Differentiaaliyhtälöt, syksy 2001
Harjoitus 10 (viikolla 46, 13.-15.11)

Viikon 45 (5.-9.11.) demot ovat ohjatut tietokonedemot ke 12-14 M17 ja to 8-10 M18.
  1. Ratkaise kertaluvun pudotuksella
    2. x2y¢¢+ 2xy¢- 2y = 0,     x > 0.
  2. Ratkaise differentiaaliyhtälöt

    3. a) 2y¢¢- 5y¢+ 2y = 0,
    b) y¢¢+ 6y¢+ 9y = 0,
    c) y¢¢+ 8y¢+ 25y = 0.
  3. Vaakatasossa olevan xy-koordinaatiston origossa on kappale, jonka massa on m. Kappale tönäistään hetkellä t = 0 liukumaan pitkin positiivista x-akselia. Kappaleen alkunopeus olkoon v0 > 0 ja paikka x = r(t) hetkellä t ³ 0. Oletetaan, että kappaleeseen vaikuttavien liikettä vastustavien voimien summa on verrannollinen nopeuteen r¢, olkoon se -cr¢(t), c > 0. Newtonin lain mukaan liikettä kuvaa yhtälö mr¢¢(t) = -cr¢(t).

    4. a) Miten kauas origosta kappale pääsee?
    b) Oletetaan toiseksi, että kun kappaleen nopeus on vähentynyt arvoon v1, v0 > v1 > 0, kappale pysähtyy lepokitkan vaikutuksesta äkisti. Miten kauas kappale tässä tapauksessa pääsee?
  4. Ratkaise vakioiden varioinnilla
    5. y¢¢- 2y¢+ y =   ex
    x    		 .
  5. Ratkaise käyttäen sopivaa yritettä, ts. määräämättömien kertoimien menetelmällä
    6. y¢¢- 2y¢+ 3y = x2 + cos x.
  6. Ratkaise differentiaaliyhtälö
    7. y¢¢+ 5y¢+ 6y = 3e-2x + e3x.
  7. Ratkaise reuna-arvotehtävät

    8. a) y¢¢+ 4y = 0,    y(0) = y(2p) = 0,
    b) y¢¢+ 4y = 0,    y(0) = 0, y(p) = 1,
    c) y¢¢+ 4y = 0,    y(p/4) = 2, y(p) = -1,
    ja piirrä ratkaisu(je)n kuvaaja(t).
  8. Ratkaise differentiaaliyhtälö
    9. y¢¢-  3
    x    		  y¢+   3
    x2    		  y = 2x - 1,    x > 0.


File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 6 Nov 2001, 16:06.