Lineaarialgebra

Lineaarialgebra: Tason aliavaruudet

Tämän lyhyen dokumentin tarkoitus on kuvata millaisia aliavaruuksia on tason normaalilla lineaarirakenteella,
siis lineaariavaruudella (R2, +, ).

Näissä JavaSketchpad applet-konstruktioissa, joita tässä kutsumme tauluiksi, voit yleensä vetää (liikutella hiirellä) punaisia tai muita peruspisteitä, joiden varaan kuvio rakentuu. Nämä kuvaavat tavallisesti tason pisteitä tai suoralla olevia reaalilukuja.

Vektori u + v on parin (u,v) kuva tarkasteltavan sisäisen laskutoimituksen + suhteen; sanomme sitä laskutoimituksen tulokseksi, summaksi.

Vektori cu on parin (c,u) kuva tarkasteltavan skaalausfunktion suhteen; sanomme sitä skaalauksen tulokseksi, tuloksi.

Taulu aktivoituu hiiren klikkauksella. Aktiivinen taulu palautetaan alkutilaan näppäimellä 'R' (Reset).

Määritelmä. Joukko W on K-kertoimisen lineaariavaruuden (V, +, ·) aliavaruus, jos

    (0) W on epätyhjä ja W Í V,
    (i) u + v Î W aina, kun u, v Î W,
    (ii) au Î W aina, kun a Î K, u Î W.

Tapaus 1: Aliavaruudessa on ainakin yksi vektori

Musta piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Tässä ensimmäisessä kuviossa voit katsoa painonappuloiden avulla, mitä aliavaruuden yhteenlaskua koskeva vaatimus (i) tarkoittaa.
${ Summat $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 400 #HEIGHT= 400 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(300,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; ${ $RO FixedPoint(200,500)[black,label('0'), hidden]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk FixedPoint(275,500)[white, label('1'), hidden]; $RL Line($Rykk,$RO)[black, hidden]; $Rnumc Point on object($RL,1.5)[label('c'), hidden]; $Rnumd Point on object($RL,2)[label('d'), hidden]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow, hidden]; $ShowRc ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $HideRc HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $ShowRd ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $HideRd HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; FixedPoint(240,200)[white,label('1'),hidden]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1'),hidden]; $} $O FixedPoint(200,200)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,40)[white,label('1'),hidden]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black]; ${ $start FixedPoint(200,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $} $u FixedPoint(230,220)[label('u'), black]; $Su Segment($O,$u)[black, thick]; $uplusu VectorTranslation($u,$O,$u)[blue,label('u + u = 2u'),hidden]; $Suplusu Segment($O,$uplusu)[blue,hidden]; $uplus2u VectorTranslation($uplusu,$O,$u)[blue,label('u + 2u = 3u'),hidden]; $Suplus2u Segment($O,$uplus2u)[blue,hidden]; $uplus3u VectorTranslation($uplus2u,$O,$u)[blue,label('u + 3u = 4u'),hidden]; $Suplus3u Segment($O,$uplus3u)[blue,hidden]; $uplus4u VectorTranslation($uplus3u,$O,$u)[blue,label('u + 4u = 5u'),hidden]; $Suplus4u Segment($O,$uplus4u)[blue,hidden]; $uplus5u VectorTranslation($uplus4u,$O,$u)[blue,label('u + 5u = 6u'),hidden]; $Suplus5u Segment($O,$uplus5u)[blue,hidden]; $uplus6u VectorTranslation($uplus5u,$O,$u)[blue,label('u + 6u = 7u'),hidden]; $Suplus6u Segment($O,$uplus6u)[blue,hidden]; $uplus7u VectorTranslation($uplus6u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus7u Segment($O,$uplus7u)[blue,hidden]; $uplus8u VectorTranslation($uplus7u,$O,$u)[blue,hidden,label('etc')]; $Suplus8u Segment($O,$uplus8u)[blue,hidden]; $Ray Ray($u,$O)[blue, hidden]; $SBnu ShowButton( 0, 50,'{k u | k in N}')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue, bold,hidden]; $HBnu HideButton( 95, 50,'Hide')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue,hidden]; $SB3u ShowButton( 0, 25,'u + 2u')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue, bold,hidden]; $HB3u HideButton( 50, 25,'Hide')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue,hidden]; $SB2u ShowButton( 0, 0,'u + u')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue, bold]; $HB2u HideButton( 50, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue]; Aliavaruuden määritelmän mukaan aliavaruudessa W on ainakin yksi vektori, jokin u.

