Lineaarialgebra

Lineaariavaruuden aksioomien havainnollistusta tasossa

Tehtävänä on kuvata lineaariavaruuden aksiooman (iii) ominaisuuksien A1-A8 geometristä merkitystä tasovektorien tavallisten vektori-vektori- ja skalaari-vektori-operaatioiden tapauksessa.

Tehtävä jakaantuu neljään Tauluun: A1-A2, A3-A4, A5-A6 ja A7-A8.


TAULU 1, laskusäännöt A1 (vaihdannaisuus) ja A2 (liitännäisyys)

Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A1 ja A2. Siinä

+ on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku.


Taulun 1 käyttöohjeet

Voit liikutella Taulun pisteitä u, v ja w.

A1 Vaihdannaisuus: u + v = v + u

Vaihdannaisuuden merkitys pitäisi näkyä verrattaessa Taulun nappuloiden "u + v" ja "v + u" tuottamia kuvioita.

A2 Liitännäisyys: (u + v) + w = u + (v + w)

Liitännäisyyttä voi myös tutkia nappuloiden avulla. Huomaa, että reitit tulosvektorin kärkeen ovat erilaiset jokaisessa kolmessa tapauksessa. Mitä muita reittejä voi käyttää? Siinä voivat olla avuksi kohdan A1 nappulat!

TAULU 2, vaatimukset A3 (neutraalialkion olemassaolo) ja A4 (vasta-alkioiden olemassaolo)

Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A3 ja A4. Siinä Siinä

+ on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku.


Taulun 2 käyttöohjeet

Voit liikutella Taulun pisteitä u ja e.

A3 Neutraalialkion e olemassaolo ja merkitys

Oltava u + e = e + u = u kaikilla u.

Illustrointi perustuu yhtälön ratkaisumahdollisuuteen. Siirrä e kohtaan, jossa yhtälö u + e = u toteutuu, olet löytänyt neutraalialkion eli nollavektorin. Samalla löydät myös vektorin u vasta-alkion!

A4 Vasta-alkioiden olemassaolo ja merkitys

Kullakin alkiolla u "kaveri" -u, joille u + (-u) = e.

Ks. A3.


TAULU 3, laskusäännöt A5-A6 (sekaosittelulait)

Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A5-A6. Siinä siis

+ on tasovektorien u ja v tavallinen yhteenlasku,
* on tavallinen skalaarilla kertominen.


Taulun 3 käyttöohjeet

Voit liikutella Taulussa tason pisteitä u, v ja reaaliakselin pisteitä c ja d. Muista käyttää Hide-nappuloita, jottei kuviosta tule liian sekava!

A5 sekaosittelulaki I: c*(u + v) = c*u + c*v

A6 sekaosittelulaki II: (c+d)*u = c*u + d*u


TAULU 4, laskusäännöt A7-A8 (kertolaskujen synkkaus)

Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A7-A8. Siinä siis

* on tavallinen skalaarilla kertominen.


Taulun 4 käyttöohjeet

Voit liikutella Taulussa tason pistettä u ja reaaliakselin pisteitä c ja d. Voit käyttää Hide-nappuloita, jottei kuviosta tule liian sekava!

A7 sekaliitäntälaki: c*(d*u) = (cd)*u

A8 skaalauksen normitus: 1*u = u

Nappulan "c*u" avulla.

Martti Pesonen 2003, 2018
martti.pesonen(cattail)uef.fi