Lineaarialgebra

Lineaarialgebra: Suora vektorimuodossa

Tämän lyhyen dokumentin tarkoitus on kuvata suoria vektorimuodossa r(t) = a + s u, s reaaliluku, missä a on vakiopaikkavektori, jonka kärki on kyseisellä suoralla, ja u on suuntavektori.

Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) punaisia tai muita peruspisteitä, joiden varaan kuvio rakentuu. Nämä kuvaavat tavallisesti tason pisteitä (esim. a) tai suoralla olevia reaalilukuja (esim. s).

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (Reset).

Tapaus 1: Suora vakiopaikkavektorin ja suuntavektorin avulla

Punainen piste a ja sininen piste u vastaavat origosta lähteviä tasovektoreita kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Alaosan lukusuoran punainen piste s taas vastaa kerroinskalaaria. Tässä ensimmäisessä kuviossa voit katsoa liikuttelemalla hiirellä em. pisteitä, mitä suoran vektoriesitys tarkoittaa.
This page requires a Java capable browser.

Ensinnäkin, vakiopaikkavektorin kärki eli piste a määrää yhden pisteen suoralta, sitä voidaan sanoa vaikka vakiopaikkavektoriksi.

Vektori u määrää suoran suunnan, se on suoran suuntavektori.

Reaalikerroin s skaalaa suuntavektoria, siitä roolinimi skalaari (erotuksena vektoreista).
Kerrointa sanotaan toisaalta parametriksi, koska se antaa suoralle parametriesityksen tason ulkopuolisen reaaliapumuuttujan avulla. Tutustumistehtäviä
a) Muuta vakiopaikkavektori a sellaiseksi, että suora kulkee origon kautta. Onko ratkaisuja vain yksi?
b) Jätä vakiopaikkavektori selvästi origon ulkopuolelle. Muuta suuntavektoria niin, että suora kulkee origon kautta. Miten voit sanoa vakiopaikka- ja suuntavektoreista?
b) Jätä vakiopaikkavektori selvästi origon ulkopuolelle. Muuta suuntavektoria niin, että suora on vaakasuunnassa, samoin niin että se on pystysuunnassa.

Tehtävä 1a): Määritä parametrin arvo

Piste a ja piste u vastaavat origosta lähteviä tasovektoreita kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Alaosan lukusuoran punainen piste s taas vastaa kerroinskalaaria. Tässä tehtävässä voit liikutella hiirellä vain parametrin s reaaliarvoa.
This page requires a Java capable browser.

Tehtävä 1 a). Määritä sellainen arvo parametrille s, että vektori r saavuttaa pisteen P.

Tapaus 2: Suora kahden pisteen kautta

Punainen piste a ja sininen piste b vastaavat origosta lähteviä tasovektoreita kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Alaosan lukusuoran punainen piste s taas vastaa kerroinskalaaria. Tässä kuviossa voit katsoa liikuttelemalla hiirellä em. pisteitä, mitä suoran vektoriesitys tarkoittaa tässä tapauksessa.
This page requires a Java capable browser.

Ensinnäkin, vakiopaikkavektorin kärki eli piste a määrää yhden pisteen suoralta, sitä voidaan sanoa vaikka vakiopaikkavektoriksi.

Vektorit a ja b määräävät suoran suunnan, suuntavektoriksi on loogista ottaa u = b - a.
Toki valinnat voidaan tehdä toisinkin, vaihtaa vakiovektorien a ja b roolit ja ottaa näiden erotus suuntavektoriksi kummin päin tahansa. Kuitenkin kannattaa sopia valinnat yhdenmukaisiksi, jotta vastauksia on helpompi vertailla!

Reaalikerroin s skaalaa suuntavektoria, siitä roolinimi skalaari (erotuksena vektoreista).
Kerrointa sanotaan toisaalta parametriksi, koska se antaa suoralle parametriesityksen tason ulkopuolisen reaaliapumuuttujan avulla.

Martti.Pesonen@Joensuu.Fi 9.2.2009