Tämä on Martti Pesosen (vuosien kuluessa) laatiman kurssimonisteen tarkahko sisältö, kuitenkin korjattuna seuraavilla modernisoivilla muutoksilla:
1. Työläitä erikoista tyyppiä olevia yhtälöitä on sivuutettu.
2. Tilalle on tuotu laadullisempaa (kvalitatiivista) suuntakenttien, faasipiirrosten ja ratkaisukäyräparvien tutkiskelua, mikä on mahdollistunut tietotekniikan avulla.
3. Tietokonedemoissa, 1., 7., 11. (ja joskus 14. demo), on käytetty pääasiassa matematiikan CAS-ohjelmaa Maple V. Aivan ensi tutustumisessa (ja joskus viimeisessä) on kuitenkin käytetty helppokäyttöistä C.C. Polkingin laatimaa Matlabin päälle kasattua ''differentiaaliyhtälölaskinta'', jolla saadaan alkuarvotehtäviä ratkaistuksi ''interaktiivisesti'', klikkaamalla hiirellä faasipiirrosta (tai antamalla numeeriset alkuehdot valikolla). Demoissa 11 on Maple V:n avulla tutkiskeltu Laplace-muunnoksen kehkeytymistä lähtien tutusta integraalista aina operaattoriksi funktioperheeltä toiselle. Parina vuonna oli myös TI-85-demo.

ALOITUSLUKU 0 (lisäys, jaettu luennoilla)
0.1. Mikä on differentiaaliyhtälö?
Esimääritelmä tavalliselle dy:lle - ratkaisu - kertaluku - normaalimuoto - alkuarvotehtävä - useita esimerkkejä, ratkaisten järkeilemällä, ''esiseparointi'', lineaarinen ''integroivalla tekijällä'' - kvantitatiivinen - kvalitatiivinen - tietokoneella ratkaisemisesta
0.2. Differentiaaliyhtälön graafista tarkastelua
Suuntakenttä - suoraa informaatiota yhtälöstä - tutkiskellaan suuntakenttiä - graafista ratkaisemista - ratkaisukäyrien käytöksen kuvailua
0.3. Ratkaisujen kvalitatiivista tarkastelua
Yksiulotteinen dynaaminen systeemi - tilan ennustaminen - ratkaisujen asymptoottikäyrät - ellipsin ja hyperbelin differentiaaliyhtälöt
0.4. Esimerkkejä
Useita suuntakenttiä, joista tutkitaan em. asioita - alkutilan vaikutus tulevaisuuteen - suuntakenttien käsin piirtoakin - demoissa tasapainotilat - tunnistustehtäviä: yhdistä yhtälöitä - kenttiä
0.5. Differentiaaliyhtälöryhmistä
Kahden yhtälön ryhmä - faasipiirros - liikeradat - johdetaan faasipiirroksen perusta y¢(x) = [(y¢(t))/( x¢(t))]- faasipiirroksen ja ratkaisuparin kuvaajien yhteys - tunnistustehtäviä

1. JOHDANTO
1.1. Topologian ja analyysin kertausta
Jää pitkälti opiskelijalle kerrattavaksi:
euklidisen avaruuden topologiset peruskäsitteet - osittaisderivaatta (käydään, lisäksi derivointiesimerkkejä) - integraalifunktio-primitiivi-perhe - Analyysin peruslause - yhtälön integrointi puolittain
1.2. Differentiaaliyhtälöiden luokittelu
Tavallinen - osittais - ryhmä - kertaluku - alkuarvo- ja rauna-arvotehtävät - esimerkkejä
1.3. Differentiaaliyhtälöihin johtavia ongelmia
Yksinkertaisia ongelmia matematiikasta ja fysiikasta - populaation kasvu (eksponentiaalinen, logistinen) - oppimismalleja - saalistaja-uhri-malli lyhyesti, jaettu engl. kielinen teksti (demoissa esimerkki)
1.4. Differentiaaliyhtälön ratkaisutapoja
Analyyttisesti ''symbolilaskennalla'' - potenssisarjoilla (joskus esimerkki) - numeeriset menetelmät - graafisesti
1.5. Tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen
Normaalimuoto - autonominen yhtälö - lineaarinen yhtälö - ratkaiseminen jollakin välillä - yksittäisratkaisu - täydellinen ratkaisu - erikoisratkaisu - yleinen ratkaisu - ekvivalentit yhtälöt - suljettu muoto - implisiittimuoto - parametrimuoto (lisäys: eri muotojen käsittely matematiikan tietokoneohjelmilla)
1.6. Differentiaaliyhtälön y¢ = f(x,y) graafinen ratkaiseminen
Perusteellisemmin suuntakenttä (tasavälinen, isokliinikenttä) - murtoviivakonstruktio - myös lisäesimerkkejä
1.7. Differentiaaliyhtälön y¢ = f(x,y) numeerinen ratkaiseminen
Eulerin menetelmä - parannettu Eulerin (eli Heunin) menetelmä - Runge-Kutta-menetelmä - menetelmien hauskoja kömmähdyksiä

2. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT
2.1. Ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause
Todistetaan vasta Luvussa 5 - sovellutuksia
2.2. Lineaariset yhtälöt
Ratkaisukaavat johdetaan nykyisin - integroiva tekijä - alkuarvotehtävä - EHY:n täydellinen ratkaisu HY:n täydellisen ratkaisun ja EHY:n yksittäisratkaisun summana - vakion variointi - yrite-menetelmä
2.3. Lineaariseksi palautuvia yhtälöitä (ei käsitelty)
2.4. Separoituvat yhtälöt
Menetelmän perustelu - useita esimerkkejä
2.5. Separoituviksi palautuvia yhtälöitä (ei käsitelty)
2.6. Yhtälön u(x,y) = c differentiaaliyhtälö
Luennolla pitempi johdattelu esimerkin avulla: johdetaan käyräparven implisiittiesityksestä differentiaaliyhtälö
prosessin kääntömahdollisuuden pohdiskelua: avaimeksi havaitaan derivoinnin ketjusääntö
2.7. Eksaktit differentiaaliyhtälöt
Eksaktisuusehto - vektorikentän potentiaali - toinen eksaktisuusehto - vertailun vuoksi differentiaali - konkreettinen menetelmä potentiaalin löytämiseksi - useita esimerkkejä
2.8. Integroivalla tekijällä eksaktisointi (ei käsitelty)
2.9. Lineaarinen differentiaaliyhtälöryhmä (lisäys)
Lineaarinen 2×2-differentiaaliyhtälöryhmä ominaisvektorien avulla - erilaisten tapausten kvalitatiivista tarkastelua - nestetankkiesimerkki

3. TOISEN KERTALUVUN YHTÄLÖT
3.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöiksi palautuvia yhtälöitä
Vain demoissa, alkeellisemmat tapaukset
3.2. Lineaariavaruus Cⁿ(D)
Luennolla kerrataan lineaariavaruuden määritelmä - funktioavaruus - lineaarinen riippuvuus
3.3. Wronskin determinantti
2×2-determinantti - yhteydet funktioiden lineaariseen riippuvuuteen
3.4. Yleistä toisen kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
Johdatus vektoriavaruuksien puolelta: kahden vektorin virittämä taso - tason siirto - OY-lause - standardi tarkastelu HY - EHY alulle
3.5. Homogeeninen toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö
Lineaarisesti riippumattomat ratkaisut: perusjärjestelmä - lisäyksiä: tutkitaan millaisia ovat yhtälöt, joilla on tietyntyyppisiä konkreettisia ratkaisuja - yhtälön konstruointi kahden tunnetun ratkaisun avulla - toisen lineaarisesti riippumattoman olemassaolo - konstruointi käytännössä - toisen ratkaisun kaavan johtaminen kertaluvun pudotuksella (ks. 3.6) - lineaarisesti riippuvien ratkaisujen nollakohdista (Sturmin heilahduslause)
3.6. Homogeeniyhtälön ratkaiseminen kertaluvun pudotuksella
Esitelty alustavasti jo edellä
3.7. Homogeeninen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö
Hyväksytään vain reaaliset ratkaisut kussakin KY:n juurten tapauksessa
3.8. Epähomogeeniyhtälön ratkaiseminen vakioiden varioinnilla
Menetelmä ja ratkaiseminen (mm. Cramerin säännöllä)
3.9. Vakiokertoimisen epähomogeeniyhtälön ratkaiseminen yritteillä
Lyhyesti standardit tapaukset: yhtälön oikea puoli polynomi, eksponenttifunktio, trigonometrinen funktio tai niiden lineaarikombinaatio (jopa tulo)
3.10. Lineaarinen differentiaaliyhtälöryhmä (jatkoa, lisäys)
Muuntamalla toisen kertaluvun yhtälöksi - ominaisarvoyhtälön KY:n ja edellisessä muodostuvan KY:n yhteys

4. KORKEAMMAN KERTALUVUN YHTÄLÖT
4.1. Esimerkkejä epälineaarisista yhtälöistä (ei käsitelty)
4.2. Lineaariset korkeamman kertaluvun yhtälöt
Lyhyesti, analogiaan perustaen: HY - EHY, Wronski etc.
4.3. Vakiokertoiminen homogeeniyhtälö
KY:n juurten avulla, rationaalijuuret kokeillen
4.4. Epähomogeeniyhtälö ja vakioiden variointi (lyhyesti)
4.5. Vakiokertoiminen epähomogeeniyhtälö yritteellä (lyhyesti)
4.6. Funktion Laplace-muunnos
Standardi tapa vahvennettuna tietokonedemoilla
4.7. Alkuarvotehtävä Laplace-muunnoksella
Perustehtäviä
4.8. Epäjatkuvuus ja äkilliset impulssit (lisäys)
Yhtälössä y¢¢+ a y¢+ by = r voi r olla epäjatkuva tai sisältää Diracin Deltan
4.9. Laplace-muunnosten täydennystä (lisäys)
Edelliseen liittyen Heavisiden hyppyfunktion ja Diracin Deltan Laplace-muunnokset sekä esimerkkeinä äkillinen jännitteen muutos RC-piirissä ja äkillinen impulssi harmoniseen värähtelijään

5. ENSIMMÄISEN KERTALUVUN YHTÄLÖN RATKAISUJEN OLEMASSAOLO JA YKSIKÄSITTEISYYS
5.1. Picardin iterointimenetelmä
Lipschitz-ehto - Picardin perättäiset approksimaatiot (rajoitettu tapaus) - perättäisten etäisyysarvio - erotusten muodostama sarja - Weierstrassin suppenemiskriteerin käyttö - tasainen suppeneminen kompakteilla väleillä - ratkaisun olemassa-olo - yksikäsitteisyys (ei oikein ehditty) - pohjustus OY-lauseelle (tekninen lemma)
5.2. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen todistus
Rajoitettu osittaisderivaatta Þ Lipschitz - lokaali OY-lause
5.3. Eulerin numeerisen menetelmän tarkkuus (ei käyty)
Liite 1. Laplace-muunnostaulukko (täydennettiin: Heaviside, Delta)
Liite 2. Yhtälöryhmän ratkaiseminen Cramerin säännöllä
Liite 3. Rationaalifunktion jako osamurtoihin (käytiin esimerkeillä)
Liite 4. Differentiaaliyhtälöitä graafisella laskimella (TI 85) (ei käyty nyt)