MATLAB-OPAS diskreettiä matematiikkaa varten Martti E. Pesonen 2002, 2004, 2006 Joensuun yliopisto
Sisältö 1. Alkutoimet 2. Matlabin käytöstä 3. Lukumatriisien operaatioita 4. Loogiset operaatiot  5. Merkkijonoista 6. Ohjelmointia 7. Grafiikasta	Linkkejä Kuvausta kurssista Heikki Apiolan Matlab-opas WWW MATLAB Primer  (by Kermit Sigmon) http://www.mathworks.com/ http://www.mathtools.net

1. Alkutoimet

1.1. Luokat, koneet ja hakemistoasiaa

Kullakin käyttäjällä lienee palvelimella cc tai cs oma kotihakemisto X:, johon voi tallettaa pienen määrän tiedostoja.

Kotihakemistona voi olla myös levykeasema A: (tai zip-asema, ei kuitenkaan M15:ssä).
Joka tapauksessa myös käytettäessä X:-asemaa työskentelyyn pitää tiedostoista olla varalta - ja mieluiten työskentelykelpoinen - kopio levykeellä!

Kotihakemiston "juureen" tehdään kurssin tiedostoja varten seuraava hakemistorakenne:

Oma X:-asemasi tunnus voi tietenkin näyttää toisenlaiselle. Hakemistoihin lisätään tavaraa pikkuhiljaa. Aluksi niihin laitetaan vain perustyökalut kuten - hakemistoissa liikkumista helpottavat komentojonot - opastustiedostoja - funktioita erityisten satunnaismatriisien luomiseksi  - piirtofunktioita

1.2. Tiedostot alkutilanteessa

Tiedostot annetaan zipattuina, jolloin ensimmäisissä demoissa tehdään seuraavasti:
1) luodaan X:lle hakemisto diskreet
2) napataan sinne Kurssimateriaalia-sivulta kyseinen DISKREET.ZIP
3) puretaan se kyseiseen hakemistoon vaikkapa Winzip-ohjelmalla pitäen huolta, että myös alihakemistot (subfolders) tulevat mukaan. Näin hakemistorakenne tulee (toivottavasti) suoraan kuntoon!

2. Matlabin käytöstä

2.1. Yleistä

2.2. Matlabin käynnistys ja ensimaistiaiset

Matlab käynnistetään normaaliin Windows-tapaan pikakuvakkeella tai Käynnistä-valikon kautta. Matlabin käynnistyksen jälkeen olemme komentoikkunassa, (command window). jossa lukee   To get started, type one of these: helpwin, helpdesk, or demo.   For product information, type tour or visit www.mathworks.com. » Valmiusmerkin  »  perään voi alkaa kirjoittaa käskyä tai useitakin, kunhan erottaa ne pilkulla tai puolipisteellä. Matlabista poistuttaisiin komennolla quit tai exit: » exit

Tarvittaessa Matlabia voi käyttää pelkkänä laskimena, funktiolaskimena ja piirtovälineenä.
 

Esimerkki 2.2.1. Aritmetiikkaa: » 16/8 ans =      2 » 16/9 ans =     1.7778 » 2*4 + 3*(5-2)/3 ans =     11 » 3*sin(2.3*pi) ans =     2.4271

Matlab yrittää laskea kokonaisluvuilla, jos syötteet ja ovat niitä.   Kertomerkki pitää kirjoittaa. Samoin desimaalipiste. Vakio pii on pi.

Yleensä työskentelyssä kannattaa käyttää apuna muuttujia. Lisäksi kannattaa kirjoittaa kommentteja
(ainakin jälkikäteen ja tiedostoihin) helpottamaan ohjelman lukemista
 

Esimerkki 2.2.2. Käyrän piirto » x = 0:0.1:10;        % pisteikkövektori [0 0.1 0.2 etc ] » y = sin(x);          % sini kustakin » length(y)            % tulosvektorin pituus ans =    101 » plot(x,y)            % piirto (Figure-ikkunaan) » axis([0 2*pi -2 2])  % akselien automatiikan ylitys » grid                 % vielä ruudukko

