Onko laskutoimitus jossakin reaalilukujoukossa \( \mathbf{X} \)?

Operaatio 1b). Ohessa on kuvattu kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktioehdokas \[ g(x, y) := 1 + \ln(\sqrt{x} - y), \] jota tarkastelemme nyt pitäen muuttujat kuviossa näkyvällä välillä \( [a, b] \). Tässä kuviossa voi "zoomata" tarttumalla ylempään ykköseen hiirellä. Tämä on erityisen hyödyllistä tarkasteltaessa välin \( [0, 1] \) osajoukkoja!

"Kokeellisesti" voidaan havaita, ettei operaatio 1b) liene laskutoimitus missään reaalilukujen epätyhjässä osajoukossa.
Ensinnäkin, joukon \( \mathbf{X} \) (kun laskutoimituksen määrittelyjoukko on \( \mathbf{X} \times \mathbf{X} \)) on sijaittava positiivisella \( x \)-akselilla, koska muuten neliöjuuri ei ole määritelty. Siis \( \mathbf{X} \subseteq\mathbb{R}_+ \).
Toiseksi, koska kaikilla \( x \in \mathbf{X} \) pitää olla määriteltynä \( g(x, x) \in \mathbf{X} \), ei voi olla \( x \ge 1 \) (miksi?). Näin ollen rajautuu \( \mathbf{X} \subseteq\left]0, 1\right[ \). Edelleen turvautuen arvoihin \( x = y \) saadaan ihan lukiossa opituilla tiedoilla selville, että \( g(x, x) \) on negatiivinen, kun \( 0 < x < 1 \). Lauseke \( \sqrt{x} - x \) saa maksiminsa pisteessä \( x = \frac14 \), ja logaritmin aidon kasvavuuden takia siis myös \( g(x, x) \), ja \( g(\frac14, \frac14) \approx - 0{,}4 \).

Operaatio 1c). Ohessa on kuvattu kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktioehdokas \[ h(x, y) := \textrm{ lukujen } x \textrm{ ja } y \textrm{ tulon neliöjuuri}, \] jota tarkastelemme nyt pitäen muuttujat kuviossa näkyvällä välillä \( [a, b] \).

Tämä nk. geometrinen keskiarvo on laskutoimitus jokaisella välillä \( [a, b] \), kun \( a \) on ei-negatiivinen. (kuten muuten tavallinenkin keskiarvo, ilman ei-negatiivisuusrajoitusta).

Martti E. Pesonen 30.11.2009, 5.12.2010, 20.11.2013, 29.10.2014 ja 17.11.2018 (+Henri Tanskanen)