LineaarialgebraTason \( \mathbb{R}^2 \) aliavaruudetTämän dokumentin tarkoitus on kuvata millaisia aliavaruuksia on tason normaalilla lineaarirakenteella,siis lineaariavaruudella \( ( \mathbb{R}^2, +, \cdot ) \). Näissä JSXgraph-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) punaisia tai muita peruspisteitä, joiden varaan kuvio rakentuu. Nämä kuvaavat tavallisesti tason pisteitä tai suoralla olevia reaalilukuja. Vektori \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) on parin \( ( \mathbf{u}, \mathbf{v} ) \) kuva tarkasteltavan sisäisen laskutoimituksen \( + \) suhteen; sanomme sitä laskutoimituksen tulokseksi, summaksi. Vektori \( c \mathbf{u} \) on parin \( ( c, \mathbf{u} ) \) kuva tarkasteltavan skaalausfunktion suhteen; sanomme sitä skaalauksen tulokseksi, tuloksi. Voit saada nappuloilla summan ja tulon esiin yhdessä tai erikseen. |
|
Määritelmä.
Joukko \( W \) on \( \mathcal{K} \)-kertoimisen lineaariavaruuden
\( ( V, +, \cdot ) \)
aliavaruus, jos
|
| 1A. Musta (kiinteä) piste \( \mathbf{u} \) oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa \( \mathbb{R}^2 \). | Tässä ensimmäisessä kuviossa voit katsoa painonappuloiden avulla, mitä aliavaruuden yhteenlaskua koskeva vaatimus (i) tarkoittaa. |
|
|
Aliavaruuden määritelmän mukaan aliavaruudessa \( W \) on ainakin yksi vektori, siis ainakin nollavektori.
Se yksinään muodostaa tietysti pienimmän (triviaalin) aliavaruuden.
Oletamme nyt, että aliavaruudessa \( W \) on ainakin yksi \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \).
Ensinnäkin, aliavaruuden aksiooman (i) mukaan vektorien summat kuuluvat aliavaruuteen, siis ainakin \( \mathbf{u} + \mathbf{u} \), mikä on lineaariavaruuden aksiooman A8 ja sekaosittelulain A6 mukaan \[ \mathbf{u} + \mathbf{u} = 1{\cdot}\mathbf{u} + 1{\cdot}\mathbf{u} = (1+1){\cdot}\mathbf{u} = 2{\cdot}\mathbf{u}. \] Mutta soveltaen summan sisältymisvaatimusta toistuvasti saamme sinne kuulumaan vektorit \( 3\mathbf{u} \), \( 4\mathbf{u} \), \( \ldots \) Täten aliavaruus \( W \) sisältää ainakin joukon \[ \{\, k \mathbf{u} \mid k \in \mathbb{N}\, \}. \] |
| 1B. Punainen piste \( \mathbf{u} \) oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa \( \mathbb{R}^2 \). | Tässä dynaamisessa kuviossa voit tutkia edellisen kuvion tilannetta erilaisten vektorien \( \mathbf{u} \) tapauksissa. |
|
|
Voit muuttaa perusvektoria \( \mathbf{u} \) hiirellä. |
| 1C. Punainen piste \( \mathbf{u} \) oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa \( \mathbb{R}^2 \). | Tässä dynaamisessa kuviossa voit tutkia vektorin ja sen vastavektorin monikertoja erilaisten vektorien \( \mathbf{u} \) tapauksissa. |
|
|
Voit muuttaa perusvektoria \( \mathbf{u} \) hiirellä. |
| 1D. Musta piste \( \mathbf{u} \) oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa \( \mathbb{R}^2 \), kun taas punainen piste \( c \) alaosan suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla \( \mathbb{R} \). |
Edelleenkin ajattelemme, että tarkastelemassamme aliavaruudessa
\( W \) on ainakin yksi vektori \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \).
Mitä sitten seuraa aliavaruuden määritelmän skaalausehdosta (ii)? Tässä voit vetää hiirellä skalaaria \( c \). |
|
|
Aliavaruuden määritelmän kohdan (ii) mukaan vektori \( \mathbf{u} \) kerrottuna millä tahansa reaaliskalaarilla \( c \), siis \( c \mathbf{u} \), kuuluu aliavaruuteen. Siihen sisältyy siis koko joukko Täten aliavaruus \( W \) sisältää ainakin kokonaisen suoran \[ \{\, c \mathbf{u} \mid c \in \mathbb{R}\, \}. \] |
| 1E. Punainen piste \( \mathbf{u} \) oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa \( \mathbb{R}^2 \), kun taas punainen piste \( c \) alaosan suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla \( \mathbb{R} \). |
Edelleenkin ajattelemme, että tarkastelemassamme aliavaruudessa
\( W \) on ainakin yksi vektori \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \).
Mitä sitten ovat yhteenlaskun ja skaalauksen roolit? |
|
|
Nyt voit muuttaa perusvektoria \( \mathbf{u} \) hiirellä.
Mitä näistä kuviosta opimme, kun aliavaruudessa pitää olla vektoreita ainakin yksi \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \)?
1. Yhteenlaskuehdon (i) takia vektorin kokonaislukumonikerrat kuuluvat kyseiseen aliavaruuteen.
Mihin siis yhteenlaskuvaatimusta (i) edes tarvitaan? |
| 2A. Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että nollasta poikkeavia vektoreita on ainakin kaksi erisuuntaista, \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \) ja \( \mathbf{v} \ne \mathbf{0} \). | Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) lineaarikombinaatiot \( c \mathbf{u} + d \mathbf{v} \). |
|
|
Tässä kuviossa voit liikutella hiirellä skalaareja \( c \) ja \( d \). Vektorit sen sijaan ovat kiinnitetyt.
Vektori \( c \mathbf{u} + d \mathbf{v} \) on vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) lineaarikombinaatio reaaliskalaareilla \( c \) ja \( c \in \mathbb{R} \). |
| 2B. Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \). | Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) lineaarikombinaatiot \( c \mathbf{u} + d \mathbf{v} \). |
|
|
Tässä voit liikutella hiirellä noita perusvektoreita \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) sekä skalaareja \( c \) ja \( d \).
Vektori \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) on vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) lineaarikombinaatio reaaliskalaareilla \( c \) ja \( d \). Mitkä ovat nyt eri tapaukset, siis millaisia aliavaruuksia voi syntyä? |
| Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \). | Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien \( \mathbf{u} \) ja \( \mathbf{v} \) lineaarikombinaatiot \( c \mathbf{u} + d \mathbf{v} \). |
|
|
Pienin mahdollinen aliavaruus löytyy nappulan avulla!
Muut? |