Esimerkki 1. Onko reaalilukujen skaalaus reaaliluvuilla?

Kaikilla \( c \) ja \( x \) tulos \( c {\odot}x \) on täysin määrätty luku, joten kyseessä on funktio \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \); siis reaalivektorien (-lukujen) skaalaus joukon reaaliskalaareilla.

Esimerkki 2. Onko reaalilukujen skaalaus reaaliluvuilla?

Kaikilla \( c \) ja \( x \) tulos \( c {\odot}x \) on täysin määrätty luku, joten kyseessä on funktio \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \); siis reaalivektorien (-lukujen) skaalaus joukon reaaliskalaareilla.

Huomaa funktion epäjatkuvuus (hyppy), ja se ettei arvo riipu lainkaan skaalaavasta muuttujasta!

Esimerkki 3. Onko kyseessä suljetun välin \( [a,b] \) alkioiden skaalaus reaaliluvuilla?

Tässäkin vektorit ja skalaarit on esitetty samalla suoralla \( \mathbb{R} \), mutta on olennaista tutkia tilanteita, joissa \( x \) on välillä \( [a,b] \) ja \( c \) mikä hyvänsä.

Kaikilla \( c \) ja \( x \) tulos \( c {\odot}x \) on täysin määrätty luku, mutta se ei kaikilla välin \( [a,b] \) arvoilla \( x \) kuulukaan välille \( [a,b] \), joten kyseessä ei ole funktio \( \mathbb{R} \times [a,b] \to [a,b] \); siis ei ole skaalausfunktio.

Esimerkki 4. Onko kyseessä suljetun välin \( [a,b] \) alkioiden skaalaus saman joukon alkioilla?

Kaikilla \( c \) ja \( x \) tulos \( c {\odot}x \) on täysin määrätty luku, ja kaikilla välin \( [a,b] \) arvoilla \( x \) tuloskin kuuluu välille \( [a,b] \), joten kyseessä on funktio \( \mathbb{R} \times [a,b] \to [a,b] \). Se on siis välin \( [a,b] \) lukujen skaalaus samalle välille, ja siten se on on skaalausfunktio.

Esimerkki 5. Onko reaalilukujen skaalaus reaaliluvuilla?

Kaikilla luvuilla \( c \) ja \( x \) tulos \( c {\odot}x \) on täysin määrätty luku, joten kyseessä on funktio \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \). Se on siis reaalivektorien (-lukujen) skaalaus reaaliluvuilla, ja on on skaalausfunktio (tavallinen kertolasku!).

Esimerkki 6. Onko reaalilukujen skaalaus sopivalla lukujoukolla?

Tulos \( c {\odot}x \) on määritelty vain arvoilla \( c = -1, 0 \text{ ja } 1 \). Kun valitaan kerroinjoukoksi \( \mathcal{K} = \{-1, 0, 1 \} \), saadaan funktio \( \mathcal{K} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \); siis reaalivektorien (-lukujen) skaalaus joukon \( \mathcal{K} \) alkioilla.