2  Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla. Esimerkiksi

y = 1
x
esittää tasasivuista hyperbeliä, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselit. Jos käyrän yhtälöön sijoitetaan
x = 1
2
 (z+
z
 
 ),        y = 1
2i
 (z-
z
 
 ),
saadaan yhtälö kompleksimuotoon, ts. muotoon
F(z,
z
 
 ) = 0.
Esimerkki.
y = 1
x
1
2i
 (z-
z
 
 ) = 1
1
2
 (z+
z
 
 )
1
4i
 (z-
z
 
 )(z+
z
 
 ) = 1
z2-
z
 
 2
 
 +z
z
 
 -z
z
 
 -4i = 0
z2-
z
 
 2
 
 -4i = 0.
Kokeilu:
z
=
(1,1) = 1+i
z
 
=
1-i
z2-
z
 
 2
 
 -4i
=
1-1+2i-(1-1-2i)-4i = 0.
Analyyttinen geometria kompleksilukumerkinnöin näyttäisi olevan hyvin kätevä ratkaisu.

Kuva 16: Tasasivuinen hyperbeli

Jos kääntäen on annettu muotoa F(z,[`(z)]) = 0 oleva yhtälö, niin se hajoaa kahdeksi yhtälöksi:

F(z,
z
 
 ) = 0 Û ì
ï
ï
í
ï
ï
î
Re F(z,
z
 
 ) = 0
Im F(z,
z
 
 ) = 0
Kun näihin vielä sijoitetaan z = x+iy ja [`(z)] = x-iy, saadaan kaksi reaalista kahden tuntemattoman yhtälöä. Jotta yhtälö F(z,[`(z)]) = 0 esittäisi tasokäyrää, on näiden kahden yhtälön esitettävä samaa käyrää tai toisen yhtälön on oltava identtisesti voimassa.

Esimerkki.
Hajotetaan z2-[`(z)]2-4i = 0 reaali- ja imaginaariosiin.

Re (z2-
z
 
 2
 
 -4i)
=
Re (z2-
z
 
 2
 
 = Re [(z-
z
 
 )(z+
z
 
 )]
=
Re (2iy2x) = 0        kaikille z = x+iy
Im (z2-
z
 
 2
 
 -4i)
=
Im (z2-
z
 
 2
 
 )-4i = Im (4ixy)-4i = 4ixy-4i = 0
Û
xy = 1 Û y = 1
x
 .

2.1  Suoran yhtälö.

Tavallisessa muodossa suoran yhtälö on
Ax+By+C = 0;  A,B,C Î R,  A2+B2 > 0.
Sijoitetaan x = 1/2(z+[`(z)]),  y = [1/(2i)](z-[`(z)]):
A
2
 (z+
z
 
 )+ B
2i
 (z-
z
 
 )+C = 0
,
A(z+
z
 
 )-iB(z-
z
 
 )+2C = 0
,
(A-iB)z+(A+iB)
z
 
 +2C = 0.
Merkitään A+iB = a ja 2C = b. Silloin yhtälö tulee muotoon
a
 
 z+a
z
 
 +b = 0;  a ¹ 0,  b Î R
(4)
Suoran yhtälö on siis aina tyyppiä (4).

Tarkastellaan kääntäen yhtälöä

az+ b
z
 
 + g = 0
ja oletetaan, että a = [`(b)] ¹ 0 ja g Î R. Silloin
0
=
az+ b
z
 
 + g =
b
 
 z+ b
z
 
 + g
=
2 Re 
b
 
 z+ g.
Olkoon b = A+iB ja 1/2g = C. Silloin yhtälö tulee muotoon
0
=
Re 
b
 
 z+ 1
2
 g = Re ( (A-iB)(x+iy) )+C
=
Ax+By+C.
Kaikki muotoa (4) olevat yhtälöt esittävät siis suoraa.

Mitä sitten esittää yhtälö

az+b
z
 
 + g = 0,
(5)
jos kertoimet a,b ja g eivät toteuta ehtoja a = [`(b)] ja g Î R? Olkoot siis a,b,g Î C, |a|+|b| > 0. (Jos a = b = 0, yhtälö surkastuu.) Tässä on ehkä parasta sijoittaa
a
=
a1+ia2,
b
=
b1+ib2,
g
=
c1+ic2,
z
=
x+iy,
z
 
