = ex, jos p(x) + q(x) + 1 = 0 kaikilla x Î D.
  8. Ratkaise tehtävän 7 avulla differentiaaliyhtälö
    9. y¢¢-  3
    x    		  y¢+   3
    x2    		  y = 0,    x > 0.

Seuraavassa tehtäviä kokeeseen harjoitteluun:
  1. Ratkaise:
    		2.
    YHTÄLÖ 
    RATKAISU (C, C1, C2 Î R) 
    a)
    y¢- 3y = 6 
    y = C e3x - 2 
    b)
    y¢+   4y
    x    		 = x4
    y = C  1
    x4    		 +   1
    9    		 x5
    c)
    xy¢- 2y = x3 cos4x
    y =   1
    4    		 x2sin4x + Cx2
    d)
    y¢- 5y = 0,  y(3) = 4 
    y = 4e5(x-3)
    e)
    y¢+  1
    2    		 xy = 3x,  y(0) = 4 
    y = 6 - 2e-x2/4
    f)
    x - y2 y¢ = 0 
    y = (  3
    2    		 x2 - 3C)1/3
    g)
    (y2 +1)(x+1)y¢ = (y3+3y) 
    y3+3y = C(x + 1)3, C ¹ 0 
    h)
    y¢- xey = 0 
    y = - ln(-C -  1
    2    		 x2) 
    i)
    2xy + (1+x2)y¢ = 0,  y(2) = 3 
    y =   15
    x2 + 1
    j)
    x+siny + (xcosy - 2y)y¢ = 0,  y(2) = p
     1
    2    		 x2 + x siny - y2 = 2 -p2
    k)
    ì
    í
    î
    y1¢
    =
    2y1
    +
    4y2
    y2¢
    =
    -y1
    -
    3y2
    ì
    í
    î
    y1
    =
    -c1e-2t
    -
    4c2et
    y2
    =
    c1e-2t
    +
    c2et
    l) 
    y¢¢ = x2ex, y(1) = 1,  y¢(1) = 0 
    y = (x2 - 4x + 6)ex - ex + 1 - 2e
    m) 
    xy¢¢+ y¢ = 0 
    y = C1 ln|x| + C2
    n) 
    y¢¢+ (y¢)2 = 1 
    ì
    í
    î
    y
    =
    ln|C1ex + e-x| + C2,  C1 ¹ 0, 
    y
    =
    ±x + C2
    o)
    y¢¢ = (y¢)3 + y¢
    y = 
    arc
     
    		 sin (C2ex) + C1
    p)
    y¢¢ = 2yy¢, y(0) = 0, y¢(0) = 1 
    y = tan(x + np),  n Î Z
    Yllä loppupuolella tee sopivat apusijoitukset y¢ = z. Ratkaisuparvet (oikeatkin) voivat eri tavoilla saatuina näyttää hyvinkin erilaisilta!
  2. Minkä differentiaaliyhtälöiden ratkaisuparvia ovat


    3. a) y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x),    C1, C2 Î R?

    b) y(x) = (C1 + C2x)e2x,    C1, C2 Î R?

    c) y(x) = x + C1lnx + C2,    C1, C2 Î R?

  3. Ovatko funktiot y1, y2: ]1,¥[® R,
    4. y1(x) : = (lnx)(lnx),       y2(x) : = 2 xln(lnx),
    lineaarisesti riippuvat?

    Vastaus: Ovat.

  4. Oletetaan, että yhtälöllä xy¢¢- 2y¢+ y = 0, x > 0, on ratkaisut y1 ja y2, joille
    5. y1(2) = 1, y1¢(2) = y2(2) = 2 ja y2¢(2) = 3.
    Määritä funktio Wy1,y2. Ovatko y1 ja y2 yhtälön perusjärjestelmä?

    Vastaus: Ovat, sillä Wy1,y2(x) = - 1/4 x2 ¹ 0 välillä R+.

File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 23 Oct 2001, 16:15.