Demossa on seuraavat osiot:

A. Funktioiden määrittely ja käsittely
B. Integraalifunktio, määrätty ja epäoleellinen integraali
C. Integraalin avulla määritelty reaalifunktio
D. Funktiomuuttujan lausekearvoinen funktio
E. Funktiomuuttujan funktioarvoinen kuvaus
F. Lasketaan Laplace-muunnoksia
 
 

A. Funktion määrittely ja käsittely

> F := x -> exp(-s*x); # ! Enter käskyn perään !

> F((3-x)/s/x);

Ratkaisut:
1. käsky:
____________________________________________
2. käsky:
____________________________________________

b) Selvitä ilman konetta, mitä tulostaisi

F(F(2));

Ratkaisu: __________________________________________

Tarkasta Maplella! Tulos: _____________________________

TEHTÄVÄ 2. a) Selvitä kokeilemalla, mitä tehdään seuraavassa:

> g := (s,x) -> exp(-s*x)*f(x);

g(3*s,x-2)

Ratkaisu: ____________________________________

c) Muuta funktiota g niin, että myös f on muuttujana ja laske arvo pisteessä

(s-a,x,x->x^2)

> # g := jne...

> g := (s,x,f) -> exp(-s*x)*f(x);

B. Integraalifunktio, määrätty ja epäoleellinen integraali
 

TEHTÄVÄ 3. a) Selvitä kokeilemalla, mitä tekevät

> int(exp(-s*x),x); # käsky 1

> MI := Int(exp(-s*x),x = 0..M); # käsky 2

> MIA := value(MI); # käsky 3

>

Ratkaisut:

1. käsky:____________________________________________________________

2. käsky:____________________________________________________________

3. käsky:____________________________________________________________

b) Suppeneeko integraali  ?

1. Selvitä ilman konetta mitä seuraavan pitäisi tulostaa:

>

RA := int(exp(-s*x), x = 0..infinity)

2. Kokeile käskyä yllä. Mitä arvelet?

>

3. Perimmäinen kysymys: Mikä raja-arvolausekkeessa on vikana ?

>

Ratkaisut

1. käsky:____________________________________________________________

2. vastaus:___________________________________________________________

3. vastaus:___________________________________________________________

c) Mikä neuvoksi?

Maple V:lle on annettava riittävästi tietoja, Raja-arvohan riippuu luvusta s !

Jos edellä s on negatiivinen:

> assume(s <= 0):

> EO := Limit(MI, M = infinity);

> value(EO);

Jos taas s on positiivinen:

> assume(s > 0): # käsky 1

> limit(MI, M = infinity); # käsky 2

> value(%); s:= 's': # käsky 3

>

NYT PITI ONNISTUA !!

Ratkaisut

1. käsky tekee:_______________________________________________________

2. käsky tekee:_______________________________________________________

3. vastaus:___________________________________________________________

d) Integroi Maplella nollasta äärettömään 

> # tähän

Käsky ja ratkaisu:

___________________________________________________________________

Oliko ongelmia? Mitä?__________________________________________________

C. Integraalin avulla määritelty reaalifunktio

TEHTÄVÄ 4. a) Selvitä kokeilemalla, mitä tekevät

> M := s -> Int(exp(-s*x)*sin(x),x = 0 .. infinity);# käsky 1

> assume(s > 0): value(M(3)); # käsky 2

> value(M(s)); # käsky 3

>

Ratkaisut

1. käsky tekee:________________________________________________________

2. vastaus:___________________________________________________________

3. vastaus (sievennä ensin!):______________________________________________

> simplify(%);

b) Muodosta funktio N, jossa edellisen sini on korvattu funktiolla kosini ja

laske N(3) sekä N(s).

> # käskysi

Vastaukset: N(3) = __________, N(s) = _______________________

D. Funktiomuuttujan lausekearvoinen funktio

TEHTÄVÄ 5. a) Selvitä kokeilemalla, mitä tekee komentojono

> P := q -> int(exp(-s*x)*q(x), x = 0..infinity);

> h := x -> sin(a*x);

> P(h);

> simplify(%);

Tulos: ________________________________________________________________

b) Laske eksponenttifunktion kuva kuvauksessa P. Tulos:_____________________

>

Nyt pitääkin olettaa s > 1:

> assume(s>1);

> # käsky tähän

c) Laske funktion x*exp(2x) kuva kuvauksessa P. Tulos:_____________________

E. Funktiomuuttujan funktioarvoinen kuvaus

TEHTÄVÄ 6. Selvitä kokeilemalla, mitä tekee komentojono

> L := q -> (s -> int(exp(-s*x)*q(x), x = 0..infinity)); # 1

> h := x -> x^3; #2

> L(h); #3

> L(h)(s); #4

> L(h)(3); #5

>

Ratkaisut

1. käsky tekee:________________________________________________________

2. käsky tekee:________________________________________________________

3. vastaus:____________________________________________________________

4. vastaus:____________________________________________________________

5. vastaus:____________________________________________________________

(sievennä tarvittaessa!)

F. Lasketaan Laplace-muunnoksia

Olemme konstruoineet operaattorin L,

joka laskee funktion Laplace-muunnoksia seuraavasti:

L(h) laskee ja tulostaa funktion h = h(x) Laplace-muunnoksen , joka on muuttujan s funktio, siis

L(h) : 

TEHTÄVÄ 7. Laske omalla funktiollamme L seuraavien funktioiden Laplace-muunnokset

ja kirjoita ne tähän kunkin käskyn perään:

> L(1);

> L(1)(s);

> L(x->x)(s);

> L(x->x^2);

> L(x->x^2)(s);

> L(2*sin+3*cos);

> L(2*sin+3*cos)(s);

> assume(a,constant); assume(s > 2):

> L(x->a+ exp(2*x));

> L(x->a+ exp(2*x))(s);

> expand(%);

TEHTÄVÄ 8. Ota selvää miten Laplace-muunnoksia lasketaan Maple V:n omilla käskyillä laplace ja laske joitakin yllä olevista!

>