LineaarialgebraLineaariavaruuden aksioomien havainnollistusta tasossaTehtävänä on kuvata lineaariavaruuden aksiooman (iii) ominaisuuksien A1-A8 geometristä merkitystä tasovektorien tavallisten vektori-vektori- ja skalaari-vektori-operaatioiden tapauksessa.Tehtävä jakaantuu neljään Tauluun: A1-A2, A3-A4, A5-A6 ja A7-A8. |
TAULU 1, laskusäännöt A1 (vaihdannaisuus) ja A2 (liitännäisyys)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A1 ja A2. Siinä+ on tasovektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) tavallinen yhteenlasku. |
|
|
Taulun 1 käyttöohjeetVoit liikutella Taulun pisteitä \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \) ja \( \mathbf{w} \).A1 Vaihdannaisuus: \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)Vaihdannaisuuden merkitys pitäisi näkyä verrattaessa Taulun nappuloiden '\( \mathbf{u} + \mathbf{v} \)' ja '\( \mathbf{v} + \mathbf{u} \)' tuottamia kuvioita.A2 Liitännäisyys: \( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \)Liitännäisyyttä voi myös tutkia nappuloiden avulla. Huomaa, että reitit tulosvektorin kärkeen ovat erilaiset jokaisessa kolmessa tapauksessa. Mitä muita reittejä voi käyttää? Siinä voivat olla avuksi kuvion nappulat! |
TAULU 2, vaatimukset A3 (neutraalialkion olemassaolo) ja A4 (vasta-alkioiden olemassaolo)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A3 ja A4. Siinä Siinä\( + \) on tasovektorien \( (\mathbf{u} \) ja \( (\mathbf{v} \) tavallinen yhteenlasku. |
|
|
Taulun 2 käyttöohjeetVoit liikutella Taulun pisteitä \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{e} \) (samoin vihreää apupistettä, jos tarvis on).A3 Neutraalialkion \( \mathbf{e} \) olemassaolo ja merkitysJotta joukossa \( A \) on neutraalialkio \( \mathbf{e} \) tietyn operaation \( \oplus \) suhteen on oltava \[ \mathbf{u} \oplus \mathbf{e} = \mathbf{u} \quad \text{ja} \quad \mathbf{e} \oplus \mathbf{u} = \mathbf{u} \] kaikilla \( \mathbf{u} \in A \).Illustrointi perustuu yhtälön ratkaisumahdollisuuteen. Siirrä \( \mathbf{e} \) kohtaan, jossa yhtälöt \( \mathbf{u} \oplus \mathbf{e} = \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{e} \oplus \mathbf{u} = \mathbf{u} \) toteutuvat millä tahansa vektorin (pisteen) \( \mathbf{u} \) valinnalla, ja olet löytänyt neutraalialkion eli nollavektorin. Tässä löydät samalla myös vektorin \( \mathbf{u} \) vasta-alkion \( {\ominus}\mathbf{u} \) ! A4 Vasta-alkioiden olemassaolo ja merkitysKullakin alkiolla \( \mathbf{u} \) on "kaveri" nimeltä vasta-alkio \( {\ominus}\mathbf{u} \), joille \[ \mathbf{u} \oplus ({\ominus}\mathbf{u}) = \mathbf{e} \quad \text{ja} \quad ({\ominus}\mathbf{u}) \oplus \mathbf{u} = \mathbf{e}. \] |
TAULU 3, laskusäännöt A5-A6 (sekaosittelulait)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A5-A6. Siinä siis
+ on tasovektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) tavallinen yhteenlasku,
|
|
|
Taulun 3 käyttöohjeetVoit liikutella Taulussa tason pisteitä \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) ja reaaliakselin pisteitä \( c \) ja \( d \). Muista käyttää Hide-nappuloita, jottei kuviosta tule liian sekava!A5 sekaosittelulaki I: \( c{\odot}(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) = (c{\odot}\mathbf{u}) \oplus (c{\odot}\mathbf{v}) \)A6 sekaosittelulaki II: \( (c+d){\odot}\mathbf{u} = (c{\odot}\mathbf{u}) \oplus (d{\odot}\mathbf{u}) \) |
TAULU 4, laskusäännöt A7-A8 (kertolaskujen synkkaus)Seuraavassa tasogeometrisessa kuviossa (dynaamisessa taulussa) pyritään havainnollistamaan euklidisen tason lineaariavaruuden aksiooman (iii) kohtia A7-A8. Siinä siis\( \cdot \) on tavallinen skalaarilla kertominen. |
|
|
Taulun 4 käyttöohjeetVoit liikutella Taulussa tason pistettä \( \mathbf{u} \) ja reaaliakselin pisteitä \( c \) ja \( d \). Voit käyttää Hide-nappuloita, jottei kuviosta tule liian sekava!A7 sekaliitäntälaki: \( c {\odot} (d {\odot} \mathbf{u}) = (cd) {\odot} \mathbf{u} \)A8 skaalauksen normitus: \( 1 {\odot} \mathbf{u} = \mathbf{u} \)Nappulan "\( c {\odot} \mathbf{u} \)" avulla. |