Differentiaaliyhtälöt, syksy 2001
Harjoitus 14 (viikolla 50, torstaina 13.12. klo 10-12 salissa M3)

Keskiviikkona 5.12. ei ole luentoa klo 16-18, eikä myöskään tiistaina 11.12.
Viimeiset luennot ovat siis tiistaina 4.12. ja keskiviikkona 12.12.
Tarvitaanko kertausluento?

Viimeiset demot 14 ovat yhdessä ryhmässä torstaina 13.12. klo 10-12 salissa M3.

2. välikoe on 20.12., ja siihen tulee monisteen ja luentojen luvut 3.7-10, 4.2-10 ja 5.1-2. Laplace-muunnoksia syventävät lisäluvut 4.8-4.10 jaetaan luennoilla.
Kokeessa pitää olla mukana henkilöyden todistava asiakirja (ajokortti tms.). Kokeessa saa olla mukana kirjoitusvälineet ja laskin, tehtäväpaperi sisältää Laplace-muunnostaulukon.

  1. Muodosta Picardin iterointimenetelmällä peräkkäiset approksimaatiot y0, y1 ja y2 alkuarvotehtävän
    2. y¢ = -  1
    2    		 x y,    y(0) = 3,
    ratkaisulle.
    Vastaus:y0 = 3, y1 = 3 - [ 3/4]x2, y2 = 3 - [ 3/4]x2 + [ 3/32]x4.
  2. Etsi myös tehtävän 1 oikea ratkaisu ja piirrä kaikki samaan koordinaatistoon (esim. välillä [-5,5]).
  3. Toteuttaako funktio f, f(x,y) : = 3xÖy, Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen

    4. a) joukossa [-2,2]×[0,1]?
    b) joukossa [-2,2]×[1/2,1]?
    c) joukossa [-2,2]×[1/2,¥[?
  4. Osoita, että alkuarvotehtävällä
    5. y¢ = -y,    y(0) = 3
    on yksikäsitteinen ratkaisu eräässä pisteen 0 ympäristössä.
  5. Mikä on edellisessä tehtävässä laajin väli ]-d,d[, jolla kyseisen ratkaisun olemassaolo on OY-lauseen 5.2.2 mukaan taattu?

    6. Vihje: ota tarkasteluun (0,3)-keskinen suorakulmio T ja päättele, kuinka suuri d voi olla.
  6. Muodosta Picardin iterointimenetelmällä peräkkäiset approksimaatiot (yk)k ÎN alkuarvotehtävän
    7. y¢ = -y,    y(0) = 3
    ratkaisulle ja selvitä niiden avulla oikea ratkaisu.

Seuraavassa kertausharjoitustehtäviä vastauksineen.

Kertausharjoitustehtäviä vastauksineen

  1. Ratkaise alku- tai reuna-arvotehtävät

    2.  

     

    a) x¢¢- 8x¢+ 16x = 0, x(0) = 1, x(1) = -2,
    b) y¢¢+ 8y¢+ 25y = 0, y(0) = y¢(0) = 1,
    c) 2 z¢¢- 5 z¢+ 2 z = 0,  z(0) = 1, z¢(0) = -1.

    Vastaukset (laskettu Maplella):
    x(t) = exp(4t)- (exp(4)+2) t exp(4t)/exp(4)
    y(t) = exp(-4t) cos(3t) + 5/3 exp(-4t) sin(3t)
    z(t) = -exp(2t) + 2exp(1/2 t)

  2. Ratkaise
    3. y¢¢- 6y¢+ 9y =   e3x
    x2    		 .
    Vastaus: y = (c1 + c2x)e3x- (1 + ln|x|)e3x, c1, c2 ÎR.
  3. Ratkaise differentiaaliyhtälö
    4. y¢¢+ 5y¢+   25
    4    		  y = x2.
    Vastaus: y(x) = c1e-[ 5/2]x + c2 x e-[ 5/2]x + [ 4/25] x2 - [ 32/125] x + [ 96/625],  c1, c2Î R.
  4. Onko funktiojoukko {x2+sinx, x2- sinx, x2-1, x2 + x} lineaarisesti riippuva?

    5.  

     

    Vastaus: Ei. Nähdään määritelmän avulla tai Wronskin determinantilla (sen arvo esimerkiksi nollassa = -4).

  5. Todenna, että funktio y1, y1(x) : = x, on eräs yhtälön
    6. (x3 sin x) y¢¢¢- (3x2 sin x + x3cos x) y¢¢+ (6x sin x + 2x2 cos x) y¢- (6 sin x + 2x cos x) y = 0
    ratkaisu ja ratkaise yhtälö.

    Vastaus: y(x) = c1x + c2x2 + c3 x sinx, ci ÎR.

  6. Mitkä ovat sen alinta mahdollista kertalukua olevan lineaarisen homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön muut ratkaisut, jolla on ainakin ratkaisut xe-3x ja xsinx cosx?

    7.  

     

    Vastaus: y(x) = c1e-3x + c2xe-3x + c3 sin2x + c4 xsin2x +c5 cos2x + c6 xcos2x, ciÎ R.

  7. Ratkaise yhtälö
    8. y(5) - 6y(4) - 8y¢¢¢+ 48y¢¢+ 16y¢- 96y = 0.
    Vastaus: y(x) = c1e2x + c2xe2x + c3e-2x + c4xe-2x + c5e6x,  ciÎ R.
  8. Ratkaise Laplace-muunnosten avulla alkuarvotehtävä
    9. y(4) -y = 0,     y(0) = y¢¢(0) = 1, y¢(0) = y¢¢¢(0) = 0.
    Vastaus: y(x) = cosh x.
File translated from TEX by TTH, version 3.01.
On 30 Nov 2001, 16:26.