|
|
Kuviossa näet kompleksiluvun \( z \) ja sen neliöjuuren \( \sqrt{z} = \).
Voit hiirellä siirrellä lukua \( z \) ja nähdä miten neliöjuuren otto käy.
Tarkastelusi apuna voit käyttää lukua \( w \) ja sen neliötä \( w^2 \).
Kuten reaalinen \( x \mapsto x^2 \) ei ole injektio, ei tietysti kompleksinenkaan ole.
yhtälöllä
\[
w^2 = z
\]
on kaksi ratkaisua; onhan helppo todentaa, että \( w^2 = (-w)^2 \).
Täten neliöjuurella on relaationa kaksi haaraa, kuten reaalisenakin.
Jotta saadaan funktio, on valittava jompikumpi.
Siksi neliöjuurelle on sovittu yksi haara, ja näet,
että neliöjuurella on hyppy, kun kulma ylittää luvun \( \pi \) !
Vaihekulman-jakaminen-kahdella-sääntö vaatii siis, että luvun \( \sqrt{z} \) vaihekulma valitaan väliltä \( \left]-\pi, \pi\right] \).
Tätä varten kannattaa käyttää yksikäsitteistä vaihekulman päähaaraa eli pääarvoa (principal value) \( \Arg z \), joka valitaan juuri niin, että \( -\pi < \Arg z \le \pi \).
Tosin joissakin yhteyksissä näkee otettavan kulmaksi luku väliltä \( \left[ 0, 2\pi\right[ \).
|