Lineaarialgebra

Lineaarialgebra: Suora vektorimuodossa

Tämän lyhyen dokumentin tarkoitus on kuvata suoria vektorimuodossa r(t) = a + s u, s reaaliluku, missä a on vakiopaikkavektori, jonka kärki on kyseisellä suoralla, ja u on suuntavektori.

Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) punaisia tai muita peruspisteitä, joiden varaan kuvio rakentuu. Nämä kuvaavat tavallisesti tason pisteitä (esim. a) tai suoralla olevia reaalilukuja (esim. s).

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (Reset).

Tapaus 1: Suora vakiopaikkavektorin ja suuntavektorin avulla

Punainen piste a ja sininen piste u vastaavat origosta lähteviä tasovektoreita kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Alaosan lukusuoran punainen piste s taas vastaa kerroinskalaaria. Tässä ensimmäisessä kuviossa voit katsoa liikuttelemalla hiirellä em. pisteitä, mitä suoran vektoriesitys tarkoittaa.
${ 1. Suora vakiopaikkavektorin ja suuntavektorin avulla $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 500 #HEIGHT= 520 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(400,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(250,500)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk Translation($Ref,0,0)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnums Point on object($RL,1.5)[label('s'), layer(50)]; $Rnumt Point on object($RL,2)[label('t'), hidden]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; ${ $ShowRs ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnums, $RectA)[hidden]; $HideRs HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnums, $RectA)[hidden]; $ShowRt ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumt, $RectA)[hidden]; $HideRt HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumt, $RectA)[hidden]; FixedPoint(240,200)[white,label('1'),hidden]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1'),hidden]; $} $O FixedPoint(250,250)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,40)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(250,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $a Point(300,200)[label('a'),red, layer(50)]; $Sa Segment($O,$a)[red, thick]; $u Point(280,270)[label('u'),blue, layer(50)]; $Su Segment($O,$u)[blue, thick]; $aplusu VectorTranslation($a,$O,$u)[magenta,label('a + u')]; $Saplusu Segment($a,$aplusu)[magenta, thick]; $su Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnums)[blue,label('su')]; $Ssu Segment($O,$su)[blue]; $aplussu VectorTranslation($a,$O,$su)[magenta,label('r = a + su')]; $SOaplussu Segment($O,$aplussu)[black,thick]; $Laaplussu Line($aplusu,$a)[magenta]; ${ $v Point(210,200)[blue, label('v'),hidden]; $Sv Segment($O,$v)[blue, thick, hidden]; $tv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumt)[blue, label('tv'), hidden]; $Stv Segment($O,$tv)[blue, hidden]; $aplussuRay Ray($aplussu,$a)[magenta]; $uplusu VectorTranslation($u,$O,$u)[blue,label('u + u = 2u'),hidden]; $Suplusu Segment($O,$uplusu)[blue,hidden]; $uplus2u VectorTranslation($uplusu,$O,$u)[blue,label('u + 2u = 3u'),hidden]; $Suplus2u Segment($O,$uplus2u)[blue,hidden]; $uplus3u VectorTranslation($uplus2u,$O,$u)[blue,label('u + 3u = 4u'),hidden]; $Suplus3u Segment($O,$uplus3u)[blue,hidden]; $uplus4u VectorTranslation($uplus3u,$O,$u)[blue,label('u + 4u = 5u'),hidden]; $Suplus4u Segment($O,$uplus4u)[blue,hidden]; $uplus5u VectorTranslation($uplus4u,$O,$u)[blue,label('u + 5u = 6u'),hidden]; $Suplus5u Segment($O,$uplus5u)[blue,hidden]; $uplus6u VectorTranslation($uplus5u,$O,$u)[blue,label('u + 6u = 7u'),hidden]; $Suplus6u Segment($O,$uplus6u)[blue,hidden]; $uplus7u VectorTranslation($uplus6u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus7u Segment($O,$uplus7u)[blue,hidden]; $uplus8u VectorTranslation($uplus7u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus8u Segment($O,$uplus8u)[blue,hidden]; $} ${ $SBnu ShowButton( 0, 0,'{k u | k in N}')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue, bold]; $HBnu HideButton( 95, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue]; $SBnu ShowButton( 0, 50,'n u')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue, bold,hidden]; $HBnu HideButton( 50, 50,'Hide')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue,hidden]; $SB3u ShowButton( 0, 25,'u + 2u')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue, bold,hidden]; $HB3u HideButton( 50, 25,'Hide')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue,hidden]; $SB2u ShowButton( 0, 0,'u + u')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue, bold]; $HB2u HideButton( 50, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue]; $}

Ensinnäkin, vakiopaikkavektorin kärki eli piste a määrää yhden pisteen suoralta, sitä voidaan sanoa vaikka vakiopaikkavektoriksi.

Vektori u määrää suoran suunnan, se on suoran suuntavektori.