Mitä sitten seuraa aliavaruuden määritelmästä?

Ensinnäkin, aliavaruuden vektorien summat kuuluvat aliavaruuteen, siis ainakin u + u, mikä on Aksiooman 8 ja osittelulain A6 mukaan
u + u = 1u + 1u = (1+1)u = 2u.

Mutta soveltaen summan sisältymisvaatimusta toistuvasti saamme sinne kuulumaan vektorit 3u, 4u, ¼. Täten aliavaruus W sisältää ainakin joukon
{k u | k Î N}.

Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2. Tässä toisessa dynaamisessa kuviossa voit tutkia edellisen kuvion tilannetta erilaisten vektorien u tapauksissa.
${ Summat (vedettävä u) $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 400 #HEIGHT= 400 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(300,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; ${ $RO FixedPoint(200,500)[black,label('0'), hidden]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk FixedPoint(275,500)[white, label('1'), hidden]; $RL Line($Rykk,$RO)[black, hidden]; $Rnumc Point on object($RL,1.5)[label('c'), hidden]; $Rnumd Point on object($RL,2)[label('d'), hidden]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow, hidden]; $ShowRc ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $HideRc HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $ShowRd ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $HideRd HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; FixedPoint(240,200)[white,label('1'),hidden]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1'),hidden]; $} $O FixedPoint(200,200)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,40)[white,label('1'),hidden]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black]; ${ $start FixedPoint(200,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $} $u Point(230,220)[red, label('u'), layer(50)]; $Su Segment($O,$u)[red, thick]; $uplusu VectorTranslation($u,$O,$u)[blue,label('u + u = 2u'), hidden]; $Suplusu Segment($O,$uplusu)[blue,hidden]; $uplus2u VectorTranslation($uplusu,$O,$u)[blue,label('u + 2u = 3u'),hidden]; $Suplus2u Segment($O,$uplus2u)[blue,hidden]; $uplus3u VectorTranslation($uplus2u,$O,$u)[blue,label('u + 3u = 4u'),hidden]; $Suplus3u Segment($O,$uplus3u)[blue,hidden]; $uplus4u VectorTranslation($uplus3u,$O,$u)[blue,label('u + 4u = 5u'),hidden]; $Suplus4u Segment($O,$uplus4u)[blue,hidden]; $uplus5u VectorTranslation($uplus4u,$O,$u)[blue,label('u + 5u = 6u'),hidden]; $Suplus5u Segment($O,$uplus5u)[blue,hidden]; $uplus6u VectorTranslation($uplus5u,$O,$u)[blue,label('u + 6u = 7u'),hidden]; $Suplus6u Segment($O,$uplus6u)[blue,hidden]; $uplus7u VectorTranslation($uplus6u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus7u Segment($O,$uplus7u)[blue,hidden]; $uplus8u VectorTranslation($uplus7u,$O,$u)[blue,hidden,label('etc')]; $Suplus8u Segment($O,$uplus8u)[blue,hidden]; $uRay Ray($u,$O)[blue, hidden]; $SBnu ShowButton( 0, 0,'{k u | k in N}')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue, bold]; $HBnu HideButton( 95, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue]; ${ $SB3u ShowButton( 0, 25,'u + 2u')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue, bold,hidden]; $HB3u HideButton( 50, 25,'Hide')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue,hidden]; $SB2u ShowButton( 0, 0,'u + u')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue, bold]; $HB2u HideButton( 50, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue]; $} Voit muuttaa perusvektoria u hiirellä.

1C. Musta piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2, kun taas punainen piste c alaosan suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R. Edelleenkin ajattelemme, että tarkastelemassamme aliavaruudessa W on ainakin yksi vektori u.

