LineaarialgebraPNS-ratkaisu: 2D-3D -visualisointi |
Tarkastellaan matriisiyhtälöä \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \), missä \( A \) on \(3 \times 2\)-matriisi, ja siten yhtälöllä ei tavallisesti ole oikeaa ratkaisua.
Nimittäin: kun ajatellaan tilannetta lineaarisena funktiona \( \mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x} \), niin koska kuva-avaruus on (enintään)
2-ulotteinen maaliavaruuden \( \mathbb{R}^3 \) aliavaruus, ei kaikkia avaruusvektoreita \( \mathbf{b} \) voida mitenkään kuvauksella saavuttaa.
Kuviossa on vasemmalla puolella lähtöavaruus \( \mathbb{R}^2 \) ja oikealla maaliavaruus \( \mathbb{R}^3 \), jossa kuvajoukkotasosta näkyy eräs origokeskinen osa.
Vasemman kuvion muuttujaa \( \mathbf{x} \) voi muutella hiirellä vetäen suoraan \( x_1 x_2 \)-tasossa ja matriisia \( A \) kuvion alareunassa suorilla olevien pisteiden avulla (Change A).
Avaruusvektoria \( \mathbf{b} \) voit muuttaa tarttumalla sen koordinaatteihin \( b_1 \), \( b_2 \) ja \( b_3 \).
|
|
Painonappuloiden avulla voi tuoda esiin ja piilottaa eräitä PNS-menetelmään liittyviä asioita.
Vektoria \( \mathbf{b}' = A\mathbf{x} \) voidaan havainnollistaa kahdessa ominaisuudessa: toisaalta kuva-avaruustasossa ja toisaalta maaliavaruuden vektorina (nappulat ylärivissä).
|
Tehtävä. Päivitä kuvio alkutilaansa, paina nappulalla esille \( \mathbf{b}' = A\mathbf{x} \) ja etsi PNS-ratkaisu vetelemällä lähtöpuolen vektoria \( \mathbf{x} \).
Tarkasta painamalla esille oikea arvo LSQR \( \hat{\mathbf{x}} \).