LineaarialgebraLineaariavaruuden aksioomien havainnollistusta tasossaTehtävänä on kuvata lineaariavaruuden aksiooman (iii) ominaisuuksien A1-A8 geometristä merkitystä tasovektorien tavallisten vektori-vektori- ja skalaari-vektori-operaatioiden tapauksessa.Tehtävä jakaantuu neljään Tauluun: A1-A2, A3-A4, A5-A6 ja A7-A8. |
TAULU 1, laskusäännöt A1 (vaihdannaisuus) ja A2 (liitännäisyys)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A1 ja A2. Siinä+ on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku. |
|
Taulun 1 käyttöohjeetVoit liikutella Taulun pisteitä u, v ja w.A1 Vaihdannaisuus: u + v = v + uVaihdannaisuuden merkitys pitäisi näkyä verrattaessa Taulun nappuloiden "u + v" ja "v + u" tuottamia kuvioita.A2 Liitännäisyys: (u + v) + w = u + (v + w)Liitännäisyyttä voi myös tutkia nappuloiden avulla. Huomaa, että reitit tulosvektorin kärkeen ovat erilaiset jokaisessa kolmessa tapauksessa. Mitä muita reittejä voi käyttää? Siinä voivat olla avuksi kohdan A1 nappulat! |
TAULU 2, vaatimukset A3 (neutraalialkion olemassaolo) ja A4 (vasta-alkioiden olemassaolo)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A3 ja A4. Siinä Siinä+ on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku. |
|
Taulun 2 käyttöohjeetVoit liikutella Taulun pisteitä u ja e.A3 Neutraalialkion e olemassaolo ja merkitysOltava u + e = e + u = u kaikilla u.Illustrointi perustuu yhtälön ratkaisumahdollisuuteen. Siirrä e kohtaan, jossa yhtälö u + e = u toteutuu, olet löytänyt neutraalialkion eli nollavektorin. Samalla löydät myös vektorin u vasta-alkion! A4 Vasta-alkioiden olemassaolo ja merkitysKullakin alkiolla u "kaveri" -u, joille u + (-u) = e.Ks. A3. |
TAULU 3, laskusäännöt A5-A6 (sekaosittelulait)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A5-A6. Siinä siis
+ on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku,
|
|
Taulun 3 käyttöohjeetVoit liikutella Taulussa tason pisteitä u, v ja reaaliakselin pisteitä c ja d. Muista käyttää Hide-nappuloita, jottei kuviosta tule liian sekava!A5 sekaosittelulaki I: c*(u + v) = c*u + c*vA6 sekaosittelulaki II: (c+d)*u = c*u + d*u |
TAULU 4, laskusäännöt A7-A8 (kertolaskujen synkkaus)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A7-A8. Siinä siis* on tavallinen skalaarilla kertominen. |
|
Taulun 4 käyttöohjeetVoit liikutella Taulussa tason pistettä u ja reaaliakselin pisteitä c ja d. Voit käyttää Hide-nappuloita, jottei kuviosta tule liian sekava!A7 sekaliitäntälaki: c*(d*u) = (cd)*uA8 skaalauksen normitus: 1*u = uNappulan "c*u" avulla. |