Lineaarialgebra

Pienimmän neliösumman ratkaisu yhtälöryhmille

Tällä dynaamisella työarkilla voit tutustua ylimäärättyjen kahden tuntemattoman lineaaristen yhtälöryhmien pienimmän neliösumman ratkaisuihin. Näemme konkreettisesti, kuinka PNS-ratkaisu riippuu yhtälöiden ja niitä vastaavien suorien esityksistä!

Aluksi katsotaan tilannetta graafiselta kannalta. Seuraavissa kahdessa dynaamisessa kuviossa on kolmen ja neljän yhtälön \[ a_{i1}x + a_{i2}y = b_i \] määräämien suorien kuvaajat ja vastaavaan yhtälöryhmään \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \) liittyvä PNS-ratkaisu \( \hat{\mathbf{x}} = \widehat{(x, y)} \).

1. Kolmen ylimäärätyn yhtälöryhmän PNS-ratkaisuista

Voit tehdä suorille yhdensuuntaissiirtoja tarttumalla hiirellä pisteisiin \( P_1 \), \( Q_1 \) ja \( R_1 \). Edelleen, suoria voit pyöritellä pisteiden \( P_2 \), \( Q_2 \) ja \( R_2 \) avulla.
Voit myös kertoa (skaalata) yhtälöitä luvuilla \( a \), \( b \) ja \( c \).

2. Neljän ylimäärätyn \( 4 \times 2 \)-yhtälöryhmän PNS-ratkaisuista

Voit tehdä suorille yhdensuuntaissiirtoja tarttumalla hiirellä pisteisiin \( P_1 \), \( Q_1 \), \( R_1 \) ja \( S_1 \).
Edelleen, suoria voit pyöritellä pisteiden \( P_2 \), \( Q_2 \), \( R_2 \) ja \( S_2 \) avulla ja skaalata yhtälöitä.

Millaiset esitykset sitten tulisi suorille valita, jotta saataisiin yksikäsitteisyys jollain järkevällä tavalla? Tätä selvitellään dokumentissa Tason suorat ja PNS - yksikäsitteisyysongelma.


Martti E. Pesonen 2003, 29.11.2019 (+ Henri Tanskanen)