Reaalikerroin s skaalaa suuntavektoria, siitä roolinimi skalaari (erotuksena vektoreista).
Kerrointa sanotaan toisaalta parametriksi, koska se antaa suoralle parametriesityksen tason ulkopuolisen reaaliapumuuttujan avulla.
Tutustumistehtäviä
a) Muuta vakiopaikkavektori a sellaiseksi, että suora kulkee origon kautta. Onko ratkaisuja vain yksi?
b) Jätä vakiopaikkavektori selvästi origon ulkopuolelle. Muuta suuntavektoria niin, että suora kulkee origon kautta. Miten voit sanoa vakiopaikka- ja suuntavektoreista?
b) Jätä vakiopaikkavektori selvästi origon ulkopuolelle. Muuta suuntavektoria niin, että suora on vaakasuunnassa, samoin niin että se on pystysuunnassa.


Tehtävä 1a): Määritä parametrin arvo

Piste a ja piste u vastaavat origosta lähteviä tasovektoreita kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Alaosan lukusuoran punainen piste s taas vastaa kerroinskalaaria. Tässä tehtävässä voit liikutella hiirellä vain parametrin s reaaliarvoa.
${ Tehtävä 1a). Suora vakiopaikkavektorin ja suuntavektorin avulla - Määritä parametrin arvo $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 500 #HEIGHT= 520 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(400,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(250,500)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk Translation($Ref,0,0)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnums Point on object($RL,1.5)[label('s'), layer(50)]; $Rs Ratio/Points($RO,$Rykk,$Rnums,10,480,'s = ')[red]; $Rnumt Point on object($RL,2)[label('t'), hidden]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; ${ $ShowRs ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnums, $RectA)[hidden]; $HideRs HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnums, $RectA)[hidden]; $ShowRt ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumt, $RectA)[hidden]; $HideRt HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumt, $RectA)[hidden]; FixedPoint(240,200)[white,label('1'),hidden]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1'),hidden]; $} $O FixedPoint(250,250)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,40)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(250,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $a FixedPoint(290,170)[label('a'), black, layer(50)]; $Sa Segment($O,$a)[black, thick]; $u FixedPoint(330,270)[label('u'), black, layer(50)]; $Su Segment($O,$u)[black, thick]; $aplusu VectorTranslation($a,$O,$u)[magenta,label('a + u')]; $Saplusu Segment($a,$aplusu)[magenta, thick]; $su Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnums)[blue,label('su')]; $Ssu Segment($O,$su)[blue]; $aplussu VectorTranslation($a,$O,$su)[magenta,label('r = a + su'), layer(100)]; $Laaplussu Line($aplusu,$a)[magenta]; $SOaplussu Segment($O,$aplussu)[black,thick]; $P FixedPoint(50,110)[black, label('P')]; ${ $v Point(210,200)[blue, label('v'),hidden]; $Sv Segment($O,$v)[blue, thick, hidden]; $tv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumt)[blue, label('tv'), hidden]; $Stv Segment($O,$tv)[blue, hidden]; $aplussuRay Ray($aplussu,$a)[magenta]; $uplusu VectorTranslation($u,$O,$u)[blue,label('u + u = 2u'),hidden]; $Suplusu Segment($O,$uplusu)[blue,hidden]; $uplus2u VectorTranslation($uplusu,$O,$u)[blue,label('u + 2u = 3u'),hidden]; $Suplus2u Segment($O,$uplus2u)[blue,hidden]; $uplus3u VectorTranslation($uplus2u,$O,$u)[blue,label('u + 3u = 4u'),hidden]; $Suplus3u Segment($O,$uplus3u)[blue,hidden]; $uplus4u VectorTranslation($uplus3u,$O,$u)[blue,label('u + 4u = 5u'),hidden]; $Suplus4u Segment($O,$uplus4u)[blue,hidden]; $uplus5u VectorTranslation($uplus4u,$O,$u)[blue,label('u + 5u = 6u'),hidden]; $Suplus5u Segment($O,$uplus5u)[blue,hidden]; $uplus6u VectorTranslation($uplus5u,$O,$u)[blue,label('u + 6u = 7u'),hidden]; $Suplus6u Segment($O,$uplus6u)[blue,hidden]; $uplus7u VectorTranslation($uplus6u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus7u Segment($O,$uplus7u)[blue,hidden]; $uplus8u VectorTranslation($uplus7u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus8u Segment($O,$uplus8u)[blue,hidden]; $} ${ $SBnu ShowButton( 0, 0,'{k u | k in N}')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue, bold]; $HBnu HideButton( 95, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue]; $SBnu ShowButton( 0, 50,'n u')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue, bold,hidden]; $HBnu HideButton( 50, 50,'Hide')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue,hidden]; $SB3u ShowButton( 0, 25,'u + 2u')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue, bold,hidden]; $HB3u HideButton( 50, 25,'Hide')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue,hidden]; $SB2u ShowButton( 0, 0,'u + u')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue, bold]; $HB2u HideButton( 50, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue]; $}

Tehtävä 1 a). Määritä sellainen arvo parametrille s, että vektori r saavuttaa pisteen P.


