Algebra, syksy 1999, kotitehtävät 6

Algebra, syksy 1999

Kotitehtävät 6 (palautettava to 28.10.1999 klo 14 mennessä)

Ilmoituksia. Testin 1 tehtävän 4b) ratkaisu demopaperissa 5 oli valitettavasti väärin!
Tehtävät 1 ja 2 ovat samoja kuin edellisten tehtävät 7 ja 8.

1. Muodosta ryhmän (Z₇\{0},*₇) laskutoimitustaulukko. Mitä ovat 2^-1 ja 5^-1?

2. Todista, että (R\{0})×R ja laskutoimitus *,

(a,b)*(c,d) : = (ac,bc+d)

muodostavat ryhmän. Onko se Abelin ryhmä?

3. Miten voidaan helposti määrätä ilman laskinta/tietokonetta permutaation p käänteispermutaatio p^-1?
Mikä on esimerkiksi [2,5,3,6,1,4]^-1?

4. Todista Lauseen 5.14 kohdat 1 ja 2:

aⁿ°a^k

aⁿ^+k

(aⁿ)^k

a^nk

5. Lue luentomonisteen sivut 45-48 (Ryhmien lukumäärästä). Etsi kaikki kertalukua 3 olevat erilaiset ryhmät. Perustele vastauksesi.

6. Laske
       a) 5^-3 ryhmässä (Z₈,+₈),
       b) [2,3,4,1]² ja [1,3,2,4]^-2 ryhmässä S₄,
       c) R₂₇₀^-36 ryhmässä D₄.

7. Ratkaise yhtälö

x *₁₃ 3 = 8

ryhmässä (Z₁₃\{0},*₁₃).

8. Ratkaise yhtälö

23 = -₂₇(2x) +₂₇ 24

ryhmässä (Z₂₇,+₂₇). Huomaa, että -₂₇(2x) tarkoittaa monikerran 2x = x +₂₇ x vasta-alkiota kyseisessä ryhmässä!

File translated from T_EX by T_TH, version 1.96.
On 20 Oct 1999, 11:06.