Matematiikan yleisopintojakso 2000
Kertausharjoitus 9

Ylimääräisiä tehtäviä vastauksineen kokeeseen valmentautumiseksi. Näitä ei käsitellä demoissa eikä lueta demojen kokonaismäärään.


Koeviikolla 46 vapaaehtoiset tietokonedemot ke 15.11. klo 12-14 ja to 16.11. klo 12-14 luokassa M17. Demoissa aktiiviset saavat 6 kotilaskun edestä ''rukseja''. Perjantaina 17.11. ei ole demoja lainkaan.

1. välikoe eli kertauskuulustelu. Välikoe on maanantaina 13.11. klo 8-10 salissa M1. Olkaa paikalla viimeistään tasan klo 8.00.Koealue on luentoasiat torstaihin 2.11.2000 saakka, demot 1-8, kirjasta ss. 1-113. Vimeisinä asioina ovat eksponentti- ja logaritmifunktiot. Mukana pitää olla henkilöyden osoittava asiakirja. Mukana saa olla normaalit kirjoitusvälineet, laskin ja taulukko (MAOL tai suppeampi).
  1. Olkoot A = { 1,3,5,7} ja B = { 1,2,3}. Muodosta joukot AÈB, A\B, B\A, A\A ja AÇB.
  2. Millä vakion v arvoilla epäyhtälö x2 + (v - 1)x + 2 ³ 0 on identtisesti tosi (siis tosi riippumatta luvun x arvosta) ?
  3. Ratkaise yhtälö |x + 1| = 2x.
  4. Ratkaise epäyhtälö Ö[(3x-2)] ³ x/2?
  5. Olkoot f(x) = ax-3 ja g(x) = 3x-a. Määritä kaikki ne reaalivakion a arvot, joilla funktiot f°g ja g°f ovat samat, ts. ( f°g)(x) = ( g°f)(x) muuttujan x kaikilla arvoilla.
  6. Muodosta funktion f:[ 1,¥ [ ® Af,  f(x) = x2-2x+1, käänteisfunktio f-1, sekä ilmoita sen määrittely- ja arvojoukko.
  7. a) Kuinka suuri ympyrä mahtuu ellipsin 4x2 + y2 = 400 sisälle?


    8. b) Kuinka pieni ympyrä riittää pitämään sisällään ellipsin 4x2 + y2 = 400?

  8. Piirrä funktion ln|x-1| kuvaaja.
  9. Ratkaise yhtälö 56.78(1 - e-0.3Öt) = 23.1.
  10. Määritä hyperbelin y = ±9Ö[(x2/49 - 1)] puoliakselit ja asymptootit.
  11. Ratkaise yhtälö ln(x2-x) = lnx.
  12. Ratkaise yhtälö lg(x-1) + lg(x+1) = 1 + lgx.
  13. Ratkaise yhtälö log2 x + log4 x = 1.
  14. Ratkaise epäyhtälö ln(x-3) < 4.
  15. Ratkaise epäyhtälö
    16. 4x -2
    2x - 1    		 ³ 2x.

     
Vastaukset
  1. AÈB = {1,2,3,5,7}, A\B = {5,7}, B\A = {2}, A\A = Æ, AÇB = {1,3}.
  2. 1-2Ö2 £ v £ 1+2Ö2
  3. x = 1. Miksipä x = -1/3 ei käy?
  4. 6 - 2Ö7 £ x £ 6 + 2Ö7, likimäärin 0.71 £ x £ 11.3.
  5. a = 3 tai a = -2. Edellinen ilmeinen, toisen löytäminen vaatii yhtälönratkaisua!
  6. Kyseessä on funktio f-1: [0,¥[ ® [1,¥[, f-1(x) = 1 + Öx.
  7. Puoliakselit a = 10 ja b = 20. Siis

    8. a) Säde enintään 10.
    b) Säde vähintään 20.
  8. Pystysuorana asymptoottina suora x = 1.

    9. Figure
  9. t = 3.03.
  10. Puoliakselit a = 7, b = 9, asymptootit y = ±9x/7.
  11. Reaalisuusehtojen takia vain x = 2 käy.
  12. x = 5 + Ö26. Voi tulla kelvoton ehdokas x = 5 - Ö26 < 0.
  13. x = 3Ö4.
  14. 3 < x < e4 + 3.
  15. Tee ensin sijoitus 2x = t, jolloin saadaan yhtäpitävä yhtälö
    16. t2-2
    t-1    		 > t.
    Viedään t vasemmalle ja lavennetaan, tehdään merkkitarkastelu.
    Ratkaisut ovat 2x = t < 1 tai 2x = t ³ 2 eli x < 0 tai x ³ 1. 
File translated from TEX by TTH, version 2.64.
On 8 Nov 2000, 09:29.