Lineaarialgebra Operaatiot rajoitettuina tason suorille

1. Operaatiot tason suoralla \( U \)

Oheisessa dynaamisessa kuviossa voi liikutella hiirellä pisteitä (origosta alkavia vektoreita) \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) sekä skalaaria \( c \). Myös animointinappulat saavat aikaan liikettä.

Kyseessä ovat operaatiot joukossa \( U := \left\{\,\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \ \biggm| \ x_1 + x_2 = 2\, \right\}, \) ja ne ovat \[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\end{pmatrix} := \begin{pmatrix} x_1 + y_1 - 1 \\ x_2 + y_2 - 1\end{pmatrix}, \qquad \alpha {\odot} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} := \begin{pmatrix} \alpha x_1 + 1 - \alpha \\ \alpha x_2 + 1 - \alpha\end{pmatrix}. \]

2. Operaatiot toimivat myös muilla suorilla, kun neutraalialkio \( \mathbf{e} = \mathbf{a} \)

Oheisessa dynaamisessa kuviossa voi liikutella hiirellä pisteitä (origosta alkavia vektoreita) \( \mathbf{x} \) ja \( \mathbf{y} \) sekä skalaaria \( c \).
Myös animointinappulat saavat aikaan liikettä.
Tässä näet myös \( a \)-keskisen ympyrän ja sillä olevan pisteen \( P \). Voit pyöritellä pisteen avulla suoraa \( U \), ja neutraalialkiona toimivalla pisteellä \( a \) voit siirrellä tilannetta tasossa. Huomaat, että suorat toimivat lineaariavaruutena missä päin hyvänsä!

Kysymys. Mutta kuinka edellä olevia operaatioita pitää muuntaa saadaksemme tämän tilanteen?