1. Selvitä ilman laskinta, millä luvuista 3, 5, 11 on jaollinen
    a) 30083625.
    b) 807011455704608.

2. Mitä on 5^{2 000 000} mod 24?

3. Jos k º 1 (mod 4), niin minkä luvuista 0, 1, 2, 3 kanssa kongruentti modulo 4 on luku
    a) 6k+5?
    b) 2k³+k+3?

4. Ratkaise yhtälöt
    a) 58x º 2  (mod 33).
    b) 58x º 2  (mod 32).

5. Mitkä seuraavista operaatioista/säännöistä eivät ole laskutoimituksia eli binäärioperaatioita? Miksi?
    a) Vokaalien joukossa: v₁·v₂ on se vokaaleista v₁, v₂, joka on aakkosissa myöhempänä.
    b) Vokaalien joukossa: v₁·v₂ on se vokaali, joka on aakkosissa näiden välissä.
    c) Vokaalien joukossa: v₁·v₂ on se vokaali, joka on aakkosissa seuraava v₁:n jälkeen, mikäli sellainen on, muutoin u.
    d) Vokaalien joukossa: v₁·v₂ on se kirjain, joka on aakkosissa seuraava v₁:n jälkeen, mikäli sellainen on, muutoin u.

6. Mitkä seuraavista operaatioista/säännöistä eivät ole laskutoimituksia eli binäärioperaatioita? Miksi?
    a) Parittomien kokonaislukujen joukossa: lukupariin liitetään niiden keskiarvo.
    b) Rationaalilukujen joukossa: lasketaan kolmen luvun tulo.
    c) Reaalilukujen joukossa: a°b = [(a+2b)/( a)].
    d) Luonnollisten lukujen joukossa: nÄm on 5.
    e) Ei-negatiivisten reaalilukujen joukossa: Luku kerrotaan kolmella.

7. Olkoon * rationaalilukujen joukon laskutoimitus, jolle

8. ISETL-demoissa aloitettiin laskutoimituksen ominaisuuksia testaavien funktioiden kehittely, osa seuraavista siis on jo tehty.
Kirjoita seuraavat seitsemän ISETL-funktiota samaan tiedostoon ja tuo mukaan ensi viikon ISETL-harjoituksiin. Voit tehdä tiedoston millä tahansa tekstieditorilla kuten NOTEPADilla tai WORDilla. Saa sen tehtyä ISETLilläkin. Voit käyttää hyväksesi viime ISETL-harjoituksissa tehtyjä funktioita ja ISETL-harjoitusten tehtäväpaperista löytyviä funktioita. Älä jätä kyseiseen tiedostoon kehotemerkkejä, ne voi ISETLissä poistaa ennen tallettamista Edit-valikosta Deprompt.

Anna tiedostolle nimi ryhma.ise. Kotitehtäväpaperiin ei tästä tehtävästä tarvitse kirjoittaa mitään. Käytä alla olevia nimiä, älä keksi omia lyhenteitä!
a) suljettuko, jonka syötteenä on joukko G ja kahden muuttujan funktio o, ja joka tutkii, ovatko alkiot a .o b joukon G alkioita kaikilla a,b in G.
b) liitannainenko, jonka syötteenä on joukko G ja laskutoimitus o ja joka tutkii, onko laskutoimitus o liitännäinen joukossa G.
c) vaihdannainenko, jonka syötteenä on joukko G ja laskutoimitus o ja joka tutkii, onko laskutoimitus o vaihdannainen joukossa G.
d) neutraalialkioko, jonka syötteenä on joukko G ja laskutoimitus o ja joka tutkii, onko laskutoimituksella o neutraalialkiota joukossa G.
e) neutraali, jonka syötteenä on joukko G ja laskutoimitus o ja palauttaa laskutoimituksen o neutraalialkion joukossa G.
f) kaanteisalkiotko, jonka syötteenä on joukko G ja laskutoimitus o ja joka tutkii, onko kaikilla joukon G alkioilla käänteisalkioita laskutoimituksen o suhteen joukossa G.
g) kaanteis, jonka syötteenä on joukko G, laskutoimitus o ja alkio g, ja joka palauttaa alkion g käänteisalkion laskutoimituksen o suhteen.

Tiedoston ryhma.ise saa sitten ISETLissä käyttöön komennolla !include ryhma.ise

Ilmoituksia

Testi keskittyy käsitteiden määritelmiin ja on monivalintatesti. Siihen ei siis tule mitään todistustehtäviä.

Esimerkkitehtävä:

Jos a º 5 (mod 7), niin
a) 5 | (7-a)
b) a mod 7 = 5
c) 5 º a (mod 7)
d) a+4 º 2 (mod 7)
e) 2a º 14 (mod 5)
(oikeita ovat b, c ja d)

4) Ratkaisemanne ISETL-tehtävät (istuntojen lokikirjat, esim. 1HarjT3.ise) tuokaa vaikkapa disketillä minulle neljänsien ISETL-demojen ja kolmansien kotilaskujen jälkeen, siis kukin ryhmä yhtenä kappaleena. Niissä pitää olla myös tässä paperissa mainittu tiedosto ryhma.ise vaadittuine funktioineen.