Matlabin matemaattisia funktioita
   abs         absolute value or complex magnitude
   angle       phase angle
   sqrt        square root
   real        real part
   imag        imaginary part
   conj        complex conjugate
   round       round to nearest integer
   fix         round toward zero
   floor       round toward -infinity
   ceil        round toward infinity
   sign        signum function
   rem         remainder
   exp         exponential base e
   log         natural logarithm
   log10       log base 10

2.3. Erikoismerkit ja arvot

   =           assignment statement
   [           used to form vectors and matrices
   ]           see [
   (           arithmetic expression precedence
   )           see (
   .           decimal point
   ...         continue statement to next line
   ,           separate subscripts and function arguments
   ;           end rows, suppress printing
   %           comments
   :           subscripting, vector generation
   !           execute operating system command

Samoin on joitakin ennalta määrättyjä arvoja

   ans         answer when expression not assigned
   eps         floating point precision
   pi          pi
   i, j        sqrt(-1)
   inf         infinity
   NaN         Not-a-Number
   clock       wall clock
   date        date
   flops       floating point operation count
   nargin      number of function input arguments
   nargout     number of function output arguments
 

2.4. Peruskäskyjä

Kokeillaanpa näitä:
» cd X:
» cd diskreet
» pwd
ans =
X:\diskreet
» dir
.               funktiot.m      rel.m           toisto.m
..              luk.m           relaatio        verk.m
alustus.m       luveppa_tua.txt ston.m          yleista.m
diskr.m         pain.m          sttu.m
editori.m       rek.m           talletus.m

» what
M-files in the current directory X:\diskreet
alustus    funktiot   rek        sttu       verk
diskr      luk        rel        talletus   yleista
editori    pain       ston       toisto

» alustus
» path
Tämä näyttää polut, joista Matlab etsii järjestyksessä M-tiedostoa, jos se ei ole nykyisessä hakemistossa.
Nyky-Matlab antaa hyvät mahdollisuudet etsiä tietoa, jos vain käyttäjätkin kirjoittaisivat M-tiedostoihinsa
sopivasti informaatiota esim. kommenteiksi.

» lookfor satun
SATREL.M: %Satunnaisrelaatioita: function M = satrel(n, m, prosenttia);

paljastaa, että merkkijono satun esiintyy ainakin M-tiedostossa SATREL.M sen ensimmäisellä kommenttirivillä!
Mitäs antaakaan

» help satrel
 Satunnaisrelaatioita: function M = satrel(n, m, prosenttia);
  missä
  n, m    = matriisin rivien ja sarakkeiden määrät
  prosenttia = optionaalinen, jos esiintyy, tulkitaan
    ykkösten prosentuaaliseksi osuudeksi (oletusarvo 50 %)
  Muodostaa  nxm-satunnaisrelaation matriisin M.

Koeta vielä
» help diskreet

Huomautus! On syytä jo tässä korostaa, että vaikka tehty työ jääkin ikkunaan näkyviin,
on aktiivisena ainoastaan viimeisellä rivillä valmiusmerkin  » jälkeinen alue.
Tälle riville voi siirtää kopioiden ja liimaten Matlab-käskyjä, jopa useita rivejä.
Kokeillen havaitsee miten pitää toimia, tai ainakin miten ei!
 

Esimerkki 2.3.1. Käskyllä rand luodaan satunnaismatriiseja:  » M = rand(3,4)  M =     0.9501    0.4860    0.4565    0.4447     0.2311    0.8913    0.0185    0.6154     0.6068    0.7621    0.8214    0.7919

Tehtävä 2.3.1. Mitä tulostaa seuraava jono?  I = eye(4,4);  S = sum(I);  sum(S)  diag(S)

Monisteen luvussa 1.2 määritellään relaatio ja puhutaan sen matriisiesityksestä. Askartelun luistamiseksi opettelemme
"arpomaan" satunnaisia relaatioiden matriiseja (oleellisesti funktion SATREL toiminta).
Tilan säästämiseksi tässä on tyydytty pienikokoisiin matriiseihin
 

