Tämä on Martti Pesosen (vuosien kuluessa) laatiman kurssimonisteen tarkahko sisältö, kuitenkin korjattuna seuraavilla muutoksilla:
1. Aksiomatiikan opetusta on vahvistettu, mm. laskutoimituksen esittelyssä korostuu funktio-ominaisuus. Erityisesti demoissa tutkitaan monenlaisia (hullujakin) ehdokkaita, jotta ennakkokäsityksiin sisältyvä urautuminen konkretiaan purkautuisi.
2. Loppupuolen ortogonaaliset aliavaruusasiat käydään läpi vähäisin todistuksin, kun aika ei nyt riitä.
3. Tietokonedemoissa 1b, 7b, ja 10b käytettiin matematiikan CAS-ohjelmaa Maple V. Alkupuolen demoissa askarreltiin Maple V:n avulla aksiomatiikan ja erilaisten laskutoimitusten sekä lineaaristen riippuvuuksien parissa. Demoissa 14b tutustuttiin Matlabilla laskemiseen.

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT
Alkutesti - kotitesti: mitä opiskelijat lineaarisuudesta tietävät - mitä lineaarisuus on - lineaarikombinaatio - lineaarinen yhtälö ja vektoriyhtälö
1.1. Lineaariset yhtälöryhmät
Homogeeninen - epähomogeeninen yr - suora ja taso - alkeismuunnokset
1.2. Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen
Gaussin eliminointimenetelmä - Gauss-Jordanin reduktio - yhtälöryhmien luokittelu - homogeeniset yhtälöryhmät
1.3. Matriisilaskentaa
Karteesinen tulo ja matriisi - matriisien laskutoimitukset - laskutoimitusten määristä - matriisin osien poimiminen ja osiin viittaaminen - yhtälöryhmä matriisimuodossa - Gaussin matriisimuoto - analyyttistä geometriaa
1.4. Käänteismatriisi
Määritelmä - laskusääntöjä - alkeismatriisit - riviekvivalentit matriisit - käänteismatriisi Gauss-Jordanin tapaan
1.5. Yhtälöryhmän ratkaisuista
Matriisiyhtälön ratkaiseminen - kolminaisuus: säännöllisyys - yksikäsitteisyys - riviekvivalenttius - eliminointimenetelmä
1.6. Alimatriisit ja lohkotulot (ei käsitelty viime aikoina)
Matriisin osittaminen - matriisitulo vektorimuodossa - lohkotulot
1.7. Matriisin determinantti
Determinantin määritelmä - determinantin kehittäminen - laskusääntöjä - alkeismatriisien determinantit - determinantti ja säännöllisyys - tulon determinantti - eliminointimenetelmä - laskutoimitusten määristä
1.8. Käänteismatriisi ja Cramerin sääntö
Käänteismatriisin laskeminen - adjungoitu matriisi - yhtälöryhmän ratkaisu Cramerin säännöllä

2. VEKTORIAVARUUDET (alkupuoli erityisellä huolella)
2.1. Vektoriavaruuden määritelmä
Esimerkkejä - määritelmän seurauksia - laskusääntöjä - omituisempia esimerkkejä
2.2. Aliavaruudet
Esimerkkejä - suora summa - matriisin nolla-avaruus - vektorijoukon virittämä aliavaruus
2.3. Lineaarinen riippumattomuus
Geometrinen merkitys - lineaarinen riippumattomuus ja singulaarisuus - funktioiden lineaarinen riippumattomuus - analyyttistä geometriaa - tason yhtälö
2.4. Kanta, koordinaatit ja dimensio
Kannan olemassaolo - täydennys (äärellisulotteisissa)
2.5. Rivi- ja sarakeavaruudet
Matriisin aste - kantojen määritys - lineaarisista yhtälöryhmistä

3. LINEAARIKUVAUKSET
3.1. Lineaarikuvaus ja esimerkkejä
Tason lineaarikuvauksia - lineaarikuvauksia Rⁿ®R^m - muita esimerkkejä
3.2. Lineaarikuvaus ja aliavaruudet
Ydin ja kuva-avaruus - aliavaruuksien kuvat ja alkukuvat
3.3. Bijektiiviset lineaarikuvaukset
Yhdistetty kuvaus - ydin ja injektiivisyys - riippumattomuuden säilyminen - dimensiolause - isomorfisuus - erityisesti Rⁿ:n kanssa
3.4. Lineaarikuvauksen matriisiesitys
Luonnollisten kantojen suhteen - yleinen tapaus - erikoistapaus - ytimet ja kuva-avaruudet - lineaarikuvausten yhdistäminen
3.5. Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen määristä
3.6. Vektoriavaruuden kannanvaihto
Siirtomatriisi - yleinen kannanvaihtoprosessi - erikoistapaus Rⁿ

4. SISÄTULOAVARUUDET
4.1. Sisätulo ja sen määräämä normi
Pistetulo - integraalisisätulo - Schwarzin epäyhtälö - kolmioepäyhtälöt - metriikka
4.2. Ortogonaaliset joukot - projektiot
Kulma - ortogonaalisuus - vektoritulo - ortonormaali joukko - projektiot
4.3. Gram-Schmidtin ortonormitusmenetelmä (lyhyesti)
Prosessi ja esimerkkejä - pisteen etäisyys suorasta ja tasosta
4.4. Ortonormaalit kannat ja matriisit (lyhyesti)
Parsevalin lause - ortogonaalinen matriisi - isometria
4.5. Ortogonaaliset aliavaruudet (lyhyesti)
Ortogonaalinen komplementti - hajottaminen suoraksi summaksi - tapaus Rⁿ - matriisin määräämät ortogonaaliset avaruudet
4.6. Pienimmän neliösumman keino (lyhyesti)
Residuaali - PNS-ratkaisu - normaaliyhtälö - käyrän sovittaminen pistejoukkoon - polynomisovitus

5. OMINAISARVOISTA
5.1. Ominaisarvot ja ominaisvektorit
Lineaarikuvauksen ominaisarvo, -vektori ja -avaruus
5.2. Matriisin ominaisarvot
Karakteristinen yhtälö - laskusääntöjä - ominaisarvot ja singulaarisuus
5.3. Matriisin diagonalisointi
5.4. Definiitit matriisit ja neliömuodot
Spektraalilause - symmetrisen matriisin luokittelu - sen yhteys ominaisarvoihin - matriisin määräämä neliömuoto - neliömuodon diagonalisointi - lokaalin ääriarvon tyyppi
5.5. Pääakseliongelma (ei ehditty, ikävä kyllä)
Neliöyhtälö ja -pinnat - kartioleikkaukset - tason neliöyhtälön tyypin määritys diagonalisoimalla - pääakselikoordinaatisto
Liite A: Laskutoimitukset ja algebraa
Joukon sisäinen laskutoimitus - ''ulkoinen'' laskutoimitus: skalaarilla kertominen - ryhmä - rengas - kunta
Liite B: Eräs salakieli (opiskelijat omatoimisesti)