Mitä sitten seuraa aliavaruuden määritelmän ehdosta skaalauksen suhteen?

Tässä voit vetää hiirellä skalaaria c.

${ Skaalaus (kiinteä u) $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 400 #HEIGHT= 420 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(300,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(200,400)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk FixedPoint(225,400)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnumc Point on object($RL,1.5)[label('c')]; $Rnumd Point on object($RL,2)[label('d'), hidden]; $LUpp FixedPoint(0,385)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,420)[hidden]; $RLow FixedPoint(400,420)[hidden]; $RUpp FixedPoint(400,385)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; ${ $ShowRc ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $HideRc HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $ShowRd ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $HideRd HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; FixedPoint(240,200)[white,label('1'),hidden]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1'),hidden]; $} $O FixedPoint(200,200)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,40)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(200,383)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $u FixedPoint(230,220)[label('u'),black]; $v Point(210,200)[blue, label('v'),hidden]; $Su Segment($O,$u)[black, thick]; $Sv Segment($O,$v)[blue, thick, hidden]; ${ $uplusu VectorTranslation($u,$O,$u)[blue,label('u + u = 2u'),hidden]; $Suplusu Segment($O,$uplusu)[blue,hidden]; $uplus2u VectorTranslation($uplusu,$O,$u)[blue,label('u + 2u = 3u'),hidden]; $Suplus2u Segment($O,$uplus2u)[blue,hidden]; $uplus3u VectorTranslation($uplus2u,$O,$u)[blue,label('u + 3u = 4u'),hidden]; $Suplus3u Segment($O,$uplus3u)[blue,hidden]; $uplus4u VectorTranslation($uplus3u,$O,$u)[blue,label('u + 4u = 5u'),hidden]; $Suplus4u Segment($O,$uplus4u)[blue,hidden]; $uplus5u VectorTranslation($uplus4u,$O,$u)[blue,label('u + 5u = 6u'),hidden]; $Suplus5u Segment($O,$uplus5u)[blue,hidden]; $uplus6u VectorTranslation($uplus5u,$O,$u)[blue,label('u + 6u = 7u'),hidden]; $Suplus6u Segment($O,$uplus6u)[blue,hidden]; $uplus7u VectorTranslation($uplus6u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus7u Segment($O,$uplus7u)[blue,hidden]; $uplus8u VectorTranslation($uplus7u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus8u Segment($O,$uplus8u)[blue,hidden]; $} $cu Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnumc)[black,label('cu')]; $dv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumd)[blue, label('dv'), hidden]; $Scu Segment($O,$cu)[red]; $Sdv Segment($O,$dv)[blue, hidden]; $uRay Ray($u,$O)[blue, hidden]; ${ $SBnu ShowButton( 0, 50,'n u')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue, bold,hidden]; $HBnu HideButton( 50, 50,'Hide')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue,hidden]; $SB3u ShowButton( 0, 25,'u + 2u')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue, bold,hidden]; $HB3u HideButton( 50, 25,'Hide')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue,hidden]; $SB2u ShowButton( 0, 0,'u + u')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue, bold]; $HB2u HideButton( 50, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue]; $} Aliavaruuden määritelmän kohdan (ii) mukaan vektori u kerrottuna millä tahansa reaaliskalaarilla c, siis cu, kuuluu aliavaruuteen. Siihen sisältyy siis koko joukko
{c u | c Î R}.

Punainen piste u oheisessa taulussa vastaa origosta lähtevää tasovektoria kaksiulotteisessa euklidisessa tasossa R2, kun taas punainen piste c alaosan suoralla kuvaa reaaliskalaaria (lukua) reaaliakselilla R. Edelleenkin ajattelemme, että tarkastelemassamme aliavaruudessa W on ainakin yksi vektori u.

Mitä sitten seuraa aliavaruuden määritelmän ehdosta skaalauksen suhteen?