Esimerkki 2.3.2. Tässä arvotaan 0-1 matriisi,  jossa on n. 70 % ykkösiä (ja vielä lasketaan jotain).  » M = (rand(5,5) > 0.3)   M =      0     0     1     0     1      1     1     1     1     1      1     1     1     1     1      0     0     1     0     0      1     1     1     1     1  » sum(M)  ans =      3     3     5     3     4  » sum(M')  ans =      2     5     5     1     5

Tehtävä 2.3.2. Oletetaan, että Esimerkin matriisi M on  joukon X x Y relaation R matriisi. Mitä ohessa ilmaisevat arvot ans kyseisestä relaatiosta? Ensimmäinen ans:   Toinen ans:

Seuraavat kuviot on piirretty hakemiston RELAATIO ohjelmilla PIIRREL2 ja PIIRREL:
» piirrel2(M)
» piirrel(M)
 

PIIRREL2 silloin kun on eri joukot  X  ja Y	PIIRREL vain kun X = Y.

Sovitaan, että kurssilla pyritään käyttämään omille funktioille suomenkieltä muistuttavia nimiä, erotukseksi Matlabin omista englanninkieltä muistuttavista nimistä. Koska toisaalta tiedostojen nimet pyritään varovaisuussyistä pitämään enintään 8 merkin mittaisina,
johtaa kuvaavien nimien (usein yhdyssanoja) joskus aika erikoiseen ratkaisuus (SATREL).
Pyydän käyttämään luovuutta aivan omissa ratkaisuissanne, paitsi kun kun käytetään yhteisiä tiedostoja!

3. Lukumatriisien ja vektorien operaatioita

Matriisien luontiin ja tutkimiseen
size        row and column dimensions
length      vector length
diag        diagonal
eye         identity
ones        constant
zeros       zero
magic       magic square
rand        random elements
reshape     reshape
:           convert matrix to single column; A(:)

3.1. Aritmeettiset operaatiot

Matrix Operators               Array Operators
---------------------------------------------------
+    addition                  +    addition
-    subtraction               -    subtraction
*    multiplication            .*   multiplication
/    right division            ./   right division
\    left division             .\   left division
^    power                     .^   power
'    conjugate transpose       .'   transpose

Esimerkkejä
 
 

3.2. Funktioiden kohdistaminen matriiseihin

4. Loogiset operaatiot

Logiikan operaatiot
    ~    negaatio
    &    ja
    |    tai

Muuthan voidaan esittää näiden avulla. Loogiikka-arvoja 0/1 saadaan vertailuoperaatioiden tuloksena

Vertailuoperaatiot
   <           less than
   <=          less than or equal
   >           greater than
   >=          greater than or equal
   ==          equal
   ~=          not equal

Etsintää
any         logical conditions
all         logical conditions
find        find array indices of logical values
isempty     detect empty matrices
isnan       detect NaNs
finite      detect infinities

Aina ei kuitenkaan ole selvää, ovatko 0 ja 1 lukuja vai totuusarvoja.
» v = round(10*rand(1,10))
v =
     3     2     0     7     4     9     5     4     8     5
» S5 = v > 5
S5 =
     0     0     0     1     0     1     0     0     1     0
» v(S5)
ans =
     7     9     8

Mutta:
» I = [1 0 1 1 0 1 1 1 1 1]
I =
     1     0     1     1     0     1     1     1     1     1
» v(I)
??? Index into matrix is negative or zero.  See release notes on changes to
logical indices.

» L = logical(I)
L =
     1     0     1     1     0     1     1     1     1     1
» v(L)
ans =
     3     0     7     9     5     4     8     5
 

Help antaa ohjeita kuinka operaatioita tai funktiota voidaan käyttää, usein monin eri tavoin.

Esimerkki 3.1.1 » help find antaa pitkän listan käyttötapoja.  » [I,J] = find(N); » I',J' ans =      1     3     2     3     3     2     3 ans =      1     1     2     2     3     4     4

Tehtävä 3.1. Kokeile vielä mitä tekevät seuraavat kolme käskyä » ~N, N & ~N, N | ~N ja selvitä merkkien ~, &, | vaikutus Matlab-käskyinä.

