Matematiikan yleisopintojakso 2000
Harjoitus 6 (viikolla 43: 25.10. klo 12-14 sali M2 tai 27.10. klo 14-16 salissa M4)

Näistäkin tehtävistä vain kuusi lasketaan tehtävien kokonaismäärään.


Olemme siis keskiviikkona 25.10. salissa M2, ei M4!
  1. Piirrä koordinaatistoon

    2. a) ellipsi 20x2 + 36y2-45 = 0.
    b) parabeli x = y2 - 4y + 1. 

  2. Erään hyperbelin huiput ovat pisteissä (-3,0) ja (3,0) ja yhtenä asymptoottina on suora x-2y = 0. Mikä on tämän hyperbelin yhtälö?
  3. Mitä käyriä ovat yhtälöiden

    4. a) 4x2-8x-68-9y2-36y = 0
    b) 4x2-8x+4+9y2+36y = 0
    määräämät kuvaajat? 

  4. Leikkaavatko tehtävän 3 käyrät, ja jos leikkaavat, niin missä pisteissä? 

  5. Keksi funktio f : [0,¥[ ® R, jolla on seuraavat ominaisuudet:


    6. 1) funktion f arvot ovat positiivisia,
    2) funktio f on vähenevä välillä [0,1[,
    3) funktio f on vakio 4 välillä [1,3[,
    4) funktio f on aidosti kasvava välillä [3,¥[.

    Millä välillä funktiosi on kasvava, millä vähenevä? 

  6. Kahden funktion f, g yhdistettyä funktiota x ® g(f(x)), mikäli se on määritelty, merkitään usein g°f, siis:
    7. (g°f)(x) = g(f(x))
    Olkoot funktiot f, g : R®R määritelty säännöillä f(x) = 5x - 3 ja g(x) = x2 - 1. Muodosta yhdistetyt funktiot
    a) g°f,       b) f°g,       c) f°f,       d) g°g,       e) g°(f°g). 

  7. Etsi sopivat funktiot (vähintäin kaksi, esimerkiksi ulkofunktio g ja sisäfunktio f), joiden yhdistettyjä funktioita ovat

    8. a) x2 - 6x + 9,       b) 8/x3,       c) Ö(x4 + 2x2 - 1) - x2 - 1. 

  8. Tutki millä väleillä säännön f,
    9. f(x) = x2 - x, 
    määräämällä funktiolla on käänteisfunktio, ja laske käänteisfunktion lauseke.
File translated from TEX by TTH, version 2.64.
On 18 Oct 2000, 09:27.