${ Skaalaus (vedettävä u) $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 400 #HEIGHT= 420 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(300,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(200,400)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk FixedPoint(225,400)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnumc Point on object($RL,1.5)[label('c'), layer(50)]; $Rnumd Point on object($RL,2)[label('d'), hidden]; $LUpp FixedPoint(0,385)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,420)[hidden]; $RLow FixedPoint(400,420)[hidden]; $RUpp FixedPoint(400,385)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; ${ $ShowRc ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $HideRc HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $ShowRd ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $HideRd HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; FixedPoint(240,200)[white,label('1'),hidden]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1'),hidden]; $} $O FixedPoint(200,200)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,40)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(200,383)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $u Point(230,220)[label('u'),red, layer(50)]; $v Point(210,200)[blue, label('v'),hidden]; $Su Segment($O,$u)[red, thick]; $Sv Segment($O,$v)[blue, thick, hidden]; $uplusu VectorTranslation($u,$O,$u)[blue,label('u + u = 2u'),hidden]; $Suplusu Segment($O,$uplusu)[blue,hidden]; $uplus2u VectorTranslation($uplusu,$O,$u)[blue,label('u + 2u = 3u'),hidden]; $Suplus2u Segment($O,$uplus2u)[blue,hidden]; $uplus3u VectorTranslation($uplus2u,$O,$u)[blue,label('u + 3u = 4u'),hidden]; $Suplus3u Segment($O,$uplus3u)[blue,hidden]; $uplus4u VectorTranslation($uplus3u,$O,$u)[blue,label('u + 4u = 5u'),hidden]; $Suplus4u Segment($O,$uplus4u)[blue,hidden]; $uplus5u VectorTranslation($uplus4u,$O,$u)[blue,label('u + 5u = 6u'),hidden]; $Suplus5u Segment($O,$uplus5u)[blue,hidden]; $uplus6u VectorTranslation($uplus5u,$O,$u)[blue,label('u + 6u = 7u'),hidden]; $Suplus6u Segment($O,$uplus6u)[blue,hidden]; $uplus7u VectorTranslation($uplus6u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus7u Segment($O,$uplus7u)[blue,hidden]; $uplus8u VectorTranslation($uplus7u,$O,$u)[blue,hidden]; $Suplus8u Segment($O,$uplus8u)[blue,hidden]; $cu Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnumc)[black,label('cu')]; $dv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumd)[blue, label('dv'), hidden]; $Scu Segment($O,$cu)[red]; $Sdv Segment($O,$dv)[blue, hidden]; $uRay Ray($u,$O)[blue, hidden]; $SBnu ShowButton( 0, 0,'{k u | k in N}')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue, bold]; $HBnu HideButton( 95, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$uplus2u,$Suplus2u,$uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$uRay)[blue]; ${ $SBnu ShowButton( 0, 50,'n u')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue, bold,hidden]; $HBnu HideButton( 50, 50,'Hide')($uplus3u,$Suplus3u,$uplus4u,$Suplus4u,$uplus5u,$Suplus5u,$uplus6u,$Suplus6u,$uplus7u,$Suplus7u,$uplus8u,$Suplus8u,$Ray)[blue,hidden]; $SB3u ShowButton( 0, 25,'u + 2u')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue, bold,hidden]; $HB3u HideButton( 50, 25,'Hide')($uplus2u,$Suplus2u,$SBnu,$HBnu)[blue,hidden]; $SB2u ShowButton( 0, 0,'u + u')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue, bold]; $HB2u HideButton( 50, 0,'Hide')($uplusu,$Suplusu,$SB3u,$HB3u)[blue]; $} Nyt voit muuttaa perusvektoria u hiirellä.

Mitä näistä kuviosta opimme, kun vektoreita on (aluksi) yksi?

On kaksi tapausta:
1. Jos u = 0, niin saadaan triviaali aliavaruus {0}.
2. Jos u ei ole nollavektori, aliavaruus on origon ja vektorin u sisältävä suora.