=
x-iy.
Yhtälö tulee muotoon
0
=
(a1+ia2)(x+iy)+( b1+ib2)(x-iy)+c 1+ic2
=
a1x-a2y+b 1x+b2y+c1+ i(a2x+a1y+b 2x-b1y+c2)
=
(a1+b1)x-(a2- b2)y+c1+i((a 2+b2)x+(a1-b 1)y+c2 )
Û
ì
í
î
(a1+b1)x-(a2- b2)y+c1 = 0
(a2+b2)x+(a1- b1)y+c2 = 0
(6)
Yhtälö hajoaa siis kahden suoran yhtälöksi.
1) Toinen yhtälö toteutuu identtisesti
a) c2 = (a1-b1) = (a2+b2) = 0 eli g Î R ja a = [`(b)]. Tämä tapaus oli edellä esillä ja yhtälö 5 esittää yhtä suoraa.
b) c1 = (a2-b2) = a1+b1 = 0
Yhtälö 5 esittää yhtä suoraa (alempi yhtälö). Itse asiassa tämä tilanne palautuu edelliseen korvaamalla (5) yhtälöllä
iaz+ib
z
 
 +ig = 0,
sillä
ig
=
-c2+ic1
ib
=
-b2+ib1
ia
=
-a2+ia1.
2) Yhtälöt (6) esittävät kahta toisiaan leikkaavaa suoraa, jolloin (5) esittää yhtä pistettä.
3) Suorat (6) ovat yhdensuuntaisia jos ja vain jos
0
=
ê
ê
ê
a1+b1
-a2+b2
a2+b2
a1-b1
ê
ê
ê
a12+a22
=
b12+b22
|a|
=
|b|
Jos suorat (6) eivät ole samoja, (5) ei esitä mitään.
4) Suorat (6) ovat samoja.
a) c1 = c2 = 0 ja |a| = |b|
Yhtälö (5) esittää origon kautta kulkevaa suoraa aina.
b) c1 ¹ 0,     c2 ¹ 0 ja |a| = |b|. Yhtälö 5 esittää suoraa, kun
a1+b1
a2+b2
 = -a2+b2
a1-b1
 = c1
c2
 .

Suoran esittäminen parametrimuodossa.

Kuva 17: Pisteiden z1, z2 ja z3 kautta kulkeva suora

Pisteiden z1 ja z2 kautta kulkevan suoran yhtälö voidaan esittää muodossa

z = z1+t(z2-z1),     t Î R.
Kun t = 0 saadaan z = z1 ja kun t = 1 saadaan z = z2. Kun 0 < t < 1, on z pisteiden z1 ja z2 välissä.
Eliminoidaan parametri t seuraavasti:
z-z1
=
t(z2-z1),
z
 
 -
z1
 
=
t(
z2
 
 -
z1
 
 ),
joten
z-z1
z
 
 -
z1
 
= z2-z1
z2
 
 -
z1
 
,
mikä on eräs tapa muodostaa pisteiden z1 ja z2 kautta kulkevan suoran yhtälö. Tämä on yhtäpitävä muodon
arg z-z1
z
 
 -
z1
 
=
arg z2-z1
z2
 
 -
z1
 
+n2p,
arg(z-z1) - arg(
z
 
 -
z1
 
 )
=
arg(z2-z1)-arg(
z2
 
 -
z1
 
 )+n2p
2arg(z-z1)
=
2arg(z2-z1)+n2p
arg(z-z1) = arg(z2-z1) + np
kanssa. Itse asiassa tämä on geometrisesti luontevin tapa ilmoittaa pisteiden z1 ja z2 kautta kulkevan suoran yhtälö. Kompleksimerkintä antaa siis hyvin erilaisia mahdollisuuksia käsitellä analyyttistä geometriaa.

2.2  Ympyrän yhtälö.

Kuva 18: a-keskinen r-säteinen ympyrä

Jos ympyrän K = K(a,r) keskipiste on a ja säde r > 0, sen yhtälö voidaan esittää muodossa

|z-a| = r
eli
|z-a|2 = r2
eli
(z-a)(
z
 
 -
a
 
 ) = z
z
 
 -
a
 
 z-a
z
 
 +|a|2 = r2
eli
z
z
 
 +az+b
z
 
 +g = 0,
(7)
missä a = [`(b)] jag Î R, g = |a|2-r2,   r2 = |a|2-g > 0 eli g < a[`(a)] = ab. Tämä poikkeaa suoran yhtälöstä ainoastaan termillä z[`(z)].

Kääntäen, jos on annettu a = a-ib, b = a+ib ja g Î R, voidaan (7) kirjoittaa muotoon
x2+y2+(a-ib)(x+ iy)+(a+ib)(x-iy)+g
=
x2+y2+2(ax+by)+g = 0
Û
(x+a)2+(y+b)2 = a2+b2-g
Tämä on ympyrä, jos r2 = a2+b2-g > 0. Keskipiste on tällöin (-a,-b).