Tapaus 2: Suora kahden pisteen kautta

Punainen piste a ja sininen piste b vastaavat origosta lähteviä tasovektoreita kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Alaosan lukusuoran punainen piste s taas vastaa kerroinskalaaria. Tässä kuviossa voit katsoa liikuttelemalla hiirellä em. pisteitä, mitä suoran vektoriesitys tarkoittaa tässä tapauksessa.
${ 2. Suora kahden pisteen kautta $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 500 #HEIGHT= 520 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(400,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(250,500)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk Translation($Ref,0,0)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnums Point on object($RL,1.5)[label('s'), layer(50)]; $Rs Ratio/Points($RO,$Rykk,$Rnums,10,10,'s = ')[red,hidden]; $Rnumt Point on object($RL,2)[label('t'), hidden]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; ${ $ShowRs ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnums, $RectA)[hidden]; $HideRs HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnums, $RectA)[hidden]; $ShowRt ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumt, $RectA)[hidden]; $HideRt HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumt, $RectA)[hidden]; FixedPoint(240,200)[white,label('1'),hidden]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1'),hidden]; $} $O FixedPoint(250,250)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,40)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(250,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $a Point(300,200)[label('a'),red, layer(50)]; $Sa Segment($O,$a)[red, thick]; $b Point(370,280)[label('b'),blue, layer(50)]; $Sb Segment($O,$b)[blue, thick]; $u VectorTranslation($O,$a,$b)[magenta,label('u = b - a')]; $Su Segment($O,$u)[magenta, thick]; $aplusu VectorTranslation($a,$O,$u)[magenta,label('b = a + u')]; $Saplusu Segment($a,$aplusu)[magenta, thick]; $su Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnums)[blue,label('su')]; $Ssu Segment($O,$su)[blue]; $aplussu VectorTranslation($a,$O,$su)[magenta,label('r = a + s(b-a)')]; $Laaplussu Line($aplusu,$a)[magenta]; $SOaplussu Segment($O,$aplussu)[black,thick]; ${ $v Point(210,200)[blue, label('v'),hidden]; $Sv Segment($O,$v)[blue, thick, hidden]; $tv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumt)[blue, label('tv'), hidden]; $Stv Segment($O,$tv)[blue, hidden]; $aplussuRay Ray($aplussu,$a)[magenta]; $uplusu VectorTranslation($u,$O,$u)[blue,label('u + u = 2u'),hidden]; $Suplusu Segment($O,$uplusu)[blue,hidden]; $uplus2u VectorTranslation($uplusu,$O,$u)[blue,label('u + 2u = 3u'),hidden]; $Suplus2u Segment($O,$uplus2u)[blue,hidden]; $uplus3u VectorTranslation($uplus2u,$O,$u)[blue,label('u + 3u = 4u'),hidden]; $Suplus3u Segment($O,$uplus3u)[blue,hidden]; $uplus4u VectorTranslation($uplus3u,$O,$u)[blue,label('u + 4u = 5u'),hidden]; $Suplus4u Segment($O,$uplus4u)[blue,hidden]; $uplus5u VectorTranslation($uplus4u,$O,$u)[blue,label('u + 5u = 6u'),hidden]; $Suplus5u Segment($O,$uplus5u)[blue,hidden]; $uplus6u VectorTranslation($uplus5u,$O,$u)[blue,label('u + 6u = 7u'),hidden]; $Suplus6u Segment($O,$uplus6u)[blue,hidden]; $uplus7u VectorTranslation($uplus6u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus7u Segment($O,$uplus7u)[blue,hidden]; $uplus8u VectorTranslation($uplus7u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus8u Segment($O,$uplus8u)[blue,hidden]; $} ${ $SBnu ShowButton( 0, 0,'{k u | k in N}')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue, bold]; $HBnu HideButton( 95, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue]; $SBnu ShowButton( 0, 50,'n u')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue, bold,hidden]; $HBnu HideButton( 50, 50,'Hide')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue,hidden]; $SB3u ShowButton( 0, 25,'u + 2u')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue, bold,hidden]; $HB3u HideButton( 50, 25,'Hide')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue,hidden]; $SB2u ShowButton( 0, 0,'u + u')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue, bold]; $HB2u HideButton( 50, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue]; $}

Ensinnäkin, vakiopaikkavektorin kärki eli piste a määrää yhden pisteen suoralta, sitä voidaan sanoa vaikka vakiopaikkavektoriksi.

Vektorit a ja b määräävät suoran suunnan, suuntavektoriksi on loogista ottaa u = b - a.
Toki valinnat voidaan tehdä toisinkin, vaihtaa vakiovektorien a ja b roolit ja ottaa näiden erotus suuntavektoriksi kummin päin tahansa. Kuitenkin kannattaa sopia valinnat yhdenmukaisiksi, jotta vastauksia on helpompi vertailla!

Reaalikerroin s skaalaa suuntavektoria, siitä roolinimi skalaari (erotuksena vektoreista).
Kerrointa sanotaan toisaalta parametriksi, koska se antaa suoralle parametriesityksen tason ulkopuolisen reaaliapumuuttujan avulla.


Martti.Pesonen@Joensuu.Fi 9.2.2009