Tapaus 2: Aliavaruudessa on ainakin kaksi vektoria

Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, u ja v. Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien u ja v lineaarikombinaatiot cu + dv.
${ Kahden virittämä aliavaruus (u ja v kiinteät) $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 500 #HEIGHT= 520 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(400,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(250,500)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk FixedPoint(275,500)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnumc Point on object($RL,1.5)[red,label('c'),layer(50)]; $Rnumd Point on object($RL,2)[blue,label('d'),layer(50)]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; $ShowRc ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $HideRc HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $ShowRd ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $HideRd HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $O FixedPoint(250,250)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,50)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(250,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $u FixedPoint(320,210)[label('u'),black]; $Su Segment($O,$u)[black, thick]; $SBSu ShowButton( 0, 0,'Dum')($Su)[hidden]; $HBSu HideButton( 0, 0,'Dum')($Su)[hidden]; $v FixedPoint(210,200)[black, label('v')]; $Sv Segment($O,$v)[black, thick]; $SBSv ShowButton( 0, 0,'Dum')($Sv)[hidden]; $HBSv HideButton( 0, 0,'Dum')($Sv)[hidden]; $uov VectorTranslation($u,$O,$v)[black, label('u + v')]; $Suov Segment($O,$uov)[black, thick]; $Suuv Segment($u, $uov)[green, hidden]; $Svuv Segment($v, $uov)[green, hidden]; $cu Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnumc)[red,label('cu')]; $dv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumd)[blue, label('dv')]; $Scu Segment($O,$cu)[red]; $Sdv Segment($O,$dv)[blue]; $cudv VectorTranslation($cu,$O,$dv)[magenta, label('cu + dv')]; $Scudv Segment($O,$cudv)[magenta,thick]; Segment($u,$uov)[green]; Segment($v,$uov)[green]; $Scucudv Segment($cu,$cudv)[cyan]; $Sdvcudv Segment($dv,$cudv)[cyan]; ${ $SBYhtJ ShowButton( 0,25,'Janat')($v, $uov, $Su, $Sv, $Suov, $Suuv, $Svuv)[magenta, bold, hidden]; $HBYhtJ HideButton( 44,25,'Piilota')($Su, $Sv, $Suov, $Suuv, $Svuv)[magenta, hidden]; $SBYht ShowButton( 0, 0,'Dum')($v, $uov, $SBYhtJ, $HBYhtJ)[hidden]; $SimBYht SimultaneousButton(0, 0,'Yhteenlasku')($SBYht, $HBSu)[magenta, bold,hidden]; $HBYht HideButton( 90, 0,'Dum')($v, $uov, $Sv, $Suov, $SBYhtJ, $HBYhtJ, $Suuv, $Svuv)[magenta, hidden]; $SimBYhtHide SimultaneousButton( 92, 0,'Piilota')($HBYht, $SBSu)[magenta,hidden]; $SBSkaJ ShowButton(380,25,'Janat')($u, $Su, $cu, $Scu)[magenta, bold, hidden]; $HBSkaJ HideButton(424,25,'Piilota')($Su, $Scu)[magenta,hidden]; $SBSka ShowButton(380, 0,'Dun')($cu, $SBSkaJ,$HBSkaJ)[hidden]; $SimBSka SimultaneousButton(380, 0,'Skaalaus')($ShowRc, $SBSka, $HBSu)[magenta, bold,hidden]; $HBSka HideButton(470, 0,'Dum')($SBSkaJ, $HBSkaJ, $cu, $Scu)[hidden]; $SimBSkahide SimultaneousButton(450, 0,'Piilota')($HideRc, $HBSka, $SBSu)[magenta,hidden]; $SBLinKJ ShowButton(200,25,'Janat')($u, $v, $Su, $Sv, $cu, $dv, $Scu, $Sdv, $Scudv,$Scucudv,$Sdvcudv)[magenta, bold, hidden]; $HBLinKJ HideButton(244,25,'Piilota')($Su, $Sv, $Scu, $Sdv, $Scudv,$Scucudv,$Sdvcudv)[magenta, hidden]; $SBLinK ShowButton(380, 0,'Dun')($v,$cu,$dv, $cudv, $SBLinKJ,$HBLinKJ)[hidden]; $SimBLinK SimultaneousButton(165, 0,'Lineaarikombinaatio')($ShowRc, $ShowRd, $SBLinK, $HBSu, $HBSv)[magenta, bold]; $HBLinK HideButton(470, 0,'Dum')($SBLinKJ, $HBLinKJ, $v, $Sv, $cu, $dv, $Scu, $Sdv, $cudv, $Scudv)[hidden]; $SimBLinKhide SimultaneousButton(305, 0,'Piilota')($HideRc, $HideRd, $HBLinK, $SBSu)[magenta]; $} Tässä kuviossa voit liikutella hiirellä skalaareja c ja d.

