Ilmoituksia:
1) ISETL-demot to 23.9. ja 7.10. klo 14-16 ovat luokassa M15 (3 kerros, matikan kanslian luona).
2) Ratkaisemanne ISETL-tehtävät (istuntojen lokikirjat, esim. 1HarjT3.ise) tuokaa vaikkapa disketillä minulle neljänsien ISETL-demojen jälkeen, siis kukin ryhmä yhtenä kappaleena.

2. ISETL-harjoitusten 2 tehtävä 6. Kirjoita vastaukseksi a)-kohdan jokaisesta kohdasta se, mitä ISETL palauttaa (tai palauttaisi). b)-kohdan vastaukseksi riittävät vastaavat ISETL koodit sekä väittämien totuusarvot.

3. Todista Lemman 1.4 kohta 6 tapauksessa n = 3:
Jos a | b_i kaikilla i = 1,¼,n, niin

4. a) Etsi  syt(156,221) Eukleideen algoritmilla.
b) Etsi luvun  syt(156,221) esitys lukujen 156 ja 221 lineaarikombinaationa.

5. Osoita, että jokainen alkuluku p ³ 5 on muotoa 6 k±1 jollekin k Î Z. Vihje: jakoyhtälö

6. Etsi lukujen 7875 ja 693600 kanoniset esitykset.

7. Olkoon n Î N. Osoita, että jos p on alkuluku ja p | aⁿ niin pⁿ | aⁿ.

8. Todista, että  syt(n,n+1) = 1 kaikille n Î Z. Kirjoita siisti todistus, josta saa selvää, mitä missäkin kohdassa tapahtuu ja miksi.

Yleistä. Kotitehtävät tulee palauttaa seuraavan viikon tiistaihin klo 12 mennessä joko minulle suoraan tai kansliaan tai lokerooni. Lokerot sijaitsevat matematiikan laitoksen kansliaa vastapäätä olevassa 'kopperossa' numero 355. Muistakaa allekirjoittaa vastauspaperit. Yksittäisiä tehtäviä ei tule allekirjoittaa erikseen.

Todistuksissa tulee käyttää myös suomen kieltä, ei pelkästään symboleja!!

Pelkät symbolit eivät kerro, mitä missäkin on tehty ja MIKSI. Nämä asiat täytyy yleensä kirjoittaa sanojen avulla. Lisäksi jokaisesta uudesta käyttämästänne symbolista, jota ei ole tehtävässä mainittu, pitää kertoa, mikä se on. Esimerkiksi: Olkoon a pariton kokonaisluku. Olkoon s luvun x tekijä.

Kahdessa palassa tehtäviin 'jos ja vain jos' -todistuksiin tulee kirjoittaa kummankin palan alkuun, mitä siinä palassa oletetaan (eli mistä lähdetään liikkeelle).

Älkää kirjoittako usealle palstalle ellei ole täysin selvää miksi tekstiä on usella palstalla ja missä järjestyksessä niitä pitäisi lukea.

Esimerkki:

8. Todista, että syt(n,n+1) = 1 kaikille n Î Z
ERITTÄIN HUONO ESITYS:
a | n, a | n+1 Þ n = ka, n+1 = sa, s,k Î Z Þ 1 = n+1-1 = sa-ka = (s-k)a Þ a | 1Þa = ±1Þ  syt(n,n+1) = 1.

Erityistä kotitehtävistä 1.
Tehtävä 1. a) Nimi enintään 8 merkkiä, ei skandinavisia erityisaakkosia.
b) Olisi luullut kysymyksiä satelevan, tiukassa taitavat olla.

Tehtävä 2. Hyväksyn, vaikka ei todistettaisi, ettei voi olla tyyppiä 3k + 2. Sitähän tässä ajettiin takaa, ja joku sen hoksasikin.

Tehtävä 6. b)-kohdassa pelkkä vastaesimerkki, esim. 2 | (3+5), mutta ei 2 | 3, ei 2 | 5.

Tehtävä 4. Jos samat jakojäännökset, osattiin. Toisin päin ei muistella edellistä. Esityksessä a-b = nk luku k pitää voida olla mikä hyvänsä muukin kuin mitä monet poimivat eka osasta! Silloin joudutaan aidosti vetoamaan jakoytälöesityksen yksikäsitteisyyteen. Luennolla jatkuu: