Ympyröiden yhdisteen visualisointi

Olkoon perusjoukkona euklidinen taso \( \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \). Tason yksikkökiekko on joukko \[ D := \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 1 \}. \] Olkoon \( \mathcal{A} \) kaikkien niiden 1-säteisten tasoympyröiden joukko, joiden keskipiste on yksikkökiekossa \( D \). Mitä ovat seuraavat joukot? \[ \bigcup_{A \in \mathcal{A}} A \quad \textrm{ ja } \quad \bigcap_{A \in \mathcal{A}} A \]

Oheisessa kuviossa on keskellä kiinteä yksikköympyrä ja yksi hiirellä siirreltävä punainen ympyrä. Voit sen avulla kokeilla em.\ yhdisteen (ja leikkauksenkin) kuvaamista. Ympyrä jättää kehän jäljen (trace) kun sen keskipiste on yksikkökiekossa; siis silloin kun ympyrä kuuluu kokoelmaan \( \mathcal{A} \).

Nappulalla Näytä apuympyrä saat esille vihreän niinikään yksisäteisen ympyrän, jonka keskipiste on sidottu yksikköympyrän kehälle. Myös sitä (keskipisteestään) kieputtamalla näet miten ratkaisut syntyvät.

Joukon \( \mathcal{A} \) ympyröiden yhdiste on siis ... ?

Joukon \( \mathcal{A} \) ympyröiden leikkaus on siis ... ?

Martti E. Pesonen 21.9.2007 / 24.9.2009 / 20.9.2011 / 10.9.2018 / 4.4.2024 (+ Henri Tanskanen)