Vektori cu + dv on vektorien u ja v lineaarikombinaatio reaaliskalaareilla c ja d.

Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, u ja v. Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien u ja v lineaarikombinaatiot cu + dv.
${ Kahden virittämä aliavaruus (u ja v liikuteltavia) $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 500 #HEIGHT= 520 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(400,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(250,500)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk FixedPoint(275,500)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnumc Point on object($RL,1.5)[red,label('c'),layer(50)]; $Rnumd Point on object($RL,2)[blue,label('d'),layer(50)]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; $ShowRc ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $HideRc HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $ShowRd ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $HideRd HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $O FixedPoint(250,250)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,50)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(250,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $u Point(320,210)[label('u'),layer(50)]; $Su Segment($O,$u)[red, thick]; $SBSu ShowButton( 0, 0,'Dum')($Su)[hidden]; $HBSu HideButton( 0, 0,'Dum')($Su)[hidden]; $v Point(210,200)[blue, label('v'),layer(50)]; $Sv Segment($O,$v)[blue, thick]; $SBSv ShowButton( 0, 0,'Dum')($Sv)[hidden]; $HBSv HideButton( 0, 0,'Dum')($Sv)[hidden]; $uov VectorTranslation($u,$O,$v)[magenta, label('u + v')]; $Suov Segment($O,$uov)[magenta, thick]; $Suuv Segment($u, $uov)[green, hidden]; $Svuv Segment($v, $uov)[green, hidden]; $cu Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnumc)[red,label('cu')]; $dv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumd)[blue, label('dv')]; $Scu Segment($O,$cu)[red]; $Sdv Segment($O,$dv)[blue]; $cudv VectorTranslation($cu,$O,$dv)[magenta, label('cu + dv')]; $Scudv Segment($O,$cudv)[magenta,thick]; Segment($u,$uov)[green]; Segment($v,$uov)[green]; $Scucudv Segment($cu,$cudv)[cyan]; $Sdvcudv Segment($dv,$cudv)[cyan]; ${ $SBYhtJ ShowButton( 0,25,'Janat')($v, $uov, $Su, $Sv, $Suov, $Suuv, $Svuv)[magenta, bold, hidden]; $HBYhtJ HideButton( 44,25,'Piilota')($Su, $Sv, $Suov, $Suuv, $Svuv)[magenta, hidden]; $SBYht ShowButton( 0, 0,'Dum')($v, $uov, $SBYhtJ, $HBYhtJ)[hidden]; $SimBYht SimultaneousButton(0, 0,'Yhteenlasku')($SBYht, $HBSu)[magenta, bold,hidden]; $HBYht HideButton( 90, 0,'Dum')($v, $uov, $Sv, $Suov, $SBYhtJ, $HBYhtJ, $Suuv, $Svuv)[magenta, hidden]; $SimBYhtHide SimultaneousButton( 92, 0,'Piilota')($HBYht, $SBSu)[magenta,hidden]; $SBSkaJ ShowButton(380,25,'Janat')($u, $Su, $cu, $Scu)[magenta, bold, hidden]; $HBSkaJ HideButton(424,25,'Piilota')($Su, $Scu)[magenta,hidden]; $SBSka ShowButton(380, 0,'Dun')($cu, $SBSkaJ,$HBSkaJ)[hidden]; $SimBSka SimultaneousButton(380, 0,'Skaalaus')($ShowRc, $SBSka, $HBSu)[magenta, bold,hidden]; $HBSka HideButton(470, 0,'Dum')($SBSkaJ, $HBSkaJ, $cu, $Scu)[hidden]; $SimBSkahide SimultaneousButton(450, 0,'Piilota')($HideRc, $HBSka, $SBSu)[magenta,hidden]; $SBLinKJ ShowButton(200,25,'Janat')($u, $v, $Su, $Sv, $cu, $dv, $Scu, $Sdv, $Scudv,$Scucudv,$Sdvcudv)[magenta, bold, hidden]; $HBLinKJ HideButton(244,25,'Piilota')($Su, $Sv, $Scu, $Sdv, $Scudv,$Scucudv,$Sdvcudv)[magenta, hidden]; $SBLinK ShowButton(380, 0,'Dun')($v,$cu,$dv, $cudv, $SBLinKJ,$HBLinKJ)[hidden]; $SimBLinK SimultaneousButton(165, 0,'Lineaarikombinaatio')($ShowRc, $ShowRd, $SBLinK, $HBSu, $HBSv)[magenta, bold]; $HBLinK HideButton(470, 0,'Dum')($SBLinKJ, $HBLinKJ, $v, $Sv, $cu, $dv, $Scu, $Sdv, $cudv, $Scudv)[hidden]; $SimBLinKhide SimultaneousButton(305, 0,'Piilota')($HideRc, $HideRd, $HBLinK, $SBSu)[magenta]; $} Tässä voit liikutella hiirellä noita perusvektoreita u ja v sekä skalaareja c ja d.

