LineaarialgebraLineaarialgebra: Tason aliavaruudetTämän lyhyen dokumentin tarkoitus on kuvata millaisia aliavaruuksia on tason normaalilla lineaarirakenteella,siis lineaariavaruudella (R2, +, ). Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) punaisia tai muita peruspisteitä, joiden varaan kuvio rakentuu. Nämä kuvaavat tavallisesti tason pisteitä tai suoralla olevia reaalilukuja. Vektori u + v on parin (u,v) kuva tarkasteltavan sisäisen laskutoimituksen + suhteen; sanomme sitä laskutoimituksen tulokseksi, summaksi.
Vektori cu on parin (c,u) kuva tarkasteltavan skaalausfunktion suhteen; sanomme sitä skaalauksen tulokseksi, tuloksi. Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (Reset). |
|
|
Määritelmä.
Joukko W on K-kertoimisen lineaariavaruuden (V, +, ·)
aliavaruus, jos
(0) W on epätyhjä ja W Í V, (i) u + v Î W aina, kun u, v Î W, (ii) au Î W aina, kun a Î K, u Î W. |
| Musta piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. | Tässä ensimmäisessä kuviossa voit katsoa painonappuloiden avulla, mitä aliavaruuden yhteenlaskua koskeva vaatimus (i) tarkoittaa. | ||||
|
Aliavaruuden määritelmän mukaan aliavaruudessa
W on ainakin yksi vektori, jokin u.
Mitä sitten seuraa aliavaruuden määritelmästä?
Ensinnäkin, aliavaruuden vektorien summat kuuluvat aliavaruuteen,
siis ainakin u + u, mikä on Aksiooman 8 ja
osittelulain A6 mukaan
Mutta soveltaen summan sisältymisvaatimusta toistuvasti saamme sinne kuulumaan vektorit
3u, 4u, ¼. Täten aliavaruus W sisältää ainakin joukon
|
| Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. | Tässä toisessa dynaamisessa kuviossa voit tutkia edellisen kuvion tilannetta erilaisten vektorien u tapauksissa. |
| Voit muuttaa perusvektoria u hiirellä. |
| Musta piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2, kun taas punainen piste c alaosan suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R. |
Edelleenkin ajattelemme, että tarkastelemassamme aliavaruudessa
W on ainakin yksi vektori u.
Mitä sitten seuraa aliavaruuden määritelmän ehdosta skaalauksen suhteen? Tässä voit vetää hiirellä skalaaria c. |
||
Aliavaruuden määritelmän kohdan (ii) mukaan vektori u kerrottuna millä tahansa reaaliskalaarilla c,
siis cu, kuuluu aliavaruuteen. Siihen sisältyy siis koko joukko
|
| Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2, kun taas punainen piste c alaosan suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R. |
Edelleenkin ajattelemme, että tarkastelemassamme aliavaruudessa
W on ainakin yksi vektori u.
Mitä sitten seuraa aliavaruuden määritelmän ehdosta skaalauksen suhteen? |
|
Nyt voit muuttaa perusvektoria u hiirellä.
Mitä näistä kuviosta opimme, kun vektoreita on (aluksi) yksi?
On kaksi tapausta:
|
| Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, u ja v. | Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien u ja v lineaarikombinaatiot cu + dv. |
|
Tässä kuviossa voit liikutella hiirellä skalaareja c ja d.
Vektori cu + dv on vektorien u ja v lineaarikombinaatio reaaliskalaareilla c ja d. |
| Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, u ja v. | Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien u ja v lineaarikombinaatiot cu + dv. |
|
Tässä voit liikutella hiirellä noita perusvektoreita u ja v sekä skalaareja c ja d.
Vektori cu + dv on vektorien u ja v lineaarikombinaatio reaaliskalaareilla c ja d. Mitkä ovat nyt eri tapaukset, siis millaisia aliavaruuksia voi syntyä? |
| Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, u ja v. | Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien u ja v lineaarikombinaatiot cu + dv. |
|
Pienin mahdollinen aliavaruus löytyy nappulan avulla!
Muut? |