5. Merkkijonoista

Merkkijonojen käsittelyä

   abs         convert string to ASCII values
   eval        evaluate text macro
   num2str     convert number to string
   int2str     convert integer to string
   setstr      set flag indicating matrix is a string
   sprintf     convert number to string
   isstr       detect string variables
   strcomp     compare string variables
   hex2num     convert hex string to number

6. Ohjelmointia

joita käyttäen on helppo muodostaa ohjelmia. Seuraava taulukko sisältää

Ohjauskäskyjä ohjelmointiin
   if          conditionally execute statements
   elseif      used with if
   else        used with if
   end         terminate bif, for, while
   for         repeat statements a number of times
   while       do while
   break       break out of for and while loops
   return      return from functions
   pause       pause until key pressed

Omia pikkuohjelmia voi tehdä myös suoraan komentoikkunassa:
 

mutta yleensä ohjelmat ja funktiot kannattaa tallettaa korjailua ja myöhempää käyttöä varten nk. M-tiedostoiksi.
Tällä kurssilla noita M-tiedostofunktioita laaditaan runsaasti, tarkoituksena rakentaa "työkalupakki" diskreetin matematiikan objektien kuten relaatioiden ja verkkojen tutkimiseksi.

4.1. M-tiedostot

Funktiot voivat kutsua toisiaan ja olla rekursiivisia, ts. kutsua itseään.
Matriisien käsittelyä varten MATLABissa on monipuolinen kokoelma
standardifunktioita, joilla käytännön laskutyö sujuu mutkattomasti.
MATLABilla työskentelevästä näyttääkin siltä, kuin
elettäisiin vektoroidussa ympäristössä.

   input       get numbers from keyboard
   keyboard    call keyboard as M-file
   error       display error message
   function    define function
   eval        interpret text in variables
   feval       evaluate function given by string
   echo        enable command echoing
   exist       check if variables exist
   casesen     set case sensitivity
   global      define global variables
   startup     startup M-file
   getenv      get environment string
   menu        select item from menu
   etime       elapsed time
 

Kunkin ohjelman kommenttiriveiltä, jotka alkavat %-merkillä, selviävät funktion suorittama tehtävä, tarvittavat syöttötiedot ja funktion mahdollisesti palauttamien olioiden merkitys. Lisäksi on lueteltu ohjelman käyttämät omat alifunktiot.
Funktion pääasiallinen INPUT on matriisi; lisäksi voi olla muita parametreja, joista osa on optionaalisia.
Matlabissa siirrytään hakemistoon DISKREET, jossa ajetaan komentojono ALUSTUS
>> alustus
joka lataa tarvittavat polkumääritykset.
Varsinaisia diskreetin matematiikan funktioita käytetään siinä hakemistossa, jossa ne sijaitsevat.
Hakemistoissa liikutaan lyhenteillä

diskr rel verk sttu ston pain luk rek

DISKREET-hakemistossa on erityisohjeita MATLABin käyttöä varten, mm. vain kommenttirivejä sisältävät funktiot

yleista editori funktiot toisto ja talletus

Funktion kommenttirivit saa MATLABista käsin näkyviin käskyllä help funktio

>> help yleista (enter)

>> help piirrel (enter)

Lisäksi kannattaa käyttää käskyjä dir, type, who, what, joilla saa
hakemiston listauksen, tiedoston listauksen,
käytössä olevien muuttujien ja funktioiden listan.
Huomaa, että isot ja pienet kirjaimet ovat MATLAB-komentoina eri asia!
 

7. Grafiikasta

   plot        linear X-Y plot
   loglog      loglog X-Y plot
   semilogx    semi-log X-Y plot
   semilogy    semi-log X-Y plot
   polar       polar plot
   mesh        3-dimensional mesh surface
   contour     contour plot
   meshdom     domain for mesh plots
   bar         bar charts
   stairs      stairstep graph
   errorbar    add error bars
 

Graph Annotation

   title       plot title
   xlabel      x-axis label
   ylabel      y-axis label
   grid        draw grid lines
   text        arbitrarily position text
   gtext       mouse-positioned text
   ginput      graphics input
 

Graph Window Control

   axis        manual axis scaling
   hold        hold plot on screen
   shg         show graph window
   clg         clear graph window
   subplot     split graph window