Vektori cu + dv on vektorien u ja v lineaarikombinaatio reaaliskalaareilla c ja d.

Mitkä ovat nyt eri tapaukset, siis millaisia aliavaruuksia voi syntyä?

Tämä dynaaminen taulu kuvaa aliavaruutta tilanteessa, että vektoreita on ainakin kaksi, u ja v. Aliavaruuden määritelmästä seuraa, että sen pitää sisältää kaikki vektorien u ja v lineaarikombinaatiot cu + dv.
${ Kahden virittämät aliavaruudet (u ja v liikuteltavia, Move-ilmiö) $} #CODEBASE = "../jsp" #ARCHIVE = "jsp4.jar" #WIDTH = 500 #HEIGHT= 520 #ALIGN=Left *TextFont = "Helvetica" *TextBold = 1 *TextSize = 18 *MeasureFont = "Courier" *MeasureSize = 14 *MeasureBold = 1 *MeasureInDegrees = 1 *DirectedAngles = 0 *BackRed =250 *BackGreen =250 *BackBlue =250 FixedText(400,15,'Reset = ''R''')[red,bold,justifyLeft]; $RO FixedPoint(250,500)[black,label('0')]; $Ref Translation($RO,25,0)[hidden]; $Ray Ray($Ref,$RO)[black, hidden]; $Rykk FixedPoint(275,500)[white, label('1')]; $RL Line($Rykk,$RO)[black]; $Rnumc Point on object($RL,1.5)[red,label('c'),layer(50)]; $Rnumd Point on object($RL,2)[blue,label('d'),layer(50)]; $LUpp FixedPoint(0,485)[hidden]; $LLow FixedPoint(0,520)[hidden]; $RLow FixedPoint(500,520)[hidden]; $RUpp FixedPoint(500,485)[hidden]; $RectA Polygon($LUpp,$LLow,$RLow,$RUpp,$LUpp)[yellow]; $ShowRc ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $HideRc HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumc, $RectA)[hidden]; $ShowRd ShowButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $HideRd HideButton(400, 0,'Dum')($RO, $Rykk, $RL, $Rnumd, $RectA)[hidden]; $O FixedPoint(250,250)[black,label('0')]; $unitp UnitPoint($O,50)[white,label('1'),hidden]; $unitpvisible Translation($unitp,0,0)[white,label('1')]; $i FixedPoint(250,200)[white,label('1')]; $coord Origin&Unit($O,$unitp)[black, hidden]; $hor AxisX($coord)[black]; $vert AxisY($coord)[black,hidden]; $start FixedPoint(250,483)[hidden]; $vertsh Ray($O,$start)[black]; $u Point(320,210)[label('u'),layer(50)]; $Su Segment($O,$u)[red, thick]; $SBSu ShowButton( 0, 0,'Dum')($Su)[hidden]; $HBSu HideButton( 0, 0,'Dum')($Su)[hidden]; $v Point(210,200)[blue, label('v'),layer(50)]; $Sv Segment($O,$v)[blue, thick]; $SBSv ShowButton( 0, 0,'Dum')($Sv)[hidden]; $HBSv HideButton( 0, 0,'Dum')($Sv)[hidden]; $uov VectorTranslation($u,$O,$v)[magenta, label('u + v')]; $Suov