Yhtälö z[`(z)]+az+ b[`(z)]+g = 0 esittää ympyrää, jos ja vain jos a = [`(b)] ja g Î R, g < ab.

2.3  Esimerkkejä.

1. Millä ehdolla kolme eri pistettä z1, z2, z3 ovat samalla suoralla? Mitä suoran esitystapaa kannattaa käyttää?

Eräs järkevä ehto saadaan lähtemällä pisteiden z1 ja z2 kautta kulkevan suoran parametriesityksestä

z = z1+t(z2-z1),     t Î R
Piste z3 on tällä suoralla, jos ja vain jos jollekin t Î R on voimassa
z3 = z1+t(z2-z1)
Û
z3-z1 = t(z2-z1)
Û
z3-z1
z2-z1
 = t.
Ehto on siis: osamäärä [(z3-z1)/(z2- z1)] on reaalinen. Toisin sanoen
arg z3-z1
z2-z1
=
np
arg(z3-z1)
=
arg(z2-z1)+np.

Esim. Ovatko pisteet 1+i, 2+3i, 3+5i samalla suoralla?

Kuva 19: Pisteet 1+i, 2+3i ja 3+5i

Ratk. z1 = 1+i, z2 = 2+3i, z3 = 3+5i.

z3-z1
z2-z1
=
3+5i-1-i
2+3i-1-i
 = 2+4i
1+2i
=
(2+4i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
 = 2+8-4i+4i
5
=
2 Î R.
Siis pisteet ovat samalla suoralla.

2. Mikä on sen ympyrän yhtälö, joka kulkee origon kautta ja jonka keskipiste on 1+i?

Kuva 20: Piste z = 1+i

Ympyrän yhtälön eräs muoto:

|z-1-i| = Ö2
Tätä voidaan muokata:
2 = |z-1-i|2 = (z-1-i)(
z
 
 -1+i) = z
z
 
 +(-1+i)z+(-1-i)
z
 
 +2.
Yhtälö tulee muotoon
z
z
 
 +(-1+i)z+(-1-i)
z
 
 = 0.
Tässä
a
=
-1+i,
b
=
-1-i,
g
=
0,
joten a = [`(b)] ja g < ab = 2.

3. Suora pisteiden 1+i ja -1+2i kautta.

z
=
1+i+t(-1+2i-1-i)
=
1+i+t(-2+i)
=
1-2t+i(1+t).
Eliminoidaan t:
ì
ï
í
ï
î
z-1-i = t(-2+i)
z
 
 -1+i = t(-2-i)
z-1-i
z
 
 -1+i
=
-2+i
-2-i
(-2-i)z+2+2i+i-1
=
(-2+i)
z
 
 +2-2i-i-1
(-2-i)z+(2-i)
z
 
 +6i
=
0.
Tämä on tyyppiä 1)b). Kerrotaan yhtälö i:llä:
(1-2i)z+(1-2i)
z
 
 -6 = 0.
Tämä on yhtälön perusmuoto.

4. Olkoon z suoran

(1+i)z+(1-i)
z
 
 +1 = 0
piste. Millä suoralla ovat pisteet z+i?
Merkitään w = z+i. Silloin z = w-i, joten
0
=
(1+i)(w-i)+(1-i)(
w
 
 +i)+1
=
(1+i)w+(1-i)
w
 
 +1-i+1+i+1
=
(1+i)w+(1-i)
w
 
 +3.

5. Oletetaan, että pisteet z1, z2, z3, z4 eivät ole samalla suoralla ja toteuttavat ehdon

z1-z3
z1-z4
 : z2-z3
z2-z4
 Î R.
On osoitettava, että pisteet ovat samalla ympyrän kaarella.
Koulugeometria: Niiden pisteiden ura, joista annettu jana näkyy annetun kulman suuruisessa kulmassa, on janan päätepisteiden kautta kulkeva ympyräkaari.

Kuva 21: Koulugeometriaa

Kuva 22: Kolmioiden kulmat

Kolmiossa kahden kulman summa on yhtä suuri kuin kolmannen vieruskulma. Selvyyden vuoksi voidaan essin ajatella, että z3 ja z4 ovat reaaliakselilla (Kuva 21). Silloin b = arg(z-z3)-arg(z-z4) = arg[(z-z3)/(z-z4)].
z1-z3
z1-z4
 : z2-z3
z2-z4
 Î R
Û
arg é
ê
ë		 z1-z3
z1-z4
 : z2-z3
z2-z4
 ù
ú
û		 = np,  n = 0,±1,±2,¼
Û
arg z1-z3
z1-z4
 = arg z2-z3
z2-z4
 +np
Û
z1 ja z2   ympyrällä, josta jana z3z4 näkyy vakiokulmassa.