Segment($O,$uov)[magenta, thick]; $Suuv Segment($u, $uov)[green, hidden]; $Svuv Segment($v, $uov)[green, hidden]; $cu Dilation/3PtRatio($u,$O,$RO,$Rykk,$Rnumc)[red,label('cu')]; $dv Dilation/3PtRatio($v,$O,$RO,$Rykk,$Rnumd)[blue, label('dv')]; $Scu Segment($O,$cu)[red]; $Sdv Segment($O,$dv)[blue]; $cudv VectorTranslation($cu,$O,$dv)[magenta, label('cu + dv')]; $Scudv Segment($O,$cudv)[magenta,thick]; Segment($u,$uov)[green]; Segment($v,$uov)[green]; $Scucudv Segment($cu,$cudv)[cyan]; $Sdvcudv Segment($dv,$cudv)[cyan]; $MBO MoveButton(0,0,3,'Pienin aliavaruus')($O,$u,$O,$v)[black]; ${ $SBYhtJ ShowButton( 0,25,'Janat')($v, $uov, $Su, $Sv, $Suov, $Suuv, $Svuv)[magenta, bold, hidden]; $HBYhtJ HideButton( 44,25,'Piilota')($Su, $Sv, $Suov, $Suuv, $Svuv)[magenta, hidden]; $SBYht ShowButton( 0, 0,'Dum')($v, $uov, $SBYhtJ, $HBYhtJ)[hidden]; $SimBYht SimultaneousButton(0, 0,'Yhteenlasku')($SBYht, $HBSu)[magenta, bold,hidden]; $HBYht HideButton( 90, 0,'Dum')($v, $uov, $Sv, $Suov, $SBYhtJ, $HBYhtJ, $Suuv, $Svuv)[magenta, hidden]; $SimBYhtHide SimultaneousButton( 92, 0,'Piilota')($HBYht, $SBSu)[magenta,hidden]; $SBSkaJ ShowButton(380,25,'Janat')($u, $Su, $cu, $Scu)[magenta, bold, hidden]; $HBSkaJ HideButton(424,25,'Piilota')($Su, $Scu)[magenta,hidden]; $SBSka ShowButton(380, 0,'Dun')($cu, $SBSkaJ,$HBSkaJ)[hidden]; $SimBSka SimultaneousButton(380, 0,'Skaalaus')($ShowRc, $SBSka, $HBSu)[magenta, bold,hidden]; $HBSka HideButton(470, 0,'Dum')($SBSkaJ, $HBSkaJ, $cu, $Scu)[hidden]; $SimBSkahide SimultaneousButton(450, 0,'Piilota')($HideRc, $HBSka, $SBSu)[magenta,hidden]; $SBLinKJ ShowButton(200,25,'Janat')($u, $v, $Su, $Sv, $cu, $dv, $Scu, $Sdv, $Scudv,$Scucudv,$Sdvcudv)[magenta, bold, hidden]; $HBLinKJ HideButton(244,25,'Piilota')($Su, $Sv, $Scu, $Sdv, $Scudv,$Scucudv,$Sdvcudv)[magenta, hidden]; $SBLinK ShowButton(380, 0,'Dun')($v,$cu,$dv, $cudv, $SBLinKJ,$HBLinKJ)[hidden]; $SimBLinK SimultaneousButton(165, 0,'Lineaarikombinaatio')($ShowRc, $ShowRd, $SBLinK, $HBSu, $HBSv)[magenta, bold]; $HBLinK HideButton(470, 0,'Dum')($SBLinKJ, $HBLinKJ, $v, $Sv, $cu, $dv, $Scu, $Sdv, $cudv, $Scudv)[hidden]; $SimBLinKhide SimultaneousButton(305, 0,'Piilota')($HideRc, $HideRd, $HBLinK, $SBSu)[magenta]; $} Pienin mahdollinen aliavaruus löytyy nappulan avulla!

Muut?

Martti.Pesonen@Joensuu.